- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
так что если ер (/) удовлетворяет условиям Г и 3°, то ф (/) rj (/) удовлетворяет всем условиям, налагаемым на функции-оригиналы.
511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
/ а ) / ( 0 = ^ ( 0 , Ь > 0 , Ь ф \ \ б) /(< )= е (2+ 4‘>'т1(*);
' |
в) f (0 = т^ з *) (0; |
|
г) / (о = <2г] (ty |
||
|
д) |
Г(0 = ch (3 - i) и1 (ty, |
з) |
/е) |
f (t) = tg /Г) (0; |
|
ж) |
f(t) = tlr\(t); |
f (t) = |
е~‘ cos tr\ (t)', |
|
|
и) / (0 = e"r| (?); |
. к) |
/(?) = |
(ty |
|
|
л) |
/ ( 0 = 7? X 2 ^ ( 0 -. |
M )/(0 = i i ( 0 + | ] ( - l ) fti l ( / - ^ . |
||
|
|
“ |
|
|
ft=l |
Вдальнейшем для сокращения записи будем, как правило, писать
/( 0 вместо f(t)r\(t), считая, что рассматриваемые нами функции про
должены нулем для отрицательных t.
Изображением функции / (t) по Лапласу называется функция F{p)
комплексного переменного p = s + ia> определяемая равенством |
|
||
4-с° |
|
f(i)e-P> dt. |
|
F (P )= |
$ |
(2) |
|
6 |
|
|
|
Тот факт, что* F (р) есть изображение |
/(/), будем'символически |
||
записывать так: |
|
|
|
/( 0 Тz-F(p). |
|
|
|
Ф у н к ц и я F(p) о п р е д е л е н а |
в п о л у п л о с к о с т и |
Rер = |
= s > s 0 и я в л я е т с я в э т о й п о л у п л о с к о с т и а н а л и т и ч е с к о й ф у н к ц и е й .
П р и м е р 2. Пользуясь определением, найти изображение функции
|
|
|
|
|
/( О - * 2'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Для |
функции |
|
имеем s0= 2. Поэтому изо |
||||||||||
бражение |
F (р) будет |
во |
всяком |
случае |
определено |
и |
аналитнчно |
|||||||
в полуплоскости |
Re р > 2. |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-{- оо |
|
Ц - со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(p ) = |
\ |
е-'е~Р1dt = |
e->P~'->‘ di = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
( Р - 2) |
e-ip -iU |
t «=4- 00 |
т |
1 |
|
<R' |
- |
S> 0 - |
|||
|
|
|
|
|
- |
Ь |
|
|||||||
Итак, |
F(p) = — |
|
Эта-функция |
аналитична при |
R e p > |
2 , и, кроме |
||||||||
того, она аналитична всюду, за исключением точки |
р = 2. |
Это |
не про |
|||||||||||
тиворечит сформулированному выше утверждению, |
так |
как |
последнее |
|||||||||||
г а р а н т и р у е т |
аналитичность |
F (р) |
при |
Re р > s0, |
но |
вовсе не |
||||||||
утверждает, что если |
R e p < s ff, то F (р) |
всюду неаналитнчна. |
|
Пользуясь определением, найти изображения следую
щих функций: |
|
|
|
512. |
f(t) = t. |
513. / (/) = sin 3/. |
|
514. |
/(/) = /£' |
^515. f(t) = ta ( а > - 1 ) . |
|
516. |
Может ли функция Ф (Р) == |
служить изобра |
|
жением |
некоторого оригинала? |
|
С в о й с т в а п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а Т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и . Преобразование Лапласа
F(P) = +\ |
е Р 1(0 dt |
|
|
|
О |
|
|
единственно в том^мысле, |
что две |
функции /т |
(/) и /2 (/). имеющие |
одинаковые преобразования |
Лапласа, |
совпадают |
во всех точках непре |
рывности для всех t > 0. |
|
могут иметь одинаковое преобра |
|
Различный разрывные функиии |
зование Лапласа (читателю предлагается построить пример такой
функции). |
л и н е й н о с т и . |
Для |
любых |
комплексных |
по |
|||||||
I. С в о й с т в о |
||||||||||||
стоянных |
а и р |
а / (0 + |
Pg (0 |
а /7 (Р) + |
PG (р) |
|
|
|
||||
|
|
g(t) |
G(Р)). |
|
||||||||
(здесь п |
всюду в дальнейшем считаем /(/) |
Р(р), |
|
|||||||||
Найти изображение функций: |
|
|
|
|
|
|
||||||
517. |
1 + /.^ 5 1 8 . |
2 sin t - |
cos/. |
519. М- |
|
|
||||||
И. Т е о р е м а |
п о д о б и я . |
Для |
любого |
постоянного |
а > 0 |
|
||||||
Пользуясь теоремой подобия, найти изображения |
сле |
|||||||||||
дующих функций: |
521. |
/(/) = sin4(. |
|
|
|
|
|
|||||
520. |
f(t) = e°‘. |
|
|
|
|
|
||||||
522. |
а) /« ) = c |
o |
s |
б) |
f(t)=shZt. |
|
|
|
|
|||
523. |
Пусть /(/) = |
F (р). |
Найти |
изображение функции |
||||||||
f \^ ) |
непосредственно |
и |
с |
помощью |
теоремы |
подобия.
Пользуясь теоремами линейности и подобия, найти изображения следующих функций:
524. /(0 ==sin2/. 525. f (t) = sin mi cos nt.
III.Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е о р и г и н а л а . Если функции
/(/), |
НО» ..., |
}'п) (/) являются функциями-оригиналами и f(t)=F(p), |
|||||||
то |
ПО |
P F (P )-H 0). |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
г (0 ~ Р2^ (р) —Р/ (О)—/' (0), |
|
|
|
|||||
|
f<n>(/) аса p/lf (р) _ |
pn-lf (0) - |
рп-чу (0) ~ |
- /'Я-1. (0), |
|||||
где |
под f<k) (0) (Л = 1 , 2, |
|
л — 1) |
понимается |
lim |
jik) (t). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
<-++о |
|
|
П р и м е р |
3. |
Пользуясь |
теоремой о дифференцировании ориги |
|||||
нала, найти изображение функции /(/) = |
sin2/. |
|
|
||||||
|
Р е ш е н и е . |
Пусть |
f (t) |
F (р). Тогда |
|
|
|||
|
|
|
|
п о |
pF (p)-f(0). |
2 |
|
||
Но |
/ (0) = 0, |
а |
f' (/) = 2 sin / cos i = |
sin 2/ |
|
Следовательно, |
|||
Pa + 4 • |
|||||||||
7 * T T = p f ( p ) ' |
откуда |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
F(P) = |
|
sin2 1. |
|
|||
|
|
|
P (P- + |
4) |
|
Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
^530. /(/) = cos2 /. V531. / (/) = sin3/. -532. /(/) = / sin cot. 533. /( t) = cos>4t. 534. f(i) = t cos соt. 535: / (/) = ie*. r
IV. |
Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е и з о б р а ж е н и я . Дифферен |
||||||
цирование изображения |
сводится |
к умножению |
на (— 0 оригинала |
||||
или, вообще, |
|
|
|
F'(P) |
— If (0 |
|
|
|
|
|
F (n) (Р) |
(— 0я / (0- |
|
||
|
|
|
|
|
|||
П р и м е р |
4. |
Найти |
изображение функции |
|
|||
Р е ш е н и е . |
Имеем е1-т- |
р - 1 |
. По теореме о дифференцировании |
||||
изображения |
/ |
1 |
\' |
— |
|
I |
te*. Далее |
------ г |
^ |
откуда - ------— |
|||||
|
\Р — 1/ |
|
|
(Р — 1)" |
|
Найти изображения следующих функций:
536. |
f(t) = t2cos/. |
V5 3 7 . / ( O^/ f e' + chQ. |
538. |
f(t) = (t + \)sin2t. |
539. f(t) = lsh3t. |
V.И н т е г р и р о в а н и е о р и г и н а л а . Интегрирование ори
гинала сводится |
к делению изображения |
на р, т. е. если f(t)^ F (p ), |
|||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
F(p) |
|
||
|
|
f (т) dx *2= |
.Р |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
П р и м е р |
5. Найти изображение функции |
\ ех dr. |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
6 |
|
Р е ш е н и е . |
Имеем е( - |
. |
По |
теореме |
об интегрировании |
||
|
Р— 1
,1
оригинала ^ ех ?*= У — 1" _ |
1 |
|
Р (Р— 1) 4 |
Найти изображения следующих функций:
540. /(/) = |
t |
|
|
541. |
|
t |
|
|
|
||
sinxdT. |
|
/(/) = ^(т+ 1) cos от dr. |
|||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
о |
|
|
|
542. |
|
|
t |
|
|
543. |
|
t |
|
|
|
/(/) = $Tsh2TdT. |
|
/(/) = jj cos2 cox dr. |
|
|
|||||||
|
|
о |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
544. |
|
|
t |
|
|
545. |
/(/) = |
t |
|
|
|
|
|
ch cot dt. V |
$ xf*-Tdx. |
|
|
||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
VI. |
И н т е г р и р о в а н и е |
и з о б р а ж е н и я . |
Если |
интеграл |
|||||||
dp сходится, |
то он служит изображением функции |
п о . |
|||||||||
Sf<w |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
j j f |
(р )ф . |
|
|
|
|
П р и м е р 6. |
Найти изображение функции sin t |
|
|
|
|||||||
Р е ш е н и е . |
Как известно, |
sin I |
|
. Поэтому |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Р2+ 1 |
|
|
|
|
|
sin t |
С |
dp |
. |
00 |
л |
. |
. |
|
|
|
|
— |
* |
5 ш т - т,1Р р |
= — —arctg р = arcctg р |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
||||||
(для многозначных |
функций |
Lпг, Arctg z |
и т. д. берем их |
главные |
|||||||
ветви, для |
которых |
In 1 = 0 , |
arctg 1 = |
я/4 и т. д.). |
'•* |
|
|
||||
Найти |
изображения следующих функций: |
|
|
546. а) - у - ; б) — — ; в) —— .
547. |
ч |
1— cost |
; |
б) |
cos/ — cos 2/ |
|
|
а) |
— ;— |
- |
t . |
|
|||
548. а) |
t |
; |
б) |
|
е*— е~* |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
С помощью теоремы об интегрировании изображения легко вычис |
|||||||
ляются некоторые несобственные интегралы. |
интеграл |
||||||
Пусть |
f(t)¥*F{p) |
и |
пусть сходится несобственный |
||||
со |
|
|
|
|
|
|
|
№ dt. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' (Р) dp, |
(3) |
где интеграл справа можно вычислять по положительной полуоси.
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
Пример 7. Вычислить интеграл ^ |
dt’. |
|
||||||
Решение. Имеем sin t |
Р2+ |
. По формуле (3) |
||||||
|
|
ОО |
00 |
1 |
|
|
||
|
|
dz |
|
|
оо |
л, |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
z2 + |
1 |
=arctgz о “ |
Т* |
||
549. |
г» |
o-at__p-bt |
|
|
|
|
|
|
\ ——т- — dt ( а > О, Ъ > 0). |
|
|
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
550. |
jj* e~*s\nat |
(а> 0 < |
|
а > 0 ). |
|
|
||
|
б7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
551. |
о |
■sin mi dt ( а > 0 , |
Р > 0 , т > 0). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
552 |
^ |
^е~а‘ ge~P/ |
Се~У' |
|
De~6‘ dt |
|
||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Л + B + C + D - 0, а > 0 , р > 0 , Y > 0 , 6 > 0 ) . |
|||||||
его |
00 |
COS a t — COS bt |
»j . |
|
|
|
m |
|
С |
a > |
|
r\ |
|
||||
553. |
\ |
--------j------- dt ( |
0, b > 0 ) . |
|