Математические основы криптологии и криптографические методы и средс

6 = q2rt + r2, 5(r2) < d(r,) r, = q2r2+ гг, 8 (r3) < 6 (r2)

Гк-г = qkTk-1 + rh b(rk) < 5(r*_i) rk-1 = qk+\rh r*+, = 0 .

Это действительно так, поскольку убывающая цепочка неотри­ цательных целых чисел 6 (6 ) > S(rt) > 6 (1*2) > ... должна оборваться, а обрыв может произойти только за счет обращения в нуль одного из остатков. Последний отличный от нуля остаток гк= НОД(а,6 ).

Непосредственным шагом к установлению факториальности евклидова кольца служит

Лемма 2. Всякое евклидово кольцо К является кольцом с разло­ жением (т.е. любой элемент а Ф0 из К записывается в виде

а = ирхр2...рг).

Доказательство. Пусть элемент а е К обладает собственным делителем b: а = Ьс, где Ь и с - необратимые элементы (другими сло­ вами, а и Ъне ассоциированы). Докажем, что 6 (6 ) < 8 (a).

В самом деле, согласно (Е\) непосредственно имеем 6 (6 ) < < 8 (6 с) = 6 (a). Предположив выполнение равенства 8 (6 ) = 8 (a), вос­ пользуемся условием (Е2) и найдем q,r с b = qa + г, где 8 (r) < 8 (a) или же г = 0. Случай г = 0 отпадает ввиду неассоциированности а и 6 . По той же причине 1 —qc Ф0. Стало быть, снова по (£2) (с заменой a на 6 ) имеем

6 (a) = 8 (6 ) < 5(6(1 - qc)) = 8 ( 6 - qa) = 8 (1*) < 5(a)

- противоречие. Итак, 5(6) < 8 (a).

Если теперь a = аха2...а„, где все а,-необратимы, то am+iaM+2...a„- собственный делитель amam+iam+2...a„, и по доказанному:

5(a) = 6 (aia2...a„) > 6 (a2...a„) >...> 8 (a„) > 8 (1 ).

Эта строго убывающая цепочка неотрицательных чисел имеет длину п < 5(a). Значит, имеется максимальное разложение а на про­ стые множители. Лемма доказана.

Теорема 14. Всякое евклидово кольцо К факториально (К обла­ дает свойством однозначности разложения на простые множители).

4.Дайте определение кольца. В чем отличие кольца от группы? Можно ли привести пример множества с заданными на нем необхо­ димыми операциями, являющегося кольцом и не являющегося груп­ пой, и наоборот? Ответ обоснуйте примером.

5.Что значит утверждение: два числа сравнимы по модулю 5? Приведите пример таких чисел.

6. Что такое поле? Укажите его отличие от группы и кольца.

Приведите пример.

7. При каком условии кольцо классов вычетов является полем?

8 . Какой многочлен называется неприводимым над полем Р1 Укажите наивысшую степень неприводимого многочлена над конеч­ ным полем.

9. Вычислить значения обобщенной функции Эйлера для чисел

1.3. ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Одним из важных классов вычислительных алгоритмов, востре­ бованных на практике, являются алгоритмы генерации последова­ тельности случайных величин. По определению, последовательно­ стью случайных чисел является последовательно формируемый массив значений, в котором каждый очередной элемент получен вне всякой связи с другими его элементами и появление этого элемента возможно с вероятностью, подчиненной некоторому закону распре­ деления. К примеру, если появление любого числа в этой последова­ тельности равновероятно, то говорят о равномерном законе распре­ деления случайных чисел.

На практике в большинстве случаев применяются программные методы получения случайных чисел. На самом деле случайные по­ следовательности, получаемые по некоторому алгоритму, являются псевдослучайными. Это происходит из-за того, что связь между зна­ чениями в последовательности, получаемой программным путем, обычно все-таки существует. Данное обстоятельство приводит к то­ му, что на каком-то этапе генерируемая последовательность чисел начинает повторяться - «входит в период». В данном параграфе рас­ сматриваются принципы построения и алгоритмы нескольких наибо­ лее известных и используемых генераторов случайных последова­ тельностей (далее - ГСП).

1.3.1. Общие сведения о ГСП

Если генератор выдает числа, смещенные в какую-то часть ин­ тервала (одни числа выпадают чаще других), то результат решения задачи с помощью статистического метода может оказаться невер­ ным. Поэтому проблема использования хорошего генератора дейст­ вительно случайных и действительно равномерно распределенных чисел стоит очень остро.

Математическое ожидание тг и дисперсия Dr такой последова­ тельности, состоящей из п случайных чисел должны быть сле­ дующими (если это действительно равномерно распределенные слу­ чайные числа в интервале от 0 до 1):

Если пользователю потребуется, чтобы случайное значение х было взято из выборки равномерно распределенной в интервале (а; b) величины, можно воспользоваться формулой

х = а + (Ь - а) г,

где г - случайная распределенная в интервале (0; 1) величина. Закон­ ность данного преобразования демонстрируется на рис. 7.

диаграммы идеального ГСП (рис. 9), т.е. в идеальном случае в каж­ дый интервал попадает одинаковое число точек: N = Nik, где N - об­ щее число точек, к - количество интервалов, i = 1, к.

Рис. 9. Частотная диаграмма выпадения случайных чисел, порождаемых идеальным генератором теоретически

Следует помнить, что генерация произвольного случайного чис­ ла состоит из двух этапов:

♦генерация нормализованного случайного числа (т.е. равно­ мерно распределенного от 0 до 1)(рис. 11);

♦преобразование нормализованных случайных чисел г, в слу­

чайные числа JC„ которые распределены по необходимому пользователю (произвольному) закону распределения или в необходимом интервале.

1.3.2. Классификация ГСП

Генераторы случайных чисел по способу получения чисел де­ лятся на:

♦физические;

♦табличные;

♦алгоритмические.

Физические ГСЧ. Примером физических ГСЧ могут служить: монета («орел» - 1, «решка» - 0); игральные кости; поделенный на секторы с цифрами барабан со стрелкой; аппаратурный генератор шума (ГШ) (рис. 10), в качестве которого используют шумящее теп­ ловое устройство, например транзистор.

Рис. 10. Схема аппаратного метода генерации случайных чисел

Табличные ГСЧ. Табличные ГСЧ в качестве источника случай­ ных чисел используют специальным образом составленные таблицы, содержащие проверенные некоррелированные, т.е. никак не завися­ щие друг от друга, цифры. В табл. 4 приведен небольшой фрагмент такой таблицы. Обходя таблицу слева направо сверху вниз, можно получать равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа с нужным числом знаков после запятой (в нашем примере мы ис­ пользуем для каждого числа по три знака). Поскольку цифры в таб­ лице не зависят друг от друга, то таблицу можно обходить разными способами, например сверху вниз, или справа налево, или, скажем, можно выбирать цифры, находящиеся на четных позициях.

Достоинство данного метода в том, что он дает действительно случайные числа, так как таблица содержит проверенные некоррели­ рованные цифры. Недостатки метода: для хранения большого коли­ чества цифр требуется много памяти; большие трудности порожде­ ния и проверки такого рода таблиц, повторы при использовании таб­ лицы уже не гарантируют случайности числовой последовательности, а значит, и надежности результата.

1.3.3. Смешанный конгруэнтный метод и его обобщения

Числа, генерируемые с помощью этих ГСЧ, всегда являются псевдослучайными (или квазислучайными), т.е. каждое последующее сгенерированное число зависит от предыдущего: г, + 1 =Дг,).

Последовательности, составленные из таких чисел, образуют петли, т.е. обязательно существует цикл, повторяющийся бесконеч­ ное число раз. Повторяющиеся циклы называются периодами.

Достоинством данных ГСЧ является быстродействие; генерато­ ры практически не требуют ресурсов памяти, компактны. Недостатки: числа нельзя в полной мере назвать случайными, поскольку между ними имеется зависимость, а также наличие периодов в последова­ тельности квазислучайных чисел.

Рассмотрим несколько алгоритмических методов получения ГСЧ:

♦метод серединных квадратов;

♦метод серединных произведений;

♦метод перемешивания;

♦линейный конгруэнтный метод.

Метод серединных квадратов

Имеется некоторое четырехзначное число ДО. Это число возво­

дится в квадрат и заносится в Д1. Далее из Д1 берется середина (че­ тыре средних цифры) - новое случайное число - и записывается в ДО. Затем процедура повторяется (рис. 12). Отметим, что на самом деле в качестве случайного числа необходимо брать не ghij, a O.ghij - с при­ писанным слева нулем и десятичной точкой. Этот факт отражен как на рис. 12, так и на последующих подобных рисунках.