Курс механики сплошных сред
..pdfрестности точки |
Я]. Точно так же элементарный объем III — |
|
часть области |
S), |
внещняя относительно iZ>\ равен — n -Uda (/' — <). |
Окончательно |
получае^ |
Мы пришли к последнему из выражений (7), которое включает член, вызванный изменением С, и член, вызванный изменением 3>. Первый интеграл из (7) может быть получен применением теоремы Гаусса —Остроградского. Это же выражение выводится через пол ную (субстанциональную) производную от С:
|
|
T ^ |
C d “ |
- I s ( w + c d i v £ , ) |
d»- |
<9> |
|
Используем полученный |
результат для вычисления скорости |
и объ |
|||||
емного расширения. |
|
|
|
|
|
||
При |
С = 1 |
К равно |
объему У0 (&)) области |
@)у и в этом частном |
|||
случае |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
^ |
(®) = J^div 17 di>. |
|
(10) |
Таким образом, div{7 есть скорость объемного расширения дви жущейся среды в точке х в момент ty так как интеграл от div U, взятый по движущейся области @> в момент времени /, равен про изводной от объема области.
Случай векторно-значных интегралов. Нетрудно найти выражение полной производной интеграла по объему от вектор-функции, исполь зуя для этой цели проекции на координатные оси. В частности,
|
T |
W |
|
- J |
» ¥ |
d ‘’ + L |
c |
<£' ' > > d<’ - |
С |
» |
II. |
1.3. Поток |
вектора |
через |
поверхность. Теорема |
2. |
Пусть |
||||
Ф (t) —некоторый |
поток, задаваемый функцией |
|
|
|||||||
|
|
|
|
Ф = $ |
ЕДяс1а, |
|
(12) |
|||
где /?(х, /) —векторное |
консервативное |
(соленоидальное) поле |
(т. е. |
|||||||
div/? = 0); 2 —часть |
связной |
поверхности, |
изучаемой в движении. |
|||||||
Полная |
производная |
потока |
дается выражением * |
|
|
|||||
|
|
■ ^ = ^ { ^ + го4(Я /\£ 0 } -» й а . |
(13) |
Замечание. Если С —замкнутый контур, стягивающий поверх ность 2, а т da —элементарная дуга этого контура, направление которой ориентировано положительно относительно нормали л, то, применяя теорему Стокса, можем записать выражение (13) в виде
где (Bt U, а) — смешанное произведение трех векторов. Здесь опять
* Общий случай неконсервативного поля будет рассмотрен в приложениях.
|
|
|
|
ограничимся лишь |
очевидными соображ^ |
||||||
|
|
|
|
ниями; строгое доказательство дано в nptf' |
|||||||
|
|
|
|
ложениях. |
|
|
|
рассмотрим |
п0~ |
||
|
|
|
|
|
Для вывода формулы |
||||||
|
|
|
|
верхность 2 ', совпадающую с 2 в мешен1, |
|||||||
|
|
|
|
|
и найдем разность |
|
|
||||
|
|
|
|
ф '_ ф |
= $г,Я (х, t')-n' d o '- |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
t)n d a . |
||
|
|
|
|
|
Отрезки траекторий, |
по которым |
двИ" |
||||
|
Рис. з |
|
|
гались |
с момента |
t |
по |
момент V точки |
|||
|
|
|
|
контура С, стягивающего поверхность 2, обт |
|||||||
разуют |
поверхность |
2 |
Три |
поверхности |
2, |
2 ' |
и |
2Ь ограничиваю1* |
|||
замкнутую область |
|
(рис. 3). Так как поле В |
консервативно6 |
||||||||
(соленоидальное), то, применяя теорему |
Гаусса— |
Остроградского» |
|||||||||
можно написать |
тождество для момента V |
|
|
|
|
||||||
|
П -п 1d |
a ' - J ^ |
x , t')-n d o - J r |
В(х, t')-Nda = 0, |
|
||||||
где N —единичный |
вектор, |
нормальный |
к |
24 |
и |
ориентированный |
|||||
относительно 3> таким |
же, как и п. Тогда |
|
|
|
|
||||||
Ф '- Ф = |
$s (fl(x, t') - B ( x , |
/) ) - « d a - J |
Д(х, t')-Ndo. |
|
|||||||
Поделим равенство на ( /'—t) и перейдем к пределу при V —► |
|||||||||||
Первый |
интеграл — V |
• п da, во втором интеграле элемент |
Ndo |
||||||||
поверхности |
при |
V, |
близком к |
t, равен (f/Д т) ds(f' — t), так |
каК |
||||||
триэдр направлений U, т, |
N — правый *. Можно, таким образом, напи |
||||||||||
сать вклад от второго интеграла: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
$c #-(<7Ax)ds = |
^c (B/\U)-Tdo = |
|
rot (ЯД/У)-я da, |
|
тем самым формула (13) доказана.
Консервативные поля, вмороженные в движущуюся среду. Принято говорить, что поле вморожено в движущуюся среду, если в любой точке для каждого момента времени
|
|
|
^ |
+ |
ro t(^ A t/) = 0, |
|
|
|
(14) |
|
где U (х, t) — поле скоростей |
данной |
среды. |
|
|
|
|
|
|||
Согласно (13) |
поток вектора |
В |
через |
произвольно выбранную |
поверхность, |
|||||
прослеживаемую |
в движении, |
остается постоянным |
во времени. В |
частности, если |
||||||
в некоторый данный момент /0 |
поверхность 2 представляет собой поверхность поля, |
|||||||||
т. е. поверхность, для которой |
в каждой ее точке |
вектор |
В (х, |
/0) служит каса |
||||||
тельной, то можно утверждать, что 2 будет оставаться поверхностью |
поля В (*, t). |
|||||||||
Точно так же, если L представляет собой векторную линию поля В в момент |
||||||||||
f0, то она останется таковой, |
если |
изучать |
ее в движении |
для |
любого момента |
* Знак смешанного произведения U, т, N не меняется при изменении направ ления вектора U относительно 2. Если в некоторой точке контура С принять V параллельным п} то можно убедиться, что имеет место знак плюс.
времени |
t. Таким образом, |
можно сказать, и это объясняет употребляемую терми |
||||
нологию, |
что линии поля достаются вмороженными в движущуюся среду. Обратно, |
|||||
если |
поток соленоидального |
(консервативного) |
поля В через произвольно выбран |
|||
ную |
поверхность остается |
постоянным |
при |
движении |
этой поверхности вместе |
|
с полем, то применение фундаментальной |
леммы* дает |
немедленно уравнение (14). |
||||
Однако фиксация линий поля в среде еще не |
подтверждает равенства (14). |
II.1.4. Обобщения. Дифференцирование по произвольному полю скоростей. Полная (субстанциональная) производная позволяет изу чать (и в этом ее значение) изменение величин, характеризующих определенную частицу движущейся среды. Могут, однако, предста виться случаи, когда необходимо проследить эволюцию тех же ве личин в точках или частицах, имеющих собственное поле скоростей
W (х, /), отличающееся от поля скоростей U{xyt) частиц среды. Так обстоит дело, например, когда исследуется распространение волн в
непрерывной среде**
с
Через -убудем обозначать дифференцирование по времени, когда
наблюдатель движется вместе с точкой или |
системой согласно полю |
||||
скоростей |
W Очевидно, что с математической точки |
зрения |
нахож |
||
дение этой |
производной сводится к нахождению полной |
производ- |
|||
ной, т. е. мы можем заменить операцию d |
и поле |
U на |
б |
и W. |
|
Можно, например, написать для функции |
|
|
|
|
|
|
Ж = f - + W - g r a d / |
|
|
|
(15) |
и для интеграла по объему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
Необходимо иметь в виду, что в уравнении (16) участвует лишь одна нормальная составляющая w поля W на границе.
Представляет интерес рассмотрение скорости V среды относитель но собственного движения, задаваемого полем W, полагая
|
U = v + W |
|
(17) |
||
Это позволяет найти связь между |
операциями d и |
б Например, |
|||
|
1 = 1 - + |
, л «га'11. |
|
С») |
|
l t a |
C d " “ - H |
» |
Cd‘’ + L |
C ,' ' ' > d<’ - |
< '°» |
Очевидно, что если W = 0, |
то |
операция-убудет просто частным |
|||
дифференцированием |
, что соответствует |
случаю, |
когда точка или |
объем покоятся в системе отсчета, относительно которой описывается движение. Тогда V = [/> и уравнение (19) сводится к формуле (7).
*О фундаментальной лемме смотри ниже (11.2).
**Первый пример распространения волн дается в 1.1.3.
Замечание относительно области при менения. Полученные результаты и доказа тельство, даваемое в приложении, позво ляют определить достаточные условия
применимости |
найденных формул. |
|
|||||
Первое равенство |
из (7) имеет место в |
||||||
том случае, |
когда функция С и поле U не |
||||||
прерывны |
и |
ограничены в 3), |
вместе |
со |
|||
своими |
первыми производными. |
Для |
по |
||||
лучения |
уравнения (16), представляющего |
||||||
собой общий |
случай |
второго |
уравнения |
||||
(7), необходимо применить |
теорему Гаус |
||||||
са—Остроградского. |
Будем |
считать, |
на |
||||
пример, |
что граница дЗ> области 3> пред |
ставляет собой кусочно-гладкую поверх ность и что С непрерывна вместе со своими частными производными * в замкнутой области 3) + д3>; к тому же нормальная составляющая w
на дЗ) (определяющая при вычислении |
собственное |
движение |
|||||||||||||||||
области ЗУ) также кусочно-непрерывна на дЗ)**. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
11.1.5. |
Случай, |
когда |
|
функции кусочно-непрерывно дифферент |
|||||||||||||||
цируемы. Рассмотрим |
для |
конкретности |
интеграл |
по |
объему. Фор |
||||||||||||||
мула (7) была выведена в предположении, что |
С(х, |
t) |
и U(x, t) — |
||||||||||||||||
непрерывно дифференцируемы в замыкании*** |
области 3>. |
||||||||||||||||||
Предположим |
теперь, |
что |
|
область |
3> разделена |
поверхностью 2 |
|||||||||||||
на части 3>х и 3>2 и что С и U и их |
производные |
(непрерывные и |
|||||||||||||||||
непрерывно |
дифференцируемые в |
3>х и 3>2) |
терпят |
разрыв непре |
|||||||||||||||
рывности при пересечении поверхности 2. |
N |
обозначим |
единичный |
||||||||||||||||
Уточним |
обозначения |
(рис. |
4). |
Через |
|||||||||||||||
вектор, |
нормальный к |
2 |
и направленный |
внутрь |
3)2Уa (J {Р)) будет |
||||||||||||||
означать |
скачок |
величины f |
при пересечении 2 в точке |
Р |
в направ |
||||||||||||||
лении вектора N |
или, |
что |
то |
же, |
разность f (Р+)—f (Я“), |
где Р+ и |
|||||||||||||
Р “ —соответственно предел точек |
со стороны |
3)2 и со стороны 3>v |
|||||||||||||||||
Через W (Я, t) обозначим |
|
скорость |
точки Р |
и будем |
считать, что |
||||||||||||||
точка остается на поверхности разрыва 2 (которую, впрочем, можно |
|||||||||||||||||||
интерпретировать |
как |
волну). |
|
что |
в |
уравнениях фигурирует лишь |
|||||||||||||
В дальнейшем мы увидим, |
|||||||||||||||||||
одна |
нормальная |
составляющая скорости |
|
W»N точек |
поверхно |
||||||||||||||
сти |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После такого уточнения заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
_________ |
|
S iCdy = Sa)1Cdt,+ |
Si1C da |
|
|
|
|
(20) |
|||||||||||
|
* Эти условия |
могут’быть ослаблены: вполне достаточно, |
чтобы частные про |
||||||||||||||||
изводные по пространственным переменным существовали и были интегрируемы в 3). |
|||||||||||||||||||
|
** Можно задать в области 3 ) |
поле скоростей W, непрерывно дифференци |
|||||||||||||||||
руемое, у которого пограничные на дЗУ значения |
имели |
бы нормальную состав |
|||||||||||||||||
ляющую, |
равную w. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
*** Когда о функции говорят, |
что она |
непрерывно дифференцируема в замы |
|||||||||||||||||
кании области 3), то это означает, |
что функция со |
своими |
первыми |
производными |
|||||||||||||||
непрерывна в 3) + д3 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образов, приводим к выводу, что с течением времени соб ственное движенце S , и определяется перемещением границ. Имеют место равенства а® , = ^ + 2, d2>a = Si + 2. Так как изу чается в движении,_ то движение систем St и Sa—это движение
среды (поле скоростей U). Движение поверхности 2 задается полем W, как это было показано выше.
Если обозначить через |
и |
операции |
дифференцирования |
по времени собственных движений |
£D(1) и |
то изучаемая вели |
|
чина может быть записана |
в виде |
|
J |
где каждое из слагаемых в правой части можно переписать, приме няя формулу (16);
^ |
k Cdt,^ L |
^ - dt, + I s ,Ci7nd(T + L C (P '- 0 ^ d a , |
(21) |
^ |
L . С d0~ k |
1Г d0 + L CU n d o - ^ C (Р*, t)w da; |
(22) |
знак минус в последнем выражении связан с тем, что N является еди ничным нормальным вектором на поверхности 2, внешним по отно шению к S>2. Можно теперь написать
l S a Cd” - L £ |
d”+ L CP'” d0- S s <c >»’d<’- |
<23> |
|||
Если использовать относительную скорость в соответствии с оп |
|||||
ределением |
(17), то выражения (21) и (22) можно переписать в виде |
||||
Ж 5а, С |
“ U , {Ж + <Hv (CP)} Л>■- |
С (Р -. О V (Р - . () ■N do, |
|||
Ж L С |
L { ж + « » <РО)]л> + L С <'’*•') V |
0 ■ |
|
||
Для упрощения записи положим v=*V N, тогда |
|
|
|||
жг 5^с du“ L |
+ d1v <сс° } du+ ^ сСи>dcr- |
|
<24) |
||
Теперь |
можно сформулировать теорему. |
|
|
||
Теорема 3. Если объем SD включает поверхность разрыва Б, то |
|||||
формулы (7) должны быть |
заменены на |
(24) и (23), в которых w и v |
обозначают соответственно нормальную к Б составляющую скорости некоторой точки на Б и нормальную составляющую скорости среды
относительно Б.
Обратим внимание на то, что добавочный член в (23) не зависит от поля U. Отсюда сразу же следует, что уравнение (19) верно и для случая, когда область @) имеет поверхности разрывов. (Нор мальную составляющую скорости поверхности разрыва обозначим
через w, чтобы не путать ее со скоростью W , используемой в оп
ределении оператора |
и применении формул (23) при вычислении |
||||
производных -jjj- и б/бt в |
соотношении (23)). |
||||
Имеет место теорема. |
|
связывающее дифференцирование по |
|||
Теорема 4. |
Уравнение (19), |
||||
времени полей |
скоростей |
U и |
W, |
остается |
верным и в случае, когда |
область ЗУ включает поверхность |
разрыва |
непрерывности. |
II. 2. ОСНОВНАЯ ЛЕММА ФИЗИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
Вывод, к которому придем в настоящем параграфе, будет часто использоваться в дальнейшем, и имеет смысл сформулировать его более четко. Но сначала дадим определение.
Определение. Семейство ¥ открытых множеств D некоторой области ЗУ называется плотным в ЗУ, если для любой точки М вну три ЗУ и для любой окрестности V этой точки, существует по меньшей мере одно множество D из семейства, расположенное вну три V.
Пример. Если ЗУ— некоторая трехмерная область, то множество всех шаров внутри ЗУ является плотным семейством в области ЗУ- Так же обстоитдело и для
всех кубиков, грани которых параллельны |
координатным осям. Определение при |
||||
менимо также и к случаю, |
когда |
ЗУ— поверхность или отрезок кривой линии. |
|||
В последнем случае, если |
дуга ЗУ задается криволинейной абсциссойs (а < s < Ь), |
||||
то множество криволинейных отрезков |
< |
s < |
s2является плотным семейством ¥ |
||
в области ЗУ, если только а < |
< |
s2 < |
b и |
Si и sa— рациональные числа. Во |
всех этих случаях совокупность всех открытых множеств из ЗУ составляет семей ство ¥* плотное в ЗУ-
Теперь можно сформулировать основную лемму. |
|
|
|
и не |
|||||||||
Лемма. Пусть |
<р(М) — некоторая |
функция, |
определенная |
||||||||||
прерывная в области ЗУ, |
а |
семейство ¥ |
является |
плотным |
в ЗУ. |
||||||||
Если для любого D из ¥ |
интеграл |
от <p(M) |
по |
области D |
равен |
||||||||
нулю, то функция |
ср (М) тождественно |
равна |
нулю |
в ЗУ. |
|
|
|||||||
Здесь под интегралом |
следует понимать объемный, |
поверхност |
|||||||||||
ный или, наконец, криволинейный интеграл в зависимости |
от того, |
||||||||||||
является ЗУ объемом, поверхностью или отрезком |
кривой |
линии. |
|||||||||||
Для каждого из этих случаев основная |
гипотеза |
леммы формули |
|||||||||||
руется следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
$D<pdt> = 0; |
$о ф<1ст=0; |
$£><pcis = 0. |
|
|
|
(25) |
|||||||
|
|
Доказательство |
очень |
просто. Предполо |
|||||||||
|
жим, |
что ЗУ — трехмерная область. |
Если в |
||||||||||
|
некоторой точке М () внутри ЗУ функция ф(М0) |
||||||||||||
|
отлична от нуля (ф (Л40) > |
0), |
то |
в |
силу не |
||||||||
|
прерывности |
ф можно найти для М0 окрест |
|||||||||||
|
ность V, такую, |
что |
ф (М) в V |
будет |
боль |
||||||||
|
ше, |
чем 7 2 ф (М0). Пусть |
теперь D — неко |
||||||||||
|
торое множество из семейства ¥ , располо |
||||||||||||
|
женное внутри |
V (рис. |
5). |
Интеграл |
от ф |
||||||||
Рис. 5 |
по области D ограничен |
снизу строго |
поло- |
жительным числом 7 а <p(Af0)vol(D), где vol(D) —объем V. Это, однако, противоречит гипотезе (25). Такие же рассуждения можно применить и к случаю поверхности или отрезка кривой.
- Естественно, вывод не изменится, если ср —некоторая векторфункция, непрерывная в D. В этом случае достаточно применить лемму к компонентам вектор-функции по осям координат.
11.3. ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ
Итак, будем считать, что закон сохранения (1) справедлив в
любой области |
лежащей внутри изучаемой системы S, |
и сде |
|
лаем из этого некоторые |
выводы. Если не будет оговорено |
обрат |
|
ное, будем считать, что уравнение (1) применимо ко всем областям S), |
|||
лежащим в тех |
частях |
пространства, где £7(х,/), Л (х, /), |
4(х, t) |
непрерывно дифференцируемы. Предположим также, что ос(дс, t , п)— некоторая функция, непрерывно дифференцируемая по своим аргу
ментам. Случай, |
когда эти функции кусочно-непрерывно дифферен |
|||||||||||||||||
цируемы, рассмотрен |
в |
11.3.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11.3.1. |
Закон |
поверхностных взаимодействий. Теорема 1. Вели |
||||||||||||||||
чина ос |
является |
нечетной функцией аргумента п , иначе говоря |
||||||||||||||||
|
|
|
|
«(х, t, п) = а(х, t, |
—л). |
|
|
|
|
|
(26) |
|||||||
Будем рассуждать, фиксируя момент времени t. Пусть Р |
и N— |
|||||||||||||||||
соответственно точка и выходящий из нее луч, для |
которых |
необ |
||||||||||||||||
ходимо доказать |
соотношение (26). Рассмотрим плоскость П, про |
|||||||||||||||||
ходящую через точку Р перпендикулярно N, и область S)0, содер |
||||||||||||||||||
жащую Р и образующую при пересечении с |
плоскостью П поверх |
|||||||||||||||||
ность |
2 0, на |
которой |
все |
величины непрерывно дифференцируемы. |
||||||||||||||
Пусть, |
наконец, |
£Й> —область внутри й>0, при пересечении с которой |
||||||||||||||||
плоскость П дает поверхность 2, содержащуюся |
в 2 0. |
|
|
|||||||||||||||
Плоскость |
П |
делит |
|
на |
части |
&)х и |
й)а. Употребим те же |
|||||||||||
обозначения, что |
в II. 1.5 |
и |
на |
рис. |
4. |
Запишем |
соотношение (1) |
|||||||||||
последовательно |
в Й>1Эй)а и S), помня, что — N —единичный вектор |
|||||||||||||||||
нормали, направленный |
вне 3)2 в |
некоторой |
точке |
2. |
Получаем: |
|||||||||||||
|
Ш S A d i dv + L |
а ' W |
d° |
+ |
1 * |
|
(Л° |
d a “ |
I |
A A ‘ dV’ |
|
|||||||
|
a? I * |
/ * |
d o + |
L |
a «-(n) d° + |
U |
a ‘ {~ |
m |
d a ~ |
L |
A{ dv> |
|
||||||
|
|
|
|
|
^ o j ‘ d v + S ^ a ‘ (n)da=sL Aid°- |
|
||||||||||||
Складывая |
первые |
два |
равенства |
и |
вычитая |
из |
результата |
|||||||||||
третье, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ss {«i(W + «/ (-A 0 } d a = 0. |
|
|
|
|
(27) |
||||||||||
По построению, поверхности 2, вместе взятые, |
|
составляют не |
||||||||||||||||
которое плотное |
семейство, |
входящее |
в 2 0, |
и, |
по предположению, |
|||||||||||||
подынтегральное выражение в фигурной скобке |
в (27) —непрерыв |
|||||||||||||||||
ная в 2 0 функция. Согласно |
основной |
лемме эта |
величина тожде |
Wa*d0=W °
(не невидимых гранях а я не пока-
ственно |
равна нулю в |
2 0 и, в частно |
||
сти, в |
точке Р. |
Таким |
образом, |
тео |
рема доказана. |
смысл полученного ре |
|||
Физический |
||||
зультата станет |
яснее, |
когда в |
двух |
последующих главах мы уточним при роду величин, входящих в закон со хранения. Здесь же заметим, что сде ланный вывод и доказательство пол ностью идентичны выводу и доказа тельству теоремы действия и противо действия из общей механики.
II.3.2. Ассоциированное уравнение
вчастных производных. Введем сле
дующие обозначения: пусть |
е19 е2, е3 — |
|
единичные векторы базиса |
декартовой |
|
системы координат xh тогда |
|
|
а,.(х, t, eJ) = ai / (x, |
t). |
(28) |
Пока будем считать, что это всего лишь обозначение: величины а,7 представляют девять функций, зависящих от выбранной декар товой системы координат, и пока неизвестно, представляет матрица,
составленная из |
ai/9 тензор |
или |
нет в данной |
системе координат. |
||||
Выпишем для |
фиксированного |
момента времени t |
закон |
сохра |
||||
нения (1) применительно к лежащему внутри |
@)0 прямоугольному |
|||||||
параллелепипеду |
ребра которого параллельны осям координат. |
|||||||
Напомним, что внутри области @)0, принадлежащей системе S, изу |
||||||||
чаемые функции |
считаются |
непрерывно дифференцируемыми. |
Еди |
|||||
ничный вектор нормали л, |
направленный |
вне Э*9 в |
любой |
точке |
||||
на гранях |
(кроме ребер) представляет собой один из |
трех векторов |
||||||
± e i9 ± е а, |
± е 3, |
и можно легко |
проверить |
(рис. 6) с учетом |
усло |
|||
вия (28), что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ d5>ai do = \ dg>aiJnJ Aa. |
|
|
(29) |
Применяя теперь теорему Гаусса —Остроградского, можно на писать
Wa ' da== $j»e/ / . / d®*
ис учетом (7) представить уравнение (1) в виде
15» {^Г + № /> • 1+ аИ. у - Л/} = 0. |
(30) |
Это равенство справедливо для всех параллелепипедов 5», со держащихся в £2)0 и образующих в этой области плотное семейство, причем выражение в фигурных скобках есть функция, непрерыв ная в £>„. Основная лемма позволяет теперь сформулировать сле дующую теорему.
Теорема 2. Функции А {, А{ и a{J удовлетворяют во всех точках системы S, где они имеют непрерывные производные, системе урав нений в частных производных
|
(c/£,-t/y+ Д//), j = А{- |
(31) |
Система (31) |
(i, /= 1 , 2, 3) —представляет собой |
систему урав |
нений в частных |
производных, соответствующую закону сохране |
|
ния (1). |
|
|
Обратим внимание на то, что левая часть равенства есть сумма частных производных по переменным Эйлера, в то время как пра вая часть считается известной (в частности, она равна нулю, если заданная функция А( в свою очередь равна нулю). Уравнение, об ладающее такими свойствами, называется уравнением сохранения в частных производных.
Следствие. Для всякой |
области |
й>, входящей в @)0, |
имеет место |
|||||||||||||
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Saii<a ' _ a '-/V>dCT = 0- |
|
|
|
|
(32) |
||||||||
Обратно, если уравнение (31) справедливо в любой точке области й>0, |
||||||||||||||||
а уравнение |
(32) —для |
любой |
области |
3> внутри @>Qy то закон, |
||||||||||||
формулируемый равенством (1), справедлив для любой области 3>. |
||||||||||||||||
Утверждение очевидно, так |
|
как |
согласно |
теореме |
Гаусса —Остро |
|||||||||||
градского и уравнениям |
(7) |
и (31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ши * 1dt’+ U |
a'Vn/ dCT = |
I s A d»- |
|
|
|
|
(33) |
||||||
Заметим, |
что |
уравнение (32) представляет собой обобщение урав |
||||||||||||||
нения (29) на случай произвольной области 3>. |
изучением |
величи |
||||||||||||||
II.3.3. |
Тензор плотности потока. |
|
Займемся |
|||||||||||||
ны а как функции нормали |
п |
и |
определим природу |
величин |
а(/. |
|||||||||||
Начнем с того, |
|
что расширим определения величины а |
на векторы |
|||||||||||||
не обязательно |
единичной |
длины, |
положив |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
а |
(х, |
t, Xri) = |
Ха (х, |
/, я), |
|
|
|
|
(34) |
||||
где я —единичный вектор, |
|
а |
?t—действительное |
число. |
Обратим |
|||||||||||
внимание на то, что (34) вполне согласуется с (26). Теперь можно |
||||||||||||||||
сформулировать |
теорему. |
|
|
|
|
|
и —произвольный |
|
|
|||||||
Теорема |
3. |
Функция |
а ( х ,/, и), |
где |
вектор, |
|||||||||||
является линейной функцией от я и определяет |
в |
любой |
момент |
|||||||||||||
времени / и в |
любой точке |
системы |
S |
тензор а, |
называемый |
тен |
||||||||||
зором плотности потока, соответствующий закону |
сохранения |
(1), |
||||||||||||||
соответствие определяется |
отображением |
и —>а(и). |
В |
системе ко |
||||||||||||
ординат Х( этот тензор представлен |
матрицей ai/t |
следовательно*, |
||||||||||||||
_________ |
|
|
a i (х, t, и) = al7 (х, t) Uj. |
|
|
|
|
(35) |
||||||||
* Некоторые авторы записывают это |
в виде a/ = ayj-Wy, |
что |
означает линей |
|||||||||||||
ное отображение и — >а. При этом используется |
не данная, а транспонированная |
|||||||||||||||
матрица. Этот путь |
вполне законен, но будем придерживаться |
обозначений, ко |
||||||||||||||
торыми пользуются |
математики. (См., |
например, |
П1.2.1а.) |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
в фиксированный момент |
|||||
|
времени t даны точка Р и проходя |
||||||
|
щий через нее единичный |
вектор N. |
|||||
|
Докажем |
теорему, |
пользуясь |
этими |
|||
|
данными; |
покажем, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
a i = t a i j N j . |
|
|
(36) |
|
|
Рассмотрим снова плоскость П, про |
||||||
|
ходящую через точку Р перпенди |
||||||
|
кулярно |
вектору N, и область |
S>ot |
||||
|
сечение которой плоскостью П дает |
||||||
Т: А ХА %А Л, |
поверхность |
2 0 (включающую точку |
|||||
Р) (рис. |
7). |
|
|
|
|
|
|
Т: CAt A t + C A t A a+ |
|
|
внутри |
об |
|||
+ С А ЬА , |
Пусть |
ST — тетраэдр |
|||||
{ |
ласти S), |
у |
которого |
три |
ребра |
параллельны координатным осям и, следовательно, три прямых
угла. Одна |
из |
граней тетраэдра Т |
(гипотенуза) |
лежит |
внутри 2 0. |
||||
Положим |
д<&~ = Т -\-Т , так |
что Г |
будет |
объединением |
граней, |
||||
параллельных |
координатным |
плоскостям. |
Согласно |
определе |
|||||
нию (28) можно написать, как |
и для |
уравнения |
(29), |
|
|
||||
|
|
(ai —atjtij) da = 0. |
|
|
|
|
|
||
Применяя равенство (32) к тетраэдру <^Г, имеем |
|
|
|
||||||
|
|
(а /—aijNj) da = 0. |
|
|
|
|
(37) |
||
Множество треугольников Г, получающихся друг из друга пре |
|||||||||
образованиями подобия и переносом, образует в |
2 0 |
плотное семей |
|||||||
ство, в то время как подынтегральная функция |
в |
(37) |
по |
предпо |
ложению непрерывна на 20. Из основной леммы в этом случае сле
дует, |
что равенство (36) справедливо в любой точке на 2 0 и, в част |
|||
ности, |
в точке |
Р |
и (35) обобщают все |
полученные до |
Заметим, что уравнения (31) |
||||
сих пор результаты. С другой |
стороны, так как из |
(35) следует, |
||
очевидно, (32), |
то можно сформулировать следующую теорему. |
|||
Теорема 4. |
Если непрерывно дифференцируемые в 3)0* функции |
v^( (x, /), Л(х, /), Д/у(х, t) удовлетворяют уравнениям (31), а вектор а определяется уравнениями (35), то закон сохранения (1) тождественно справедлив для любой области 3> внутри 2>0.
11.3.4. Условия на разрывах. Предположим теперь, что поле скоростей U и все величины, участвующие в формулировке закона сохранения, всего лишь кусочно-дифференцируемы. Таким образом, все функции вместе со своими производными терпят разрыв при пересечении некоторой поверхности, называемой поверхностью раз рыва. Будем считать, что касательная плоскость к поверхности раз
* Понятно, что результат не изменится, если в отношении функции Л/ огра ничиться только непрерывностью.