Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

773

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Любой ненулевой	вектор 5 = {/;т},			параллельный			прямой	называется
направляющим вектором		этой прямой.			прямой L ,
Рассмотрим задачу:		составить	уравнение					проходящей
через данную точку Мх(хх,ух) и имеющей заданный направляющий									вектор
ОСГ= {/;т}.
	L	Пусть		М{х\у) -		произвольная			точка,
		лежащая	на прямой			L.	Тогда вектор

		МХМ = {*- JC, \у - у,}			параллелен вектору				s , т.е.
		координаты этих векторов пропорциональны:
			iZ£L = >H2 L.					(10.6)
				/	/«
Уравнение (10.6) - искомое уравнение прямой						L ,	которое называется
каноническим уравнением		прямой.
Замечание. В	уравнении (10.6)			один	из	знаменателей			может

равняться нулю (одна из координат направляющего вектора нулевая).

Например, если			5 = {0;/я},	где т *0, то		уравнение	прямой примет вид
fZiL = у. ~у} .		Воспользуемся			свойством пропорции:		т(х —JC,)= 0(у - у,)	или
0	т
т(х - JC, ) = 0.		Т.к.	т * 0,	то	(JC—JC,)= 0.	Таким образом, если один		из
знаменателей		в уравнении		(10.6) равен		нулю, то	соответствующий	ему
числитель тоже равен нулю.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Рассмотрим задачу: составить уравнение прямой L, проходящей через две данные точки А/,(х,;>»,) и М2(х2\у2).

Вкачестве направляющего вектора


ГМ2	искомой прямой		L	можно взять	вектор
ГМ2	МХМ2 = {jc2 - дс,\уг - у,} •			Тогда каноническое
	МХМ2 = {jc2 - дс,\уг - у,} •			Тогда каноническое
Mi	уравнение прямой		L	примет вид:
Mi	x - xL.s	yzyjL			(10.7)
	x - xL.s	yzyjL			(10.7)
	* 2 - * 1	У2-У\

Уравнение (10.7) - искомое уравнение прямой L, которое называется

уравнением прямой, проходящей через 2 точки.

Запишем его в виде у - у х= у (х -х ,) угловом коэффициенте прямой.

Рассмотрим каноническое уравнение (10.6) некоторой прямой линии. Примем за параметр t величину, стоящую в левой и правой частях этого уравнения, т.е.

■г-	.Г\| = у - у }	ИЛИ
I	т	ИЛИ
I	т	Z ^ L =/.
		т
Выражая	х и у , получим уравнения

1* = // +*,,							( 10.8)

[у =7Я/+ ^„
которые называются параметрическими	уравнениями			прямой.
Заметим, что областью изменения	параметра			t	является		вся		ось:
- 00 < t <+О0.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
	Рассмотрим				прямую			L,	не
параллельную				оси		Оу.		Пусть
S = {/;т }		-	направляющий					вектор
этой прямой. Введем понятие угла
наклона		прямой			к оси		Ох. Под
углом		а	(	0 <а < я)			наклона
прямой		к оси			Ох	понимается
наименьший				угол,		на	который
нужно		повернуть				вокруг		точки
пересечения			прямой			и оси		Ох	Ох
против часовой стрелки ось									до
ее совпадения с прямой.		Ох					угловым
Тангенс угла наклона прямой к оси				называется
коэффициентом прямой и обозначается буквой		к , т.е.		k = tga.
Имеет место следующее утверждение: если прямая не параллельна
оси Оу и имеет направляющий вектор	5 = {/;т}, то угловой коэффициент
этой прямой определяется равенством к =у .
Рассмотрим каноническое уравнение данной прямой L:						х ~Х] = у ~^-.
						/		ТП

и воспользуемся утверждением об

		У-Ух = (-*■)			(10.9)
Уравнение (10.9) называется уравнением			прямой,	проходящей через
точку (xt,yi)	и имеющей заданный угловой коэффициент			к.
Далее выразим из уравнения (10.9) переменную				у	и введем
обозначение	b = yl -kxl.
Тогда получим уравнение
		у = кх + Ь			(1 0 .1 0 )
которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
В уравнении		(10.10) число Ь является	отрезком,	который отсекает
прямая по оси Оу.
Замечание.		Для прямой, параллельной оси Ох, угловой коэффициент

равен нулю, а для прямой, перпендикулярной оси Ох, угловой коэффициент не существует. Если к >0, то угол наклона а острый, если А<0,то а - тупой угол.

Нормальное уравнение прямой

Пусть на плоскости хОу задана прямая L . Из начала координат опустим перпендикуляр ОР на прямую L (рис.24).

На	ОР	возьмем единичный		вектор	—>	направление которого
					п ,
совпадает	с направлением		—►	прямая	L	проходит через начало
			ОР (если
координат, то направление			п выбирается произвольно). Обозначим угол
между вектором		—>	Ох через	а и	—>
		п и осью			\o p \ - p .

На прямой L выберем произвольную точку				М(х-у) и соединим ее с
началом координат. Тогда проекция вектора'			—>	= {х, у}	—>
началом координат. Тогда проекция вектора'			ом	= {х, у}	на вектор п
равна величине р :
	-*■	или	ОМ- п
npfj ОМ— р		или	----— = р .
				\ п \
В силу того, что о м	= {х;у},	I п \| = 1	и п - {cosa;sina}, последнее
уравнение в координатной форме примет вид:
jccoscr +ysina = р	ИЛИ jccosa + ysina - р - 0.				(10.11)

Уравнение (10.11) называется нормальным уравнением прямой.

Замечание, В нормальном уравнении прямой сумма квадратов коэффициентов при х к у равна единице (основное тригонометрическое тождество) и коэффициент р >О (т.к. р —расстояние от начала координат до прямой L ).

Например, уравнение		^ •x"TJ:v + 2 = 0	не является нормальным, т.к.
р = - 2 , а уравнение	+	у- 2 =0 - нормальное.
Для приведения	общего уравнения		прямой	Ах + Ву + С = 0	к
нормальному виду следует умножить его на некоторый множитель р .
Получим уравнение
рАх +рВу + рс =0				(10.12)
Уравнения (10.11) и (10.12) описывают одну прямую, следовательно,
\±А= cosа ,		\±В=sinа , \хС - -р .
Тогда р2Л2 +112#2 = cos2 а +sin2 а . Значит,
		Р =		(10.13)
Множитель р называется нормирующим множителем.
Итак, для приведения		общего уравнения прямой		Ах + Ву + С =0	к

нормальному виду следует умножить его на нормирующий множитель р, при

этом знак р противоположен знаку свободного члена С	в силу выполнения
равенства цС - - р .
Пример 10.2. Привести общее уравнение прямой	3*+4у- 5 = 0	к
нормальному виду.

Решение. Вычислим нормирующий множитель по формуле (10.13)						р
=	= - (знак нормирующего множителя « + » , т.к. С = - 5 ) .
V 9 + 16	5
Умножив данное		уравнение		на нормирующий	множитель, получим
нормальное уравнение		прямой	3	4
нормальное уравнение		прямой	-jr +- y - i = o.
10.4.	Угол между	двумя	прямыми. Условия		параллельности	и
перпендикулярности		прямых

I.Пусть две прямые 1 Хи L2 заданы общими уравнениями.

Lx: Ахх + Вху + Сх= 0 ,

L2 : А2х + В2у + С2 = 0.

Нормальным вектором прямой 1 Х является вектор /?i ={/!,,£,} а

нормальным вектором прямой L2 - вектор пг ={А21Вг} (рис.25). Пересекаясь, две прямые образуют четыре угла, которые попарно равны.

Один	из углов	(р при
пересечении	двух прямых	равен
углу между	нормалями	этих
прямых.

	Следовательно,				cos <р -			или
							ЛХЛ2+ ВХВ2			(10.14)
					cosp = ■jAt +Bf			JAI + BI		(10.14)
Из	формулы			(10.14)			вытекают		условия	параллельности	и
перпендикулярности двух прямых:
	г	II	г	”*1,	п2	^	АХ	Вх .
	^1	II	^2 ^	п\ II	п2	^	Аг	в2
							Аг	в2

Lx _L L2 <=>

X л2 <=> А\А2+В\В2 —0.

х -х 1

_У-У1 .

А:

тх

У-Уг

х ~х2

L2:

т2

Угол между прямыми А и 1 г

- угол

между их направляющими векторами

iS|

и S2 —{/2>т2) (рис.26)

Следовательно,

или

cos^? =— !——2

\s{\-\s2\

соs<p=

/,/2 +т]тг

(10.15)

д//,2 + /71,2 • V / 2 + w j

Из формулы (10.15) получаем условия параллельности и

перпендикулярности двух прямых:

£ ,|U 2

с*

.^||.Г2

<=>

*— й .;

т2

A -L

<=>

—►

—>

<=>

h h

+ W]m2= 0.

-L Я2

III. Пусть

две

прямые

Ly и

заданы

уравнениями

угловым

коэффициентом.

А : У = кух + Ьу,

L2. у —к2х +Ь2

Ох

является угол a j , углом наклона

Углом наклона прямой

А к оси

прямой А

- угол

а 2 ,

т.е.

А, = tgay ,

к2 = tga2.

По теореме о внешнем угле

треугольника

а, = а2 +<р.

Следовательно,

<р = ах- а 2.

Вычислим

tg<p,

используя

известное

тригонометрическое

тождество:

а \

*gg|

tg<P= #(<*1

I +rga,/ga2

= *1 ~ А 1+к\к2

Таким образом, получим формулу для нахождения угла (р :

4 9

^ Г -

(Ю.16)

+ к

хк

Из формулы (10.16) вытекают условия параллельности и

перпендикулярности двух прямых:

<=>

tg<p = 0

к х = к 2;

Л,

A. L2

<=>

tg <р

не существует

<=>

\+к\к2 = 0

<=>

кх = — - .

к 2

Пример

10.3.

Даны уравнения двух сторон

прямоугольника ABCD:

*- 2у = 0,

дг-2у+15 = 0

и уравнение одной из его диагоналей

7* +у-15 =0.

Найти вершины прямоугольника.

Решение. Заметим, что даны параллельные стороны прямоугольника.

Пусть х - 2у - 0 - уравнение стороны АД

х - 2у + 15 = 0 - уравнение

стороны

ВС,

а 7JC+ у - 15 = 0 - уравнение

диагонали АС.

Найдем

вершину

прямоугольника. Решив систему уравнений

* - 2у = 0,

(7* + у -1 5 = 0,

получим

х = 2,

у - 1.

Значит,

прямые

и АС

пересекаются в точке

Л(2;1).

Решив систему уравнений

fjr-2y + 15 = 0,

[7х + у -1 5 = 0,

находим

д: = 1,

у = 8.

Значит, прямые

ВС

АС

пересекаются в точке

С(1;8).

Составим

каноническое уравнение

стороны

АВ, которая

проходит

через

точку

А(2;1)

имеет

направляющий вектор

SAB = пвс = (l;—2}

(т.к.

АВ1 ВС).

АВ:

*—- = ——-

или

2дг +у - 5 = 0 .

- 2

JC—2у + 15 = 0,

Решив

систему

уравнений

получим

координаты

вершины 2?(-1;7).

Уравнение стороны CD находим из условий, что точка

C(l;8)

лежит на

ИСКОМОЙ прямой И Псд = П А В

= {2;l}

(т.К. CD || АВ).

CD:

2(JC—l) + (у —8) = 0

ИЛИ

2дг + у -

10 = 0 .

Решив

систему

уравнений

х —2у = 0

полУчим

координаты

«L

ю -0

вершины

D(4;2).

Таким образом, все вершины прямоугольника найдены.


Пусть заданы прямая L общим уравнением Ах + By +С = о			и	точка
Л/(хУу ). Требуется найти расстояние отточки М* до прямой L .
Возьмем произвольную точку			Л/,(х, ;у,),
лежащую на	прямой L	(рис.27). Тогда
расстояние d	отточки А/'	до прямой L
равно модулю проекции вектора				МхМ'
на нормальный вектор прямой, т.е.

Л/,А/*

d —I пр~ ММ Л ~

Рис.27.

В силу того, что МХМЛ= {х* -ХХ\У -у,}, п = {лув ], последнюю формулу запишем в координатной форме

	\Л Х’ ~ xi h	д (г* - У,) _ \Ах~ -Лх,+ By				- By, \|
	■JА1 + Вг		~	-JA '+ B 1
Так как точка	М х(х, ;у ,)	принадлежит прямой				L , то Ахх+ Вух+ С = О
или С = -Ах} - Вух. Значит,
	\А х + В у + С \					(10.17)
	J Аг i_Я1
Замечание,	Если прямая		z	задана	нормальным уравнением
jfcosa +уsina - р = о, то расстояние от точки м *					до прямой вычисляется по
формуле:

d = |JC’ cosa +y’sina-p|.

Пример 10.4. Составить уравнения биссектрис углов, образованное двумя пересекающимися прямыми:

L , : х + у - 5 = 0 ,

L2: 7дг - у - 19 = 0 .

Решение.		Напомним, что биссектрисы АВ и						CD углов, образованных
двумя прямыми		L{ и	L2, являются множеством точек, равноудаленных от
этих прямых (рис. 28).
Возьмем любую точку					Л/’(дг,у), лежащую на одной из биссектрис,
например, на биссектрисе АВ. Вычислим расстояние									dx	от точки	м ' до
прямой	L, и расстояние			d2 отточки м '		до прямой			L2.
							4 = F		+ / - 5
								v m		’
						2"		л/49+Т		dx и d2
						Приравняем				dx и d2
						\x		- s \	\|7JC’ - / - 1 9 \|
							V2		"	V50	*
Поскольку		точка		Мя( х \у я) - произвольная				точка		биссектрисы, ее
можно	рассматривать			как текущую		точку	м(х;у).
~			\|х + у - 5\|		\| 7 х -у -1 9 \|	или	5\|*+ у-5\| = \|7х-у-19\|, т.е.
Следовательно,			-— 7=—- = ---- j=— -			или	5\|*+ у-5\| = \|7х-у-19\|, т.е.
				V 2	л/50
			5х + 5 у - 2 5 = ± ( 7 х - у - 1 9 ) .
Таким образом,			уравнение одной биссектрисы записывается в виде
5 * + 5 у - 2 5 = 7 * - у		- 1 9	или		* - З у +3 = 0 ;	уравнение другой биссектрисы-
5 * + 5 у ~ 2 5 = -7х +у + 19			ИЛИ		3 * + у - 1 1 = 0.

§ 11. Кривые второго порядка

Кривой второго порядка называется линия на плоскости, которая в

декартовых координатах определяется алгебраическим уравнением второй

степени:

Ах2 + 2Вху +Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0.	(11.1)
Коэффициенты уравнения (11.1) - действительные числа, но по
крайней мере одно из чисел А, В или С	отлично от нуля.

К кривым второго порядка относятся следующие линии: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

11.1. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для

которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости,

называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим FX и F2 - фокусы эллипса, расстояние между ними F^F2 = 2с,

а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов через 2а.

По определению 2 а > 2 с , т.е. а > с .

Для вывода канонического (простейшего) уравнения эллипса декартовую прямоугольную систему координат выберем следующим образом: ось Ох проходит через фокусы F, и F2, начало координат находится в середине отрезка F{ F2, ось Оу расположена соответствующим образом (_L0x). Тогда в выбранной системе фокусы имеют следующие координаты: f;(-c;0), F2(c;0) (см.

рис. 29).

	Пусть	точка	М(х,у)
произвольная точка эллипса. Тогда по определению эллипса
	FxM + F2M = 2a.		(11.2)
Так как	FxM = j(x + c)2 + у2 , F2M = J{x- c)2 +у3 ,	то уравнение (11.2)
принимает вид:

TJ(X + C)2+ у г + *J(x -c)2+ у 2 = 2а .

( 11.3)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20224.07 Mб0755.pdf
#
15.11.20224.17 Mб0759.pdf
#
15.11.20224.21 Mб3763.pdf
#
15.11.20224.22 Mб3764.pdf
#
15.11.20224.34 Mб1772.pdf
#
15.11.20224.35 Mб1773.pdf
#
15.11.20222.65 Mб1775.pdf
#
15.11.2022378.96 Кб178.pdf
#
15.11.20224.4 Mб1780.pdf
#
15.11.20224.41 Mб3782.pdf
#
15.11.20224.43 Mб1783.pdf