Курс механики сплошных сред
..pdfрыва может вращаться кусочно-непрерывно. Пусть теперь 2 0 — связ
ное открытое множество на поверхности разрыва, |
N — единичный |
|||
вектор, нормальный к поверхности 2 0. |
непрерывен |
на поверхнос |
||
Будем считать также, что вектор N |
||||
ти 2 0. Покажем, что закон сохранения |
(1) дает |
возможность полу |
||
чить определенную информацию о разрывах. |
20 выполняется ра |
|||
Теорема 5. |
В любой точке на поверхности |
|||
венство |
(Ли + сс(Л0) = |
0. |
|
(38) |
|
|
|||
Заметим, что |
здесь используются те же обозначения, что и в II. 1.5 |
(см. рис. 4). В частности, о—нормальная составляющая скорости среды относительно поверхности разрыва, определяемая уравнениями
u = V + W, v = V ЛГ,
в которых |
W —поле скоростей собственного |
движения |
поверхнос |
|
ти 2 0. Кроме |
того, имеем равенство |
|
|
|
|
|
( a ( N ) ) - « (P+,t, N ) - « ( P - , |
U ЛО. |
|
значения а |
в |
котором получены в точке Р поверхности |
2 0р в неко |
торый момент времени t при подходе к точке Р из областей й>2 и S>v Доказательство следует из рассмотрения области D, которая при
пересечении ее поверхностью разрыва 2 0 делится на части |
и Й>2. |
|||
Пусть 2 —часть поверхности, |
вырезаемая |
областью |
на |
2 0. Все |
величины в каждой из частей |
в &)2 по |
предположению |
непре |
рывны вместе со своими производными. Согласно (24) закон сохра нения (1) применительно к области S) (которую мы изучаем в дви жении) запишется в виде
h> |
+ W ) . / - |
л ' | dy + |
da + |
U ‘v) da = °- |
Кроме того, применяя теорему Гаусса — Остроградского к областям |
||||
и 3)г и учитывая (35), имеем |
|
|
||
|
Ц a.y ./dt,- k |
a ida“ |
Sxa i(P "* {>N) dcr = 0, |
|
|
Ss.a i dor+ |
L a <(P+* |
N)do = 0. |
|
Складывая левые и правые части равенств, получаем тождество |
||||
+ Wiи 1+ a*/)> I —^i}d®+ |
+ WiUj + a,j), j - д |< Ь + |
|||
|
+ L |
U ‘v + “ <• ( W da = °. |
(39) |
являющееся одной из возможных интерпретаций закона сохранения применительно к области S>.
Согласно (31) первые два интеграла по объему из (39) равны нулю. В третьем интеграле 2 представляет собой произвольную открытую часть поверхности 2 0, а подынтегральная величина по предположению непрерывна на 2 0. Основная лемма приводит к урав
нению |
(38). |
И обратно, |
если |
(31) справедливо |
в |
любой точке |
об |
||
ластей |
@> |
и 2>а, |
а (38) —в |
любой |
точке 2, |
то |
уравнение |
(39) |
|
(вытекающее из |
закона |
сохранения, |
записанного |
применительно к |
области ЗУ) также справедливо. Равенство (38), таким образом, дает всю информацию, которую можно извлечь из применения уравне ния (1) к областям, имеющим одну поверхность разрыва.
11.3.5. Общая интегральная форма закона сохранения. Если пред положить далее, что область &) совершает собственное движение относительно движущейся среды, то закон сохранения (1) может быть записан в более общей форме [используя формулу (19) и при меняя обозначения из 11.1.4]:
+ |
(40) |
в которой |
|
а'ц — Л У j + aijy a iW — a'tiUj. |
(41) |
Таким образом, конструкция уравнения (1) сохраняется, если заменить тензор потока atj на тензор а'ц, определяемый уравнения ми (41), что позволяет выявить влияние относительной скорости. Согласно теореме 4 (IIЛ.5) уравнение (40) справедливо и для слу чая, когда исследуемые величины имеют лишь кусочную непрерывность.
Здесь выявляется одна |
из возможных интерпретаций уравнения |
(38), |
которое |
|||||||||
в данном случае запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(«;•(*))= о. |
|
|
|
|
|
|
|
(42) |
||
Напомним, |
что вектор |
определяемый |
из |
(41), где |
V— скорость |
среды |
||||||
относительно возможной поверхности разрыва 2, |
характеризует |
обмен, осущест |
||||||||||
вляющийся через эту поверхность. |
Равенство |
(42) |
показывает, |
что |
этот |
вектор |
||||||
не испытывает никакого разрыва непрерывности, проходя через 2 (эта последняя |
||||||||||||
движется со скоростью W”). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.3.6. |
Естественные граничные |
условия, |
соответствующие за |
|||||||||
конам сохранения. До |
сих пор формулировки и применение закона |
|||||||||||
сохранения относились только к областям £5, находящимся строго |
||||||||||||
внутри системы S. Естественно предположить, что такой закон можно |
||||||||||||
записать для системы S в целом или |
для |
областей |
S), |
имеющих |
||||||||
общую граничную поверхность 2 с |
поверхностью |
dS —границей |
||||||||||
системы S. |
|
|
|
что S |
|
является |
связной |
областью |
||||
Для простоты будем считать, |
|
|||||||||||
|
|
и что поверхность dS имеет непрерывно вра |
||||||||||
|
ds |
щающуюся |
касательную плоскость |
и конеч- |
||||||||
|
ное число |
ребер. Выше было показано, что в |
||||||||||
|
|
законах (1) и (33) величины a{J и а,- |
опре |
|||||||||
|
|
деляют |
эффект |
внутренних взаимодействий. |
||||||||
|
|
Для того чтобы |
применить |
закон (1) для об |
||||||||
|
|
ластей Й>, имеющих общую границу 2 |
с си |
|||||||||
|
|
стемой |
S, |
нужно |
предположить |
существова |
||||||
|
|
ние некоторого внешнего поверхностного воз |
||||||||||
|
|
действия, |
которое в любой момент времени/ |
может |
быть представлено кусочно-непрерывным полем векторов |
||||||||
(Р, 0« |
задаваемым на поверхности dS и моделирующим поток че |
||||||||
рез поверхность |
dS. В зависимости от |
каждой конкретной |
задачи а |
||||||
(Р, t) |
будет либо задано, либо неизвестно. Таким образом, закон со |
||||||||
хранения |
для |
рассматриваемой |
здесь |
области D запишется |
в виде |
||||
(полагая |
3® = |
2 -(-2' (рис. 8): |
|
|
|
|
|
||
|
|
37 |
|
‘4‘ dv + L |
{П) d° + U |
dff = U |
A‘ dv■ |
<43> |
|
Ограничимся |
применением |
этой формулы |
к тем |
областям @>, для |
которых 2 лежит целиком внутри данного открытого множества 20 на поверхности dS, причем _нормаль и, направленная наружу от
поверхности dS, и функция а (Р, t) непрерывны. Если рассматривать @> как предел областей £>п, образованных точками из £>, располо женными от 2 на расстоянии, большему, где г\—производная сколь угодно малая длина, и если определить aiy и а,, (я) в любой точке Р поверхности 2 путем непрерывного продолжения, то получим
Ж |
+ |
« /(« )d o + $„«/(«) do = |
A,dv. |
(44) |
Сравнивая |
уравнения |
(43) с уравнением (44), |
приходим к |
выво |
ду, что для любой поверхности 2, целиком лежащей внутри 20, имеет место равенство
{«г (n)-a,.)do = 0.
Опираясь на основную лемму (так как величина под знаком ин
теграла непрерывна), приходим к следующему равенству: |
|
а(Р, п, l)*=a(P, t). |
(45) |
Это равенствоотражает краевое условие,которое естественным |
|
образомассоциируется с законом сохранения. Оносправедливо |
для |
любой точки Р поверхности dS (я — единичный вектор нормали в |
данной точке, направленной наружу). Это краевое условие для тен зора потока на границе dS:
= |
|
|
|
(46) |
|
|
В некоторых случаях приходится учитывать особые физические явления, при |
||||||
рода которых проявляется исключительно на поверхности dS |
системы 5. |
Эти |
||||
явления накладываются на явления, описанные выше, и должны |
быть учтены в |
|||||
краевом условии (45), и поскольку это условие вытекает |
из |
закона |
сохранения, |
|||
то оно должно быть изменено соответствующим |
образом. |
К |
числу таких явлений |
|||
относится, например, поверхностное натяжение, которое |
приходится |
иногда |
учи |
|||
тывать в некоторых задачах механики жидкостей. |
сказать, |
что уравнение |
||||
Оставляя в стороне эти специальные случаи, можно |
||||||
(45) является необходимым краевым условием, которое, |
однако, |
как |
видно |
при |
||
изучении вязких жидкостей, не всегда является |
достаточным. |
|
|
|
II.3.7. Заключительное замечание. В заключение этого раздела напомним, что в целях наглядности наши рассуждения были осно ваны только на одном уравнении сохранения, в которое входят векторные величины. Однако эти результаты применимы и к другим
возможным случаям, если, конечно, заменить обозначения и назва ния. Например, если величины Л, а и А —скаляры, то а —вектор по тока, а соотношение (35) должно быть заменено следующим:
|
а (х, |
/, |
й) = а, |
(х, |
*)«;• |
(47) |
Точно так |
же величина |
а |
будет |
в |
этом |
случае скаляром и |
уравнение (46) |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
al (P ,t)n i= a(P ,t). |
(48) |
Сделанные выводы справедливы и для случая, когда Л, а и А—
тензорные величины |
ранга п. |
Тогда а |
есть тензор |
(л + |
1) ранга. |
|||
Метод исследования |
и характер |
выводов остаются справедливыми и в случае, |
||||||
когда система 5 является поверхностной или |
линейной, однако выкладки тогда |
|||||||
меняются. Рассмотрим, например, среду, распределенную |
по |
некоторой |
поверх |
|||||
ности. Пусть &) —часть |
поверхности, a |
dS) — дуга. Чтобы |
применить соотноше |
|||||
ние, аналогичное закону |
сохранения |
(1), |
необходимо прежде всего уметь записать |
|||||
теорему Гаусса— Остроградского и |
рассчитать |
субстанциональную |
производную |
|||||
от интеграла по многообразию, которое теперь |
уже будет |
не |
евклидовым, а ри- |
|||||
мановым. В этом случае |
придется использовать методы дифференциальной гео |
|||||||
метрии, которую не хотелось бы вводить в этот курс, желая |
сохранить |
его эле |
||||||
ментарный характер и не предполагая, что читатель знаком с |
дифференциальной |
|||||||
геометрией. |
|
|
|
|
|
|
|
|
11.4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ
Закончим настоящую главу рассмотрением весьма простого, но очень важного для приложений закона—закона сохранения массы. Основная формулировка, приведенная в 1.2.2, приводит к равенству
£ t a p d t ;= 0 ’ |
(49) |
где —некоторая произвольная область системы S, которую мы считаем трехмерной; р(х, t) — объемная плотность массы. Величина Л представлена скаляром р; а, а, А равны нулю.
Полная интегральная форма данного закона может быть выра жена [согласно (40) и (41)] уравнением
— l ^ V n d <’ ------
левая часть определяет производную массы по времени, когда гра ница S) имеет собственное движение, а поле V определяет скорость среды относительно этой границы. В этом случае совершенно есте ственно истолковать pudo как расход массы через поверхность. Вывод справедлив для случая, когда объем неподвижен относительно системы координат при условии, конечно, замены V на U.
11.4.1. Уравнение неразрывности. Уравнение в частных производ ных, соответствующее уравнению (49), в точке непрерывности будет иметь вид [согласно (31)]
l + W . i - O . |
(50) |
Оно может также быть записано в другом виде:
g + div(p£/)~0
ИЛИ |
|
|
|
|
|
;£ + pdivZ7=»0. |
(51) |
Заметим, что |
скорость |
объемного расширения, которую мы ввели |
|
в II. 1.2, можно |
записать |
в виде |
|
d iv 17
J_ dp р dt *
Замечание. В 1.2.2 уже говорили, что можно легко получить субстанцио нальную производную от интеграла по распределению масс, если произвести инте грирование под знаком интеграла, поскольку масса сохраняется. Например,
Равенство легко проверяется, если левую часть преобразовать по формуле (9)
сучетом условия (51).
И.4.2. Контактные поверхности и ударные волны. Уравнение на поверхности разрыва, соответствующее закону сохранения массы, может быть [согласно (38)] записано следующим образом:
(РУ) = О, |
(52) |
т. е. поверхностный поток массы pu = m остается непрерывным при переходе через поверхность разрыва 2. Здесь следует различать два случая.
а) Контактная поверхность. Если на поверхности 2 т = О, то отсюда следует, что
v+= и “ = 0 , |
(53) |
так как плотность р положительна; поток через поверхность 2 отсутствует, скорости сред относительно поверхности с обеих сторон поверхности разрыва направлены по касательной. В этом случае говорят, что 2 является контактной поверх ностью или поверхностью скольжения. Ско
рость U терпит разрыв при пересечении 2, но этот разрыв относится только к касатель ной составляющей (рис. 9).
Обратим внимание на следующее свойство: пусть |
|
|
|||
/ (х, |
0 = 0 представляет собой уравнение поверхнос |
|
|
||
ти 2 |
в фиксированный момент t; |
А — операция диф- |
|
|
|
|
|
|
Ы |
|
|
ференцирования в собственном движении поверхнос |
|
|
|||
ти 2. |
|
полагая grad f = N |
|
|
|
Обратимся к уравнению (18), |
|
|
|||
| grad / |, где N — единичный вектор нормали к повер |
|
|
|||
хности 2 (направленный в сторону, где / > 0). |
|
|
|||
Так как т т = 0 , |
то имеем |
|
Рис. 9. Разрыв на поверх |
||
|
Of |
|
|
ности 2 |
и диаграмма ско> |
|
^ |
=w | grad/ |. |
(54) |
ростей в некоторой точке |
|
|
|
Р на 2 |
Следовательно, из того, что уравнение / (*, /)=* |
||||
= 0 является уравнением поверхности контакта 2» |
||||
вытекает* |
что обе субстанциональные производные |
|||
от f равны нулю на обеих |
сторонах |
поверхности 2* |
||
Таковы, например, |
поверхности, разделя |
|||
ющие две не смешивающиеся |
между собой |
|||
жидкости, текущие |
относительно друг дру |
|||
га, или |
свободная |
поверхность воды, нахо |
||
дящаяся |
в контакте |
с |
атмосферой. Все они |
|
|
|
представляют собой контактные поверхности. |
|
на 2 |
|
б) Ударные волны. Если т не равно ну |
правление N, |
можно |
лю, то, выбрав соответствующим образом на |
|
предположить, что v+ и v~ положительны. |
|||
Среда, |
таким |
образом, |
проникает через поверхность разрыва 2, и |
в этом |
случае говорят, |
что 2 является ударной волной (рис. 10). |
В качестве примера рассмотрим газ, находящийся в трубе в состоянии покоя. Один конец трубы закрыт поршнем. Если в некоторый момент начать двигать поршень внутрь трубы, то в последующие моменты в трубе все еще будут нахо диться области, где газ не пришел в движение. Такая область отделена от дви жущегося газа ударной волной. Любой взрыв в общем случае порождает в среде ударную волну. Полет сверхзвукового реактивного самолета также создает в окру жающей атмосфере ударную волну.
II.4.3. Граничные условия. Предположим для определенности, что система S находится в контакте со стенками сосуда 3 Физи ческие соображения согласуются с основным выводом II.3.6: поток массы через поверхность в любой точке 5* должен быть равен нулю или, иначе, нормальная составляющая скорости среды относительно стенок сосуда должна быть равна нулю.
Пусть, например, / (х, t) = 0 — уравнение стенки сосуда для любого момента времени /, тогда для Э* мы должны написать [согласно (54)]
(55)
II.4.4. Несжимаемые среды. Определение. Среда называется не сжимаемой в том случае, если в любой точке и в любой момент времени скорость объемного расширения равна нулю, каковы бы ни были условия и каковы бы ни были силы, приложенные к среде.
Иначе говоря, в соответствии с уравнением (10) объем любой части среды, рассматриваемой в своем движении, остается постоян ным, так как
d iv f/= 0 . |
(56) |
Согласно (51) полная производная от р равна нулю и, следова тельно,. объемная плотность в любой материальной точке остается постоянной.
Может случиться, что р не будет постоянно во всей среде*,
* Любую жидкость можно рассматривать как несжимаемую; среду, состоя щую из двух несмешивающихся жидкостей, будем, таким образом, считать не сжимаемой. Но в некоторый фиксированный момент значение объемной плотности будет меняться в зависимости от того, принадлежит данная точка той или иной жидкости.
но еоли в некоторый данный момент р имеет одно и то же значе ние р0 во всей среде, тогда р = р0 в любой точке и в любой момент времени.
При этом все время предполагается (если не оговорено против ное), что все сказанное выше верно только для несжимаемых сред. Тогда уравнения
P(*i> ** % 0 = Ро, div U=0
удовлетворяют одновременно определению несжимаемости и уравне нию непрерывности для данной среды.
Замечание. Если среда не является несжимаемой, то ее естест венно назвать сжимаемой.
Может оказаться, что в некоторых особых случаях при специаль ных условиях сжимаемая среда будет участвовать в движении, для которого условие (56) выполняется в любой точке и в любой момент времени. Такое движение называют иногда изохорическим.
II.4.5. Функция тока для плоскопараллельных и осесимметрич ных стационарных движений. Определение, данное в п. 1.1.2, рас пространяется и на динамику: движение является стационарным (установившимся), если все величины (кинематические, кинетические и динамические), характеризующие состояние среды в переменных Эйлера xi9 я*, х8, t, не зависят от времени. Тогда все частные про изводные этих величин по времени (если в качестве независимых величин выбрать эйлеровы переменные) будут тождественно равны нулю. В частности, уравнение неразрывности для стационарного движения запишется в виде
div (pf/) = 0. |
(57) |
Иначе говоря, векторное поле рU консервативно.
В этом случае уравнение (57) дает возможность уменьшить число определяемых функций. Покажем это в важном частном случае* плоскопараллельных и осесимметричных движений.
Движение называют плоским и параллельным некоторой плос кости Р, если в любой момент времени все векторы скорости парал лельны данной неподвижной плоскости Р, а все механические харак теристики остаются инвариантными относительно переносов, нор мальных плоскости Р. Обозначим через х и у декартовы координаты
на плоскости Р, |
положим |
xt =^xy х^ = у |
(переменная |
х3 не играет |
||
никакой роли). Точно так |
же |
положим |
U1 = u, |
U2 = vt (U3 = 0) и |
||
обозначим через |
ft единичный |
вектор нормали к |
Р, |
направленный |
по оси х3.
Движение называется осесимметричным относительно фиксиро ванной оси Ох, если все векторы скорости лежат в плоскостях, проходящих через эту ось, и все механические величины остаются инвариантными при вращении вокруг оси Ох.
Обозначим через Ох и Оу (у>0) две взаимно перпендикулярные оси на меридиональной полуплоскости, через ft —единичный вектор
* Общий случай приводится в П.11.6.
|
нормали |
к Ох и Оу, |
через |
и и |
|
v— проекции векторов f/, лежащих |
|||
|
в меридиональной полуплоскости, |
|||
|
на оси Ох и Оу. |
|
фик |
|
|
Рассмотрим в некоторый |
|||
|
сированный момент t |
контур С, |
||
|
лежащий в плоскости Оху (рис. |
|||
|
И), и пусть 2 —поверхность, об |
|||
|
разованная: |
|
|
|
|
а) |
поступательным движением |
||
Рис. 11 |
контура С параллельно вектору ft |
|||
на расстояние, равное |
1 (плоско |
|||
|
параллельное движение); |
|
б) |
поворотом вокруг оси |
Ох на угол 2л (осесимметричное дви |
жение). |
|
|
Пусть т—число, равное нулю в случае плоскопараллельного |
||
движения |
и единице в случае |
осесимметричного движения. Тогда |
L Pи n d v = [ c (2ny)mpU
причем положительное направление обхода контура С получается поворотом вектора п на угол + п /2, ds —часть дуги С.
Если движение стационарно, а контур С замкнут и вырезает площадку а на плоскости Оху, тогда все приведенные выше выра жения тождественно равны нулю, что следует также из теоремы Гаусса—Остроградского, в соответствии с которой
Jo{Й |
йх =°- |
какова бы ни была поверхность а на плоскости Оху. Согласно основ ной лемме
§-х (РУпи) + щ (Рymv) = 0. |
(59) |
Это уравнение эквивалентно уравнению (57) для случая плоско параллельных или осесимметричных движений. Из этого уравнения следует также тот факт, что выражение ру'п (и dy —vdx) является полным дифференциалом, и, следовательно, должна существовать некоторая функция, которую мы обозначим через р Д (х, у) (р0 по ложительная постоянная, размерность которой совпадает с размер ностью объемной массы), определяемая с точностью до аддитивной постоянной, для которой
рут(и dy~vdx) = р0 d1?. |
(60) |
Итак, можно написать
и |
_Ро_М_ |
_£о_Ё1 |
t/= — |
*Ро |
|
grad |
(61) |
рут ду ’ |
рут дх ’ |
рут |
Л |
Функция ^(х, у) является, по определению, функцией тока ста ционарного движения (плоскопараллельного или осесимметричного).
Уравнения (61) показывают, что обе неизвестные функции и и v могут быть заменены одной функцией 4f.
Линии 4*= const являются линиями тока на плоскости Оху. В более общем случае, когда С —некоторая дуга на этой плоскости, соединяющая две данные точки А и В, величина
(2п)"Ро{Ч (В)-Щ А)}
равна потоку массы через поверхность 2 (направление п на кривой С получается при вращении касательной, направленной от Л к В на угол —-JI/2 (рис. 11). Данный результат является прямым следствием уравнений (58) и (60).
Эти выводы распространяются на случай движения несжимаемой среды независимо от того, является движение стационарным или нет,
так |
как |
уравнение |
(56) |
является |
частным |
случаем |
уравнения |
(57). |
|||||
Для |
доказательства |
нужно |
в предыдущих |
уравнениях |
приравнять |
||||||||
р = р0 и, |
в |
частности, опустить |
коэффициент р0/р |
в правых частях |
|||||||||
уравнений |
(61). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ДОПОЛНЕНИЕ |
|
|
|
|
||||
|
И.б. ВЫВОД ФОРМУЛ ДЛЯ СУБСТАНЦИОНАЛЬНЫХ (ПОЛНЫХ) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ПРОИЗВОДНЫХ |
|
|
|
|
|||
|
11.5.1. |
|
Общий |
метод. Формулы (7) и (12) |
субстанциональных производных |
||||||||
интеграла |
по объему и потока вектора через поверхность были выведены на основе |
||||||||||||
физических соображений, которые не имели, естественно, строгого характера. Ниже |
|||||||||||||
попытаемся дать более точный вывод. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Так как субстанциональная производная получается в результате дифферен |
||||||||||||
цирования по времени некоторой характеристики подвижной частицы, то при |
|||||||||||||
использовании лагранжевых переменных субстанциональная производная |
совпа |
||||||||||||
дает с частной производной по времени. Именно так была получена формула (2), |
|||||||||||||
дающая выражение субстанциональной |
производной функции точки. Теперь пред |
||||||||||||
стоит рассмотреть более общий случай интеграла, имеющего вид |
|
|
|||||||||||
где |
V— связное р-мерное многообразие |
(объем, |
поверхность, дуга |
кривой), |
а со — |
||||||||
дифференциальная форма порядка р эйлеровых переменных. Искомая субстан |
|||||||||||||
циональная производная является фактически производной |
от скалярной |
функ |
|||||||||||
ции аргумента t, когда многообразие |
V рассматривается |
в движении. |
Пусть |
||||||||||
(о— форма со |
в переменных |
Лагранжа, |
а V— образ |
многообразия |
V в состоянии |
||||||||
отсчета; тогда, по определению, |
имеем равенство |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Sv®-Sv®* |
|
|
|
|
||
которое позволяет сформулировать следующую лемму. |
|
|
|
||||||||||
|
Лемма. В принятых обозначениях имеет место равенство |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
f |
Г |
асо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
J V/ Ш ~ J F |
dt ' |
|
|
|
|
Для доказательства леммы достаточно рассмотреть одночленную форму (при нимая во внимание линейность дифференциальных форм и операций интегриро вания и дифференцирования)
со = <р (a, /)dfli A ... A da,,.
При изменении t многообразие V остается фиксированным. Производная от
интеграла может быть найдена дифференцированием под знаком 'интеграла, и получается нужный результат, если положить
dm дер
дГ = ~5t (а’ dfll Л *• *л daP*
Однако в общем случае желательно иметь формулу в переменных Эйлера* Это становится возможным при использовании следующей теоремы.
Теорема. Имеет место формула
d Г |
р do |
|
d/ J v Ш |
J v d / ' |
(62) |
где ^ - — дифференциальная форма порядка р, которая получена применением
операции полного дифференцирования к каждому члену формы <о, причем полная производная от dxj по определению равна dUj (Uj— составляющие вектора ско рости) .
Здесь также достаточно рассмотреть одночленную форму со:
со = ф (х, t) dxx д dx2 Л . . . Л dхр,
тогда из формулировки теоремы следует, чго
^ = = ^ - dxi Л . . . Л dxp+q> dUx Л . . . Л dxp+ . . . +<p dxj Д . . . Л dUр.
Теперь становится |
очевидным |
метод |
доказательства |
теоремы. |
Для этого |
||||
следует: |
|
|
|
|
т. е. н^йти |
со; |
|
||
а) выразить со в лагранжевых переменных, |
|
||||||||
б) найти (согласно лемме) частную производную |
\ |
|
|
||||||
в) выразить результат в переменных Эйлера. |
|
|
|
|
|||||
С этой целью выпишем функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*1 (“<*• |
о. |
аа |
/), |
|
|
|
||
позволяющие перейти от эйлеровых переменных к |
переменным |
Лагранжа и |
|||||||
обратно. Если положить |
ф (а, *) = ф(*, |
/), |
то можем |
написать |
|
||||
ю = ф (at t) (X it а daa) д |
(x2f р dap) д |
. . . д (xPt х dах). |
|
||||||
Пусть Uг— компонент вектора |
скорости |
по |
оси хп зависящий от перемен |
||||||
ных Лагранжа, тогда имеет место равенство |
|
|
|
|
|
||||
|
Up (x, t ) = U p (a, |
|
|
|
|
|
|||
из которого сразу следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
да) |
дф |
t |
|
|
(хР.ХЛвк) + |
|
|
||
Ж = Ж ( * i . « d e ) Л |
- - * А |
|
|
+ ? ( ^ i . a dea ) Л ... Л (*PiXdex) + . . . + ? ( * ! , a <Ц*) Л ... Л(Пр к darf.
Теперь остается выразить рассматриваемую дифференциальную форму в эйле ровых переменных, заменяя, в частности, daa через аа { dx/. Согласно правилу
дифференцирования сложных функций
х9, ааа, С— |
Uг, ааа, I ^г, /• |
Кроме того,
$<*• 1)=Ж {а' *>•
Таким образом, получаем правую часть уравнения (62); тем самым теорема до казана.