773
.pdfси = 0 + 0 + 0 = 0; |
с\2 = 0 - 3+ 0 = —3; |
с|3 =0 + 0 + 1 = 1; |
|
^2| = 2 +0 + 0 = 2; |
с22 = 0 +1 + 0 |
= 1; |
сп = 0 + 0+ 5 = 5; |
с31 = -4+0 + 0 = -4; |
сг2 = 0+ 0+ 0 |
= 0; |
с33 = 0 + 0 -2 = 2. |
|
о |
о |
' 0 |
- 3 |
1 ” |
|
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
5 |
II |
о |
о |
|
- 4 |
0 |
- 2 > |
|
|
|
|
||||
Таким образом, А Е - Е А = А.
' 0 |
- 3 |
Р |
2 |
1 |
5 |
|
0 |
" 2 , |
§ 2. Определители.
2.1.Понятие определителя.
Рассмотрим квадратную матрицу А л-ro порядка:
'* 1 1 |
* 1 2 |
*1 * , ' |
л = * 2 1 |
* 2 2 |
* 2 л |
<ат |
* п 2 |
* п я > |
Каждая квадратная матрица имеет числовую характеристику, которая называется определителем или детерминантом. Обозначается определитель следующим образом:
|
|
|
*11 |
*12 |
°\п |
|
|
|
|
*21 |
*22 |
а1п = |Л| = с1еЫ = Д. |
|
Если |
Л= 1 |
И |
Л*(ам), |
ТО |
\А\= а1{. |
|
Если |
п =2 |
и |
а = | |
1 |
|
), то \л\ = ах,я22 - а\га2\ »т.е. определитель 2-го |
|
|
|
4*21 |
*2 2 У |
||
порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали матрицы.
Например, Р |
41= з • (-1) - 4-8 = —35. |
|
|||
|
|
*11 |
а, 2 |
*13 |
' |
Если |
л=3 |
и А = * 2 1 |
* 2 2 |
* 2 3 |
, то |
|
|
у*31 |
* 3 2 |
* 3 3 |
> |
11
Для вычисления определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников, которое символически можно записать так:
(главная |
(основания равнобедренных |
(побочная |
(основания равнобедренных |
диагональ) |
треугольников параллельны |
диагональ) |
треугольников параллельны |
|
главной диагонали) |
|
побочной диагонали) |
|
|
Например, |
|
2 |
3 |
2 |
|
1 |
2 |
-3 |
= 2• 2• 1 + 3• ( -3 ) -3 + 1- 4- 2 - 2- 2- 3 - 1 - 3 - 1 - 2 - 4 - (-3) = 4 - 2 7 + 8 - 1 2 - 3 +24 = - 6 . |
3 |
4 |
1 |
|
Если п > 3, то правило вычисления определителя является довольно сложным. Однако, свойство разложения определителя по элементам какойлибо строки или столбца позволяет вычислить определитель любого порядка.
2.2.Свойства определителей.
Сформулируем свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств докажем для определителей 3-го порядка.
Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами с соответствующими номерами, и наоборот, т.е.
« п |
«12 |
«13 |
« И |
«21 |
«31 |
a 2 i |
«22 |
«23 |
= «12 |
«22 |
«32 |
«31 «32 «33 «13 «23 «33
Такое преобразование определителя (или матрицы) называется транспонированием определителя (или матрицы).
Для доказательства этого свойства достаточно расписать каждый из определителей.
Замечание. Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов определителя в том смысле, что всякое утверждение для столбцов определителя справедливо и для строк, и наоборот.
Свойство 2. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак, т.е.
*11 |
* 1 2 |
* 1 3 |
* 3 1 |
* 3 2 |
* 3 3 |
* 2 1 |
* 2 2 |
* 2 3 |
= ~ * 2 1 |
<322 |
* 2 3 |
* 3 1 |
* 3 2 |
* 3 3 |
*11 |
* 1 2 |
*13 |
В приведенном равенстве поменяли местами первую и третью строки.
Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Свойство 4. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя, т.е.
*11 |
* |
’ *12 |
*13 |
*11 |
*12 |
*13 |
*21 |
к |
022 |
* 2 3 |
= А- *21 |
* 2 2 |
* 2 3 |
*31 |
к |
* 3 2 |
* 3 3 |
*31 |
* 3 2 |
* 3 3 |
Замечание. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю (следует из свойства 4 при £=0).
Свойство 5. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю. Это свойство следует из свойств 3 и 4.
Свойство 6. Если элементы некоторой строки (столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть предсгавлен в виде суммы двух определителей, первый из которых на месте указанной строки (столбца) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; все остальные элементы у трех определителей одинаковые,
* И+*П |
*12 |
*13 |
*11 |
* 1 2 |
*13 |
*п |
* 1 2 |
*13 |
||
* 2 1 |
+ |
* 2 1 |
* 2 2 |
<*23 = |
*21 |
<322 |
* 2 3 |
+ *21 |
* 2 2 |
^ 2 3 |
*31 |
+ |
*31 |
* 3 2 |
* 3 3 |
*31 |
* 3 2 |
* 3 3 |
*31 |
* 3 2 |
* 3 3 |
Для доказательства этого свойства достаточно вычислить каждый определитель и сравнить полученные результаты.
Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число, т.е.
* 1 1 |
* 1 2 |
*13 |
а,, |
+ * а ,2 |
* 1 2 |
*13 |
* 2 1 |
*22 |
*23 |
= *21 |
+к • о?? |
022 |
^23 |
*31 |
*32 |
*33 |
Д3 1 + к • Дз2 |
*32 |
*33 |
|
Доказательство. Используя свойства 5 и 6, получим:
аи + к а ]2 |
а12 |
а]3 |
«11 |
«12 |
«13 |
А « 1 2 |
« 1 2 |
«13 |
«11 |
«12 |
«13 |
а2 \ + к а 2 2 |
а 22 |
а 23 |
= « 2 1 |
« 2 2 |
«23 + к а 22 |
« 2 2 . |
«23 = «21 |
« 2 2 |
«23 |
||
а31 + к а 32 |
аЪ2 |
«33 |
«31 |
«32 |
«33 |
*«32 |
«32 |
«33 |
«31 |
«32 |
«33 |
Замечание. Строка (столбец), которая умножается на число, остается без изменения.
Для формулировки следующих свойств определителей необходимо ввести понятия минора и алгебраического дополнения элемента определителя.
Минором некоторого элемента ау определителя я-го порядка
называется определитель (л-1)-го порядка, получаемый из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент.
Минор для элемента ау обозначается Му.
|
«11 |
«12 |
«13 |
Например, если |
А1= «21 |
«22 |
«23 , ТО |
|
«31 |
«32 |
«33 |
м п = «22 |
«23 |
. *21 = |
«12 |
«13 , Л*32 = «11 |
«13 |
||
«32 |
«33 |
«32 |
«33 |
«21 |
«23 |
||
Алгебраическим |
дополнением |
элемента |
ау определителя называется |
||||
его минор, взятый со знаком (-1)'+-/ Алгебраическое дополнение для элемента ау обозначается Ау
Согласно определению,
4, = (-1У+'-щ-
Так, в частности, Ах, =+МХи Л21 = -М 2\, А32 =-М 32.
Свойство 8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. для
определителя |
|
|
«и |
«12 |
«13 |
А = «21 |
«22 |
«23 имеют место равенства: |
«31 |
«32 |
«33 |
Д = аи Аи + а]2 Л\2 + а13 ■Л]3 - разложение определителя по первой строке; Д = а21 ■Л21+ а22 - ^2 2 +а2з - ^23 “ разложение определителя по второй строке;
А = а13 • Л13 + а23 А23 + а33 • А33 - разложение определителя по третьему столбцу.
|
Докажем последнее равенство: |
|||||
|
• Ахз +^ |
+а33 • |
= а,3• Г |
|
+агэ'I ~ |
|
|
|
|
К |
Д 32 |
V |
|
= |
а 13 *( а 21а |
32 “ Д 22Д 31 ) ~ а и |
’ ( а | 1Д 32 |
~ |
Д 12Д 31) + Л 33 ' ( f ll l f l 22 "" а \2°21 ) = |
|
= |
a i3f l 21f l 32 |
— а \1а 22а У] ~ f ll l f l 23f l 32 + |
^ 1 2 ^2 3 ^ 3 1 |
+ а \1а 21а Я — f l l2f l 2 lf l 33 = А - |
||
Замечание 1. Свойство 8 позволяет вычислять определители высших порядков ( п > 3), т.к. если Д - определитель л-го порядка, то Ау
определитель (л-1)-го порядка.
Замечание 2. Если вес элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Пример 2.1. Вычислить определитель |
1 |
-2 |
3 |
разложив его |
|||||
Д = :3 |
5 - 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
|
по элементам второй строки. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Согласно свойству 8 имеем: |
|
|
|
|
|
||||
д = з ( - 1)2 |
- 2 |
3 +5(-1)^ |
1 |
3 |
—1-(—I)2 |
1 |
-2 |
|
|
|
I |
2 |
4 |
2 |
|
|
4 |
1 |
|
-3 • (-4 - 3)+ 5 • (2 -12) +(1 +8) = -20. |
|
|
|
|
|||||
Пример 2.2 |
Вычислить тот |
|
|
же |
определитель, используя |
||||
свойства 7 и 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Согласно свойству 7 преобразуем определитель так, чтобы два элемента в первом столбце определителя стали равны нулю. Для этого к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-3), а к элементам третьей строки - соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-4):
1 - 2 3 1 - 2 3
д = 3 5 -1 = 0 И -10 4 1 2 0 9 -10
Разложив определитель по элементам первого столбца, получим:
1 |
- 2 |
3 |
о 11 |
-10 |
|
11 |
1 |
|
0 |
11 |
-10 |
= 1 ( - 1)2. 9 |
-10 |
= - 10- |
9 |
1 |
= —10- (11 - 9) = -20. |
0 |
9 |
-10 |
|
|
|
|
|
|
2 - 1 1 0
Пример 2.3. Вычислить определитель 4-го порядка |
0 |
1 2 |
- 1 |
|
3 |
- 1 2 |
3 |
||
|
||||
|
3 |
1 6 |
1 |
Решение. С помощью свойства 7 элементы первой строки определителя обратим в ноль, кроме а]Ъ. Для этого к элементам первого столбца прибавим соответствующие элементы третьего столбца, умноженные на (-2), а к элементам второго столбца - соответствующие элементы третьего столбца; а затем согласно свойству 8 разложим определитель по первой строке:
2 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
-1 |
3 |
-1 |
2 |
3 |
3 |
1 |
6 |
1 |
0 |
0 |
1 0 |
- 4 3 2 - 1 |
||
- 1 1 2 |
3 |
|
- 9 |
7 |
6 1 |
и |
Т |
■<*-
-4 |
3 |
-1 |
-1 |
1 |
3 = -4-81+7 -9 +84+3 = 0. |
-9 |
7 |
1 |
Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
Так, например, для определителя третьего порядка а\1' ^21 +а\2 ' ^22 +а\3 ' ^23 = 0 •
Действительно, |
|
|
*п(-1)3 |
+*>2-(-1)4 |
+*13 ■(-!)* |
- аи '(аиазз |
а\зазг)+ a\i ’(а\\азз |
а\заз\)~ а\ з \ апазг оХгаз\)~ |
- ~оххах1а1Ъ+ а иа )3а 32 + а 12д,,а33 - оХ1апа1Х—axiaxxan + axiax2aix = 0.
Свойство 10. Если А, В и С квадратные матрицы одной размерности и С = А В, то определитель матрицы С равен произведению определителей матриц А И В, Т.е. det С = det А• det В .
§3. Невырожденные матрицы.
3.1.Понятие обратной матрицы.
Пусть А, Е - квадратные матрицы n-го порядка.
Матрица В называется правой обратной матрицей к матрице А, если
А- В~ Е .
Матрица С называется левой обратной матрицей к матрице А, если
С А = Е.
Если матрицы В и С существуют, то это квадратные матрицы n-го порядка.
Утверждение ЗА. Если для матрицы А существуют правая и левая обратные матрицы В и С, то они равны.
Доказателъство. В силу свойств операции умножения матриц и определений правой и левой обратной матрицы, имеем:
С = С £ = С ( / * В ) = ( С Л ) Д = £ Я = Я.
Замечание. В дальнейшем термины «правая» и «левая» мы будем
опускать и будем |
говорить |
«обратная матрица» и называть матрицу |
В |
||||||||
обратной к матрице А, если |
А В = В- А = Е . |
|
|
|
|
|
|||||
Матрицу, обратную |
к матрице А, |
будем обозначать а ~х |
|
|
|
||||||
Возникает |
вопрос: в |
каком |
случае матрица А |
имеет обратную |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
матрицу? |
|
|
|
|
Теорема 3,1. (необходимое и достаточное условие существования |
|||||||||||
обратной матрицы) |
Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную |
||||||||||
матрицу А'*, необходимо и достаточно, чтобы det А ф0. |
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. 1). Необходимость. |
Пусть для матрицы |
А |
существует |
||||||||
А"1. Докажем, что |
det А*0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению обратной матрицы: А-А~1=Е. |
В |
силу свойств |
|||||||||
определителей: det А • det А~' = det Е = I . Следовательно, det А * 0. |
|
|
|
||||||||
2). Достаточность. Пусть |
det А * 0. |
Докажем, что |
для |
матрицы |
А |
||||||
существует обратная матрица А 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
А - матрица и-го порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ч |
«12 |
|
«in' |
|
|
|
|
|
|
|
|
А = °21 |
«22 |
|
«2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«и2 |
«лл J |
|
|
|
|
|
у которой |
det А = Л * 0. Для каждого элемента atJ матрицы А найдем |
|
|||||||||
алгебраическое дополнение |
и составим матрицу |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
д |
д |
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
В = |
|
|
|
4 * |
|
|
|
|
|
|
|
Л |
А |
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ал |
4а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
V А |
А |
|
Д |
|
|
|
|
|
Покажем, что А В = Е. Пусть
|
( А |
dn |
V |
|
|
|
л \\ |
||
|
|
А |
Д |
д |
А В = |
|
Ап |
^22 |
А/г2 |
|
А |
А |
А = т =(‘Л '’j =,’"- |
|
\ и п\ и п2 |
1 |
А\п |
^2я |
Ам |
|
\ |
А |
А |
А |
По правилу умножения матриц и свойствам определителей имеем:
*ч |
= *.Г |
A L + «12 ' |
А |
|
д |
|
|||
*12 |
= ап |
А |
• + «,2 |
^22 ! |
|
|
|
А |
|
{\П= °п ~ |
+ ап ■ + |
|||
|
|
Д |
А |
|
+ а,„ |
<1 |
II |
1 |
|
|
|
|||
А |
А |
|||
|
||||
..+ а,„ |
|
Ащ |
= - |
|
|
|
А |
|
|
•••+аы ” |
= 7 f o r А„, + ап А„2 +... + а1пАп„) = 0; |
|||
|
|
А |
А |
|
*21 = a2l '~j~ + a22'“ Г- + —+ а2п ~ |
= “ (а21 ' ^11 + а22 ‘ А12+ —+ °2п^1п) = ^ » |
|||||||||||||
|
А |
|
|
А |
|
А |
|
А |
|
|
|
|
|
|
*22 = а21 *“^1+ а22 |
|
|
+ - |
+ а2п~^~ = д (°21 '^ 2I + а22 |
/4z2 + - + а2пЛ2,,)= д Д = 1i |
|||||||||
*23 = **21 '~ Г ~ |
+ а 22 |
|
j ~ |
+ - " + a b i • “ f |
_ = |
_r ( a 2J * ^ 3 1 |
+ f l 22 |
'^ 3 2 |
+ |
••• + ° 2 п ^ З п ) = |
® J |
|||
|
А |
|
|
А |
|
А |
|
А |
|
|
|
|
|
|
*л« = Я я1 ~ |
А |
+ ^Л 2 |
* |
А |
+ - |
+ а "" ” f |
= |
7 ^ " ' ■4 ч |
+ а ” 2 |
А * г |
+ - |
+ |
) = |
7 * Д = 1 • |
|
|
|
|
А |
|
А |
|
|
|
Т |
|
А |
||
Таким образом, на главной диагонали матрицы |
стоят единицы, а все |
|||||||||||||
остальные элементы равны нулю. Следовательно, Т - единичная матрица «-го порядка,т.е. А В - Е .
Аналогично доказывается, что В А = Е. Значит, В - А ~1 и существование обратной матрицы доказано.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если detA*Q. В противном случае (det А = 0) матрица А называется вырожденной. Из доказанной теоремы следует, что только невырожденная матрица имеет обратную.
3.2.Вычисление обратной матрицы.
Пусть дана невырожденная матрица А «-го порядка
Г*п |
On |
°\пУ |
А = О2! |
О22 |
°2п |
<°nl |
°п2 |
Оцп/ |
Для нахождения обратной матрицы для матрицы А нужно:
1)Вычислить определитель матрицы A : det А = Д .
2)Составить матрицу А из алгебраических дополнений, т.е. каждый элемент ау
матрицы А заменим его алгебраическим дополнением Ау:
А, |
А, |
а : |
А, |
А» |
А. |
чДп |
А.г |
А„ |
3) |
Матрицу л транспонировать и получить присоединенную матрицу А*: |
|
|||||
|
(а |
а |
а ^ |
|
|
|
|
|
ЛП |
Л21 |
Ап1 |
|
|
|
|
|
Ат= А' = |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А... |
|
|
|
|
4) |
Обратную матрицу А 1 вычислить по формуле А 1= — А* |
|
|
|
|||
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
( |
3 |
-1 |
0^ |
|
Пример 3.1. Найти обратную матрицу для матрицы А = |
-2 |
1 |
1 |
|||
|
|
|
|
V2 |
- 1 4 |
||
|
Решение. Вычислим определитель |
3 |
- 1 0 |
|
|
|
|
|
Д = - 2 |
1 1 = 12-2 +0 -0 -8 +3 = 5. |
|||||
|
|
|
2 |
- 1 4 |
|
|
|
Следовательно, матрица А невырожденная, и для нее существует матрица /Г1. Алгебраические дополнения элементов матрицы определяются по формуле
А0 =(-1 |
где Му - минор элемента air Таким образом, |
||
|
|
1 |
1!1 |
|
Ai =( - D2 -1 |
4| |
|
|
А2=(-1)3 |
-2 |
1 |
|
2 |
4ч |
|
|
|
- 2 |
1 |
|
Л з = ( - 1)4* .Г |
‘. = 2 -2 = 0 ; |
|
|
|
2 |
-1 |
|
А2, =(-1)3- --11 |
°i 1 |
|
|
^ = ( - 1 ) 4 |
3 |
0 _ 1 |
|
2 |
4 |
|
|
|
3 |
-1 |
|
•^23 = (“ О* ’ 2 |
-1 |
|
Л з,=(-04 |
-1 |
О |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
А 32 = (“ О5 |
3 |
о = Н )-3 = - 3 ; |
|
|
||
-2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
-1 = 3 - 2 = 1. |
|
|
|
|
^ з =( - 0 б--2 1 |
|
|
|
|
||
|
|
5 |
10 |
О' |
|
|
Составим матрицу А : |
|
А = 4 |
12 |
1 |
|
|
|
|
-1 |
-3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
- О |
Найдем присоединенную матрицу А*: Ат= А* - 10 |
12 |
- 3 |
||||
Тогда Л
1
=— Л' =-■
' 5 4 - 1]
1012 -3
,0 1 1 ,
II
г> %
2 %
Уъ
О 1 1
-У ,} - У, Уъ,
Для проверки найденной матрицы А '1следует убедиться в выполнении
равенств А • А~1= А~{ |
А = Е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.2. Найти обратную матрицу для матрицы А = |
|
- I |
2 |
|||||||
|
1 |
3 |
||||||||
|
|
|
-1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Вычислим определитель А = I |
1 |
3 |
= -3 - 2 |
= -5 . |
|
|
|
|||
Следовательно, А~1существует. Находим алгебраические дополнения |
Аь для |
|||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А\\ =(-1)2 *3 = 3; |
Л]2 =(-1)3 1 = -1; |
|
|
|
|
|
|
|||
Л2. = ( - 1)3 • 2 = - 2 ; |
|
Аи = ( - 1)4 • ( - 1) = - 1. |
|
|
|
|
||||
Составим матрицу из алгебраических дополнений |
А |
- |
|
:0- |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда /I |
^ |
* ж — I / 3 |
- 2 |
<-Ъ/ |
2 А |
|
|
|
||
/5 |
/5 |
|
• |
|
||||||
Ч |
|
’ |
5 1-1 -1 : |
! |
Уб) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Уз |
|
|
||
3.3.Ранг матрицы.
Рассмотрим матрицу А размерности (л х пг)