m1012
.pdf
4.3.3. Реконструкция в зонах концентрации напряжений и нарушения сплошности: численные эксперименты
Как уже отмечалось ранее, система уравнений (4.13) плохо обусловлена, причем степень ее обусловленности растет с уменьшением шага дискретизации r, т.е. с увеличением числа кольцевых зон и, соответственно, числа измерений N(x). С другой стороны, с увеличением шага дискретизации растет база осреднения функции, что ведет в конечном итоге к ее выглаживанию и увеличению погрешности реконструкции.
Таким образом, выбор шага дискретизации при численном решении уравнения Абеля является всегда компромиссом между этими двумя факторами. Стандартные рекомендации о необходимости предварительного сглаживания экспериментальных данных для достижения хорошей точности восстанавливаемого распределения [65] не учитывают существенных особенностей, характерных для задач механики деформируемого твердого тела: наличие больших градиентов и нарушений сплошности. Очевидно, что такие рекомендации справедливы при реконструкции непрерывных функций, имеющих не слишком большие производные.
Эти условия нарушаются при наличии в исследуемом объекте внутренних полостей, надрезов, трещин, т.е. зон, где имеют место нарушения сплошности и концентрация напряжений. Но именно в зонах концентрации в первую очередь необходимо и знание напряженно-деформированного состояния, и погрешностей его определения. С целью изучения влияния уровня дискретизации и шумов на точность реконструкции в зоне концентрации рассмотрим результаты восстановления функции G(r):
|
A e |
ar |
2 |
|
|||
|
|
|
|
G(r) |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 2 |
r |
2 2 |
;
A0 = 2,25; a = 0,2. |
(4.16) |
при различных уровнях дискретизации.
На рис. 4.11, а представлены результаты реконструкции фантома распределения (4.16) методом Пирса [70] при различном уровне дискретизации. Хорошо видно, что при большом шаге дискретизации происходит потеря высоких гармоник в спектре восстанавливаемой функции. Это выглаживание ведет к значительным погрешностям как в зоне концентратора, так и в полости. С уменьшением шага дискретизации точность реконструкции вне полости возрастает, а погрешность в зоне концентрации
91
уменьшается: при r < Rmax / 60 она составляет менее 10 %. Однако при этом хорошо заметны биения в полости. Получаемые в этой зоне значения являются абсолютной ошибкой реконструкции; они возрастают с уменьшением шага дискретизации.
Использование некоторых априорных сведений о восстанавливаемом распределении может существенно повысить точность реконструкции в таких зонах. На рис. 4.11, б – та же реконструкция, но с учетом знакопостоянства распределения. Погрешность реконструкции в полости уменьшилась почти втрое.
Рис. 4.11. Реконструкция фантома функции G(r) – зависимость от уровня дискретизации: а – при отсутствии априорных сведений
о функции; б – с учетом ее знакопостоянства
92
Поскольку при исследовании напряженно-деформированного состояния оптическими методами порядок интерференционной полосы N в зоне концентратора обычно не менее ~5, а погрешность определения дробной его части при фотометрировании или компенсации – не более 1/20 цены полосы, то допустимо считать, что погрешность в определении порядка полосы не превышает ~1 %. Это значение и будем в дальнейшем использовать для оценки влияния шумов при реконструкции.
Как было показано выше, в отсутствие шумов погрешности в реконструкции функции G(r) по ее фантому можно считать при-
емлемыми при r (Rmax / 40, Rmax / 80). При наличии случайного шума возрастают погрешности как в полости, так и вне ее
(рис. 4.12, а). Однако если шаг дискретизации r не выходит за вышеуказанный диапазон, то при уровне шумов, не превышающем 1 % от Gmax(r), погрешность в зоне концентратора меняется слабо. Как и ранее, введение априорных сведений о распределении (см. рис. 4.11, б) существенно улучшает точность реконструкции в полости (рис. 4.12, б).
Рис. 4.12. Реконструкция фантома функции G(r) при наличии случайного шума – 1 % от Gmax(r); зависимость от уровня дискретизации (начало):
а – при отсутствии априорных сведений о функции
93
Рис. 4.12. Реконструкция фантома функции G(r) при наличии случайного шума – 1 % от Gmax(r); зависимость от уровня дискретизации (окончание): б – с учетом ее знакопостоянства
Таким образом, при шаге дискретизации r, лежащем в диапазоне ~Rmax /40–Rmax /80, даже при наличии концентратора и случайных шумов ~1% от Gmax(r), реконструкция распределения выполнена с погрешностью в зоне концентратора ~10 %.
4.3.4.Пример исследования
Вкачестве примера ниже рассмотрено напряженно-деформи- рованное состояние зоны концентратора графитового электрода мощной плавильной электропечи [52, 56, 57]. Исследование было выполнено экспериментально по вышеизложенной методике и численно – методом конечных элементов (МКЭ).
4.3.4.1.Экспериментальный анализ
Модель электрода помещалась в иммерсионную ванну, а нагрузочное устройство обеспечивало ее одноосное сжатие. Параметры модели, представляющей собой цилиндр из метилметакрилата (диаметром D = 40 мм) с конической выточкой на торце, представлены на рис. 4.13, а.
94
а)
б) |
в) |
|
|
г)
Рис. 4.13. Распределение первого инварианта тензора деформаций в модели электрода по данным эксперимента по сечениям z = сonst
95
Последовательность этапов определения напряженно-дефор- мированного состояния та же, что и при исследовании действия штампа на цилиндр (см. п. 4.3.2). Интерферограммы полей перемещений диаметрального сечения, а также интерферограмма абсолютной разности хода представлены на рис. 4.13, б, в. Распределение первого инварианта тензора деформаций по нескольким характерным сечениям, полученное при расшифровке последней интерферограммы, представлено на рис. 4.13, г.
Анализ характера распределения первого инварианта тензора деформаций показывает, что фиктивные деформации существенно влияют на формирование интерферограмм в двух зонах: в угловой зоне у вершины выточки и в зоне центральной части выточки. Вблизи угловой зоны велики радиальные фиктивные де-
( R) |
, |
( R) |
. Эти рас- |
формации r |
а в центральной части – аксиальные z |
пределения в нескольких сечениях представлены на рис. 4.14, а, б. Здесь же представлены распределения суммарных деформаций
( ) |
и |
( ) |
. |
Они получены при регистрации волн, дифрагировав- |
z |
x |
ших в исследуемом сечении (рис. 4.13, б). Регистрируемые про- |
||
странственные частоты – соответственно z = |
100 |
мм-1, x = |
= 280 мм-1. |
|
|
На оси симметрии в сечении z = 20 мм фиктивные деформа-
|
( R) |
|
|
( ) |
( R) |
. Такого же порядка и |
ции z |
составляют ~30 % от z z |
z |
||||
деформации ( R) ( R) |
в зоне угловой выточки, но в отличие от |
|||||
|
|
r |
x |
|
|
|
( R) |
очень быстро затухают при удалении от вершины выточки. В |
|||||
z |
||||||
удаленных от этих зон сечениях влиянием фиктивных деформаций можно пренебречь: уже в сечении z = 0,6D фиктивные деформации практически равны нулю.
Полученные по этим экспериментальным данным распределения первого инварианта тензора напряжений I1(r) и нормальных напряжений z (r), r (r), (r) в характерных сечениях пред-
ставлены на рис. 4.15–4.18. Ненулевые значения r и на контуре связаны с погрешностью определения первого инварианта тензора деформаций.
Условия равновесия по вышеуказанным сечениям выполняются с погрешностью от 1,8 до 7,5 %. Причем во всех сечениях равнодействующая превышает приложенную нагрузку.
96
а)
б)
Рис. 4.14. Распределение
ций (zR) , (xR)
r, мм
|
|
r, мм |
|
|
|
|
|
суммарных ( ) , |
( ) – а и фиктивных деформа- |
||
z |
x |
||
– б в электроде по сечениям z = сonst
97
I1(r), МПа
r, мм
Рис. 4.15. Распределение первого инварианта тензора напряжений I1(r) в электроде по сечениям z = сonst
z(r), МПа
r, мм
Рис. 4.16. Распределение напряжений z(r) в электроде по сечениям z = сonst
98
r(r), МПа
r, мм
Рис. 4.17. Распределение напряжений r (r) в электроде
по сечениям z = сonst
(r), МПа
r, мм
Рис. 4.18. Распределение напряжений (r) в электроде по сечениям z = сonst
99
4.3.4.2. Численное решение
Численное решение было получено для той же задачи методом конечных элементов [38–39] с использованием коммерческого пакета COSMOS/M Explorer. Ввиду осевой симметрии разбивка выполнялась для диаметрального сечения с адаптацией размеров элементов. Более того, по причине равномерности распределения напряжений вдали от концентратора разбивка выполнена только для верхней части сечения размером 50 мм. Количество элементов – 3 500, узлов – 2 200. Расчетная схема и результаты разбивки фрагмента сечения вблизи концентратора представлены на рис. 4.19.
W = 60,5 мк
Рис. 4.19. Расчетная схема при решении МКЭ и фрагмент разбивки диаметрального сечения в зоне концентратора
Вертикальные перемещения торцевой поверхности при нагружении модели электрода были зафиксированы во время эксперимента индикатором часового типа – Wexp = 129 мк; для расчетной части сечения (50 мм) эта величина составила W = 60,5 мк.
100