Математические основы криптологии и криптографические методы и средс

вующей алгебраической структуре (X,*). Требования ассоциативно­ сти и коммутативности независимы. В самом деле, операция * на Z, заданная правилом п*т = -п —т, очевидно, коммутативна. Но (1 *2)*3 = ( - 1 - 2)*3 = - ( 1 - 2 ) - 1 = 0 Ф 1*(1*3). Так что условие ассоциативности не выполняется.

Элемент ее X называется единичным (или нейтральным) отно­ сительно рассматриваемой бинарной операции *, если е*х ==х*е для всех х е X Если е '- еще один единичный элемент, то, как следует из определения, е' = е'*е = е. Следовательно, в алгебраической струк­ туре (Л',*) может существовать не более одного единичного элемента.

Множество X с заданной на нем бинарной ассоциативной опе­ рацией называется полугруппой. Полугруппу с единичным (ней­ тральным) элементом принято называть моноидом.

Элемент а моноида (Л/, ,ё) называется обратимым, если найдет­

ся элемент b e М , для которого а Ь=Ь а = е (понятно, что элементb

тоже обратим). Если еще и а b' = e = b' а, то Ь' = е Ь' = {Ь а) Ь' =

= Ь (а b r)= b е =Ь. Это дает основание говорить просто об обратном

элементе а-1 к (обратимому) элементу а е М : а -а~1= е =а~1 а. Ра­

зумеется, (а-1) *= а .

Пример 11. Пусть О - произвольное множество, Л/(0) - множество всех отображений О в себя. Тогда (Лf(Q),*,ea) - моноид, где «-естественная композиция отображений, а «о-тождественное отображение.

Пример 12. Пусть M„(R) - множество квадратных матриц я*и

свещественными коэффициентами. Тогда (M„(R), ,Е) - моноид, где

*- операция умножения матриц, Е - единичная матрица л*я. Пример 13. Пусть nZ - {пт\т e Z } - множество целых чисел,

делящихся на п. Тогда (nZ, + ,0) - коммутативный моноид, a (nZ, ) - коммутативная полугруппа без единицы (« > 1 ).

Моноид (7, все элементы которого обратимы, называется груп­ пой. Другими словами, предполагается выполнение следующих ак­ сиом:

((71) на множестве (7 определена бинарная операция (ху)—*ху; ((72) операция ассоциативна: (ху)г = x(yz) для всех x,y,z е (7;

х-1 :х~' *х =х*х~1=е.

Для обозначения числа элементов в группе (7 (точнее, мощности группы) используются равноправные символы Card(7, |(71 и (<7:с).

Пример 14. GL(nJt) - множество квадратных матриц их« с ве­ щественными коэффициентами с ненулевым определителем. Тогда GL(/tyR) - полная линейная группа по операции умножения матриц.

Пример 15. Используя рациональные числа вместо вещественных, мы приходим к полной линейной группе GL(n,Q) степени п над Q.

Подмножество Н с (7 называется подгруппой (7, если е е Н;

А,,Л2 е Н => А, *h2 е Н и А е /Г => Л-1 е Я Подгруппа / / с (7 - соб­ ственная, если Н ф е и Н ф С .

Пример 16. Рассмотрим в группе GL{nJl) подмножество SL(nJt) матриц с определителем, равным 1 :

SL(n,R) = {А е GX(/i^?)|det4 = 1}. Очевидно, что е 6 SL(nJi). Кроме того, det4 = 1, detZ? = 1 =>det4В = 1 и det/Г 1 = 1.

Поэтому SL(nJt) - подгруппа в GL(tt>R). Она носит название специальной линейной группы степени п над R. Ее называют еще унимодулярной.

Пример 17. Подгруппа SL(n>R) содержит подгруппу SL(n,Q), которая, в свою очередь, содержит интересную подгруппу SL{n£) целочисленных матриц с единичным определителем.

Пример 18. Положим в примерах 9 и 10 п = 1. Тогда мы прихо­ дим к мультипликативным группам R* = Z?\{0} = GL(lyR) и Q* =

что и требовалось доказать. Справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Пусть я - перестановка из Sm я = тJT2.. .т*- какоенибудь разложение я в произведение транспозиций. Тогда число = (-1 )*,называемое четностью я (иначе сигнатурой или знаком я), полностью определяется перестановкой я и не зависит от способа

разложения, т.е. четность целого числа к для данной перестановки я всегда одна и та же. Кроме того, £„р = в0£р для всех а,ре ,У„.

Доказательство. Возьмем произвольную кососимметрическую функцию f от п аргументов Х\,..Л„. По лемме действие я на / сво­ дится к последовательному применению транспозиций т*, TA_I,...T(, т.е. к к - кратному умножению /н а - 1 :

ЯО/= (TjT2...T*_1)o(T*oy) = - (T,T2...T*_I)O/ = ...= ( - 1 )* /= в /

Так как левая часть этого соотношения зависит от я, но не от ка­ кого-либо его разложения, то и отображение в:я—►£„, заданное пра­

функция. Но мы знаем, что существуют кососимметрические функции, не равные нулю, например определитель Вандермонда

A„(Xu..JC„) порядка п.

Применение к такой функции / перестановки ар по правилу, из­

откуда и следует соотношение вар = ЕвВр. Теорема доказана. Перестановка р е 5'„ называется четной, если £Р = 1, и нечетной,

если ер = - 1 .

Из определения четной и нечетной перестановки следует, что все транспозиции - нечетные перестановки. В связи с этим справед­ ливо следующее.

Утверждение. Все четные перестановки степени п образуют подгруппу А„ е S„ порядка п!/2 (она называется знакопеременной группой степени п).

Доказательство. Поскольку в„р = £а£Р, то £„р = 1, если е„ = £Р= 1, и = £„, так как ее = 1 . Поскольку Л„-подмножество в S„, то все ак­ сиомы группы выполнены.

Запишем S„ в виде Апи Ап , где Ап - множество всех нечетных

перестановок степени п. Отображение S„ в себя, определенное пра­ вилом р(12>: я —>(12)я, биективно. (Оно инъективно: (12)а = (12)р => а = р. Далее можно просто заметить, что (p(i2>)2 —единичное отобра­

жение.) Поскольку щП)п = £(12)£я = -£*> то Р(12) А = Л = Л Значит,

число четных перестановок в S„ совпадает с числом нечетных пере­ становок. Отсюда \А„\ = 0,5|5„| = п!/2. Утверждение доказано.

1.2.9. Морфизмы групп

Изоморфизмы

Известно, что три вращения ф 0, ф ь Ф2 против часовой стрелки на углы 0°, 120°, 240° переводят правильный треугольник Р3 в себя. Но имеются еще три осевых преобразования симметрии (отражения) vj/), \\>2, Уз с 3 осями симметрии 1—V, 2—2', 3—3'. Всем шести пре­ образованиям симметрии соответствуют перестановки на множестве

вершин треугольника. Получаем фо~е,ф1~(123),ф2~(132),у|/|~(23), \|/2~(13), фз—(12). Поскольку других перестановок степени 3 нет, то можно утверждать, что группа D3 всех преобразований симметрии правильного треугольника обнаруживает большое сходство с сим­ метрической группой S3. Отсюда следует, что нам необходимо ка­ ким-то образом сравнивать группы. Для этого вводится понятие изо­ морфизма. Дадим его определение: две группы G и С с операциями * и о называются изоморфными, если существует отображение f:G ^ G ' такое, что

=Да)оДЬ) для всех a,b е G;

(и)/ - биективно.

Факт изоморфизма групп обозначается символически =. Отметим простейшие свойства изоморфизма.

1 . Единица переходит в единицу. Действительно, если е - еди­ ница группы G, то е*а = а*е = а и, значит, Де)оДа) =Да)оДв) =Да), откуда следует, что Дг) = е *-единица группы (7*. В этом рассужде­ нии использованы, хотя и частично, оба свойства / Для (*) это оче­ видно, а свойство (и) обеспечивает сюръективность f так что эле­ ментамиf{g) исчерпывается вся группа G\

2.Да"1) =Да) -1 В самом деле, согласно 1 Да)оДа-1) =Да*в-1) = =Де) = е'~ единица группы G\ откуда

Л«Г‘ =АаГ1ое г= № -1° т оА а')) =т ~'°А< ® °А а 1) =

=е'оДа1) = А а 1).

3.Обратное отображениеf l:G-+G' (существующее в силу свой ства (//)) тоже является изоморфизмом. Для этого надо убедиться лишь в справедливости свойства (/) для f x Пусть a',b’&G\ Тогда ввиду биективное™ f имеем а ' =Да), b' =ДЬ) для каких-то a,b&G. Поскольку /-изоморфизм, a'ob' ~/{а)оДЬ) =J{a*b). Отсюда имеем

a*b = f’l(a'obr), а так как, в свою очередь, а = / /(а'), b —/'(АО, то

f \ a to b ')= f1( a r f\b ') .

Пример 24. В качестве изоморфного отображения / мультипли­ кативной группы (/? + ,*,1 ) положительных чисел на аддитивную группу (if, + ,0) всех вещественных чисел может служить / = In. Из­ вестное свойство логарифма In ab = In а + In b как раз моделирует свойство (i) в определении изоморфизма. Обратным к / служит ото­ бражение х —>ех

Рассмотрим теперь теорему, иллюстрирующую роль изомор­ физма в теории групп.

Теорема 6 (Кэли). Любая конечная группа порядка п изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы S„.

Доказательство. Пусть G - наша группа, n = \G\. Можно счи­ тать, что S„- группа всех биективных отображений множества G на себя, так как природа элементов, представляемых элементами из S„, несущественна.

Для любого элемента a e G рассмотрим отображение La:G—*G, определенное формулой

La(g) = ag.

Если e=gi, то ghg2, ••■gn~ все элементы группы G. Тогда agi,...ag„~ те же элементы, но расположенные в каком-то другом порядке. Это и понятно, поскольку

ag; =agk ^>a.-x(agi) =a~[{agk)=>(aa')gi =(aa~')gk ^ g i =gk .

Значит, LB- биективное отображение (перестановка), обратным к которому будет L~J = La-X. Единичным отображением является Le.

Используя вновь ассоциативность умножения в G, получаем

Labig) = (ab)g = a(bg) = La(Lbg), т.е. Lab= LaoLb.

Итак, множество L*,... образует подгруппу, скажем Н , в группе AS^G) всех биективных отображений множества G на себя, т.е. в S„. Мы имеем включение имеем соответствие L:a—+LaeH , об­ ладающее по вышесказанному всеми свойствами изоморфизма.

Теорема Кэли, несмотря на свою простоту, имеет важное значе­ ние в теории групп. Она выделяет некий универсальный объект (се­ мейство {аУ„|/1 = 1 ,2 ,...} симметрических групп) - вместилище всех вообще конечных групп, рассматриваемых с точностью до изомор­ физма. Фраза «с точностью до изоморфизма» отражает сущность не только теории групп, стремящейся объединить в один класс все изо­ морфные группы, но математики в целом, которая без таких обобще­ ний была бы лишена смысла.

Положив G = G' в определении изоморфизма, мы получим изо­ морфное отображение qp:G-+G группы G на себя. Оно называется автоморфизмом группы G.

Пример 25. Единичное отображение eg:g—>g- автоморфизм. Но, как правило, G обладает и нетривиальными автоморфизма­

ми. Свойство 3 изоморфных отображений показывает, что отображе­ ние, обратное к автоморфизму, тоже будет автоморфизмом. Если ф,\|/ - автоморфизмы группы С, то ( о\\r)(ab) = (\|t(ab)) = (\|/(а)\|/(6 )) =

= ( оу)(а)*( оу)(Ь) для любых a,b е G. Стало быть, множество Aut(G) всех автоморфизмов группы G образует группу - подгруппу группы всех биективных S(G) отображений G—>G.

Пример 26. Посмотрим, как можно изменить операцию на груп­ пе, не меняя, в смысле изоморфизма, самой группы. Пусть G - произвольная группа, / - ее какой-то фиксированный элемент. Вве­ дем на множестве G новую операцию:

=t l *g =g и g * (/- 1g -1/ _,) = (/ ]g~l(~l)*g =t~l , а это значит, что

{<7,* } -группа с единичным элементом е* = Г1 Элементом, обрат­

ным Kg*B {С,*}, служит g~l =t~xg~xt~x Отображениеfig —*gTl уста­

навливает изоморфизм групп {<7,*} и {С,*}, т.с.flgh) =Д§)*Дй).

Гомоморфизмы

В группе автоморфизмов Aut(6 ) группы G содержится одна особая подгруппа. Она обозначается Inn(G) и называется группой внутренних автоморфизмов. Ее элементами являются отображения Ia:g—wga~l. Небольшое упражнение показывает, что 1адействительно удовлетворяет свойствам, требуемым от автоморфизмов, причем /„ - единичный автоморфизм, / во/ 4 = / а4, потому что

(Ia°Ib)(g) =Wb)(g)) =Ia(bgbl) = abgb-'a1= abg{b'al) = = abg(abyl = Iabig)-

Это соотношение показывает, что отображение f:G —*lon(G) группы G на группу Inn(G) ее внутренних автоморфизмов, опреде­ ленное формулой Да) = / в, а е G, обладает свойством (i) изоморфного отображения: Да)оД6 ) =Да6 ), однако свойство (и) при этом не обя­ зано выполняться. Если, например, G -абелева группа, то aga ~ g для всех а е G, так что /„ = 1е, и вся группа Inn(G) состоит из одного единичного элемента 1е. Это обстоятельство делает естественным следующее определение:

Отображение /:С —►(?' группы (G,*) в (G',o) называется гомо­ морфизмом, если Д а *6 ) =Да)оД6 ), для любых a,b&G (другими сло­ вами, в определении изоморфизма опущено свойство (и)).

Ядром гомоморфизма/ называется множество Кег/ = {geG |/(g) =

= е'~ единица группы G*}.

Гомоморфное отображение группы в себя называется еще ее эн­ доморфизмом.

В этом определении от f не требуется не только биективности, но и сюръективности, что, впрочем, не очень существенно, посколь­ ку всегда можно ограничиться рассмотрением образа 1ш / е G', яв­ ляющегося, очевидно, подгруппой в G Главное отличие гомомор­