Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория ус.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

12.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Функция /(z), доопределенная в точке z= 0 единицей, т. е.

				1_e~z		если г ф О ,
		/(* > «	--------- ,			если г ф О ,
		/(* > «		г	*	если z =	0,
				1,		если z =	0,
является аналитической и в точке го=0.
' Пр и ме р	12. Определить характер особой точки z0 = 0 функции
			/(*) =		1 — соз г
			/(*) =
Р е ше ние .		Разлагая		функцию		cosz в	ряд Тейлора по степе
ням z, получим лорановское разложение функции f (г)								в окрестности
нуля:
	24	2е	2»	. гЮ		\
	4!	* 6!	81	+ Л0!	1	1	1	2
					1	1	1	2
				“	21 z* 41 гз		61 z	81,
Разложение в	ряд Лорана функции / (г) в окрестности точки z0 = 0

содержит конечное число членов с отрицательными степенями z. Сле

довательно,	точка zo = 0 является полюсом пятого порядка,	так как
наибольший	показатель степени у z, содержащихся в знаменателях
членов главной части ряда Лорана, равен пяти.		функции
П р и м е р 13. Определить характер особой точки г= 1		функции
	1
	/(г) = ( г -

Реше ние . Используя разложение

и полагая и = j »П0ЛУЧИМ лорановское разложение функции / (г)

в окрестности точки га=1:

/(«)“ (*— o [ l + j 3 y + 2l^ _ j j , + 31 (2— 1)3 +•••] =

'= 1 + (2—1) + 21 ( г - 1) + 3! (z— 1)2 + ••

Это разложение содержит бесконечное множество членов с отрица тельными степенями z—1. Следовательно, точка z0= l является су щественно особой точкой функций /(Z). ^

Определить характер указанных особых точек:

297.	^ го= л.	2Q8	г2~ З г + 2	__ i
			г3—2г^-1 ’	2° “ 1*
299.	г0 = 0.	1,/VA	sh z
299.	г0 = 0.	300.	— , г0, - 0 .

301.	cos z + л ,	z0 —— я.	302.	z* - 1__
301.	cos z + л ,	z0 —— я.	302.	2* + 2z5+ z 4 , 2 = 0 ,20= — 1.
з о з .	l u lzi-i f l ,	г о = 0 .	304.	2o = 0.
	ez+e
305.	2+ e * z0 = — e.		306.	cos ~ - f sin —^ i 20=0.
307.	z sh —,	—0 •

§ 9. Вычеты функций

Пусть точка z0 есть изолированная особая точка функции / (г). Вычетом функции f(z) в , точке z0 называется число, обозначаемое символом res /(г0) и определяемое равенством

res / ( г°) = 2 ^^> /(г)4 г:	(1)
^Другие обозначения: res [/(z); г0], res /(z).^	В качестве контура у

можно взять окружность с центром в точке г0 достаточно малого радиуса такого, чтобы окружность не выходила за пределы области аналитичности функции f(z) и не содержала внутри других особых точек функции / (z). Вычет функции равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении f(z) в окрестности точки

20		res/(г„)=<:_!.			(2)
Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Если точка г0 есть полюс л-ro порядка функции /(z), то
	res				(3)
В случае простого полюса			(л =	1)	(4)
		res f (г0) =	Игл	[/ (г) (г—г*)],	(4)
			г-, г.
Если	функция f (z)	в окрестности		точки z0 представима как	частное
двух	аналитических	функций

' ( ) ${г) ’

причем cp (ZQ) Ф 0, ф (Z0) = 0, а ф' (z0) функции /(z), то

res / (z0) =

ф 0, т. е. z0 есть простой полюс

ф(?о)

Ф)

V (*о)'


Если		точка	г0	есть	существенно	особая точка функции	f(z),	то
для	нахождения		res f (ZQ)		необходимо найти коэффициент с_х в лора
новском		разложении		функции f (z) в		окрестности точки z0;	это	и
будет	res/(z0).

П р и м е р

Найти

вычеты функции

/(*)«■

sin z2

г3

л 22

в ее особых

точках.

sin Z2

Р е ш е н и е .

Особыми точками

функции

являются точ-

ки г*=0 и г = л/4. В

точке г = 0 имеем

Z3 —

4 Z2

lim /(г) =

lim

—

lim

л '

2 —*• 0

2 - * 0 г Г

2 — 0

г — 4

Следовательно,

точка

г = 0

есть

устранимая

особая

точка

функции

f(z). Поэтому

res / (0) =

В точке г = л/4

имеем lim

/(г) = оо,

т. е. точка

г =

я /4 есть полюс

2 — Я/4

(первого порядка) функции / (г).

Согласно формуле (4)

имеем

res '(т)- JS«,W(—7 ) -

- - 4-г

(•-т)-

sin г2

16 .

lim —3;— =

- г sm

2 —Я/4

П р и м е р

Найти

вычеты функции

е*

в ее особых точках.

(г+ 1 )» (г -2 )

точки

функции

/(г)

суть

г =

—1

и г = 2,

Р е ш е н и е .

Особые

Точка

z = — 1 для

функции

/ (г)

является

полюсом третьего порядка.

Согласно формуле (3)

имеем

р .

1Ч

а*

1 ..

(z2 —6г +

10) е*

res / ( - 1 ) -

2Т

(г_ 2р-------------54?’

Точка

г = 2 —полюс

первого порядка,

поэтому

по формуле (4)

res / (2) =

lim

е3

(2 + 1)3

27-

2 - 2

в ее особых

П р и м е р

Найти

вычеты

функции

f (г) = -z* + l

точках.

Р е ш е н и е .

Особые

точки

/ (г) — нули

знаменателя,

т. е. корни

уравнения

г * + 1 = 0 . Имеем

. л

,3л

. Зл

zg =

г*5- *

Пользуясь формулой (5), получаем

1 res / (2l) = —

- 1 е-	. З л
	4
4	*

			= ,	*
				1	. 9 д		-
	res / (г2) =	—		1	— i	--	-
						4	♦
				4	е		1
		’ = е		f T
		’ = е		*		9л
					i	9л
				. Зл =	i	-
	res f (г,) =	4z«		. Зл =	--е	4
	res / (г,) =	4г3			р	*	-
	res / (г,) =	4г3
П р и м е р 4.	Найти вычет, функции
		/(z) =	zssin - r
в ее особой точке.		точка	функции /(г)			есть точка z = 0. Она
Р е ш е н и е .	Особая	точка	функции /(г)			есть точка z = 0. Она

является существенно особой точкой функции /(г). В самом деле,

лорановское разложение	функции	в окрестности точки г = 0 имеет
вид
f (г)= 2* (1 ? ~ зПв	+ 5jliF “	• • •) = 2 _ зП* + 5!f г7

т. е. содержит бесконечное число членов в главной части. Вычет функции в точке z = 0 равен нулю, так как коэффициент с^х в лорановском разложении f (г) равен нулю.

Если	функция		/(г)	имеет вид		/ ( 2) ==^ ^ \|»	Где аналитические
функции	<p(z) и ф(г) в точке z0 имеют нули выше первого порядка,
то в этом	случае		бывает удобно функции <р (г) и ф(г) заменить их
разложениями в ряд Тейлора в окрестности точки г0.
П р и м е р 5.		Найти		вычет в т о ч к е 0 функции
			/(*)■		sin 3z—3 sinz
					(sin z —z) sin г *
Р е ш е н и е .		Точка		z = 0	является нулем как		числителя Ф (z) =
= sin3z—3 sinz,		так и знаменателя				гр (г) = (sin z—z) sin г. Определим
порядки	нуля для		этих	функций, используя разложение в ряд Тей
лора sinz	в окрестности			точки	г = 0:
					г»	г»
			sin Z — 2 — 7 j-f			5!

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20225.22 Mб42Формы существования углерода. Их получение и применение.pdf
#
15.11.20222.99 Mб33Фундаменты основных зданий и сооружений атомных и тепловых электрост..pdf
#
15.11.20228.78 Mб10Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1..pdf
#
15.11.20224.96 Mб4Функции комплексного переменного и их приложения Часть 2..pdf
#
15.11.2022754.37 Кб10Функции комплексного переменного и операционное исчисление..pdf
#
15.11.202212.71 Mб16Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория ус.pdf
#
15.11.2022658.11 Кб20Химическая технология неорганических веществ метод. указания к выпо.pdf
#
15.11.20224.75 Mб138Химическая технология неорганических веществ..pdf
#
15.11.202215.72 Mб11Химическая технология топлива и углеродных материалов. Cборник задач.pdf
#
15.11.2022232.22 Кб15Химические свойства элементов VIIА группы и их соединений учебно-метод..pdf
#
15.11.20221.09 Mб41Химия древесины и целлюлозы..pdf