773
.pdfгде di} и |
Ь\ (/,у = 2,5) - новые значения коэффициентов и правых частей |
|
системы. |
|
|
Второй шаг прямого хода. |
Считая <4 * 0, исключим неизвестное |
х2 из всех уравнений системы (3), кроме первого и второго. Следующие шаги прямого хода осуществляются аналогично.
Если в ходе элементарных преобразований матрицы получилась строка, в которой все элементы равны нулю, то ее отбрасывают (так как соответствующее этой строке уравнение является тождеством).
Если в результате преобразований матрицы получилась строка, соответствующая уравнению, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то делают вывод, что система (5.4) несовместна.
Не более, чем через s шагов прямого хода исходная расширенная матрица (5.5) преобразуется в эквивалентную матрицу так называемого
ступенчатого вида:
( Ч 0
Г О
*12
0
*1л ьхN
аи Ь[
От
где |
г < 5 и г<п |
|
|
|
Второй этап (обратный ход метода Гаусса) заключается в решении |
||
ступенчатой системы (5.7). |
г = п , то ступенчатая система, соответствующая |
||
|
Если в матрице (5.7) |
||
матрице , имеет треугольный вид: |
|
||
|
+ -12*2 +"' |
=6,, |
|
|
а'ъХJ + -- |
(5.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
и |
является определенной. |
Единственное |
решение системы (5.8) находим |
обратным ходом метода Гаусса: из последнего уравнения вычисляем хт, из предпоследнего уравнения - , и далее, поднимаясь по системе вверх, находим
Хп-2 >• **»*l *
Если в ступенчатой матрице (5.7) г < п , то система, соответствующая ей, является неопределенной (имеет множество решений). В этом случае (п -г ) неизвестных хы,хг+2,...,х„ принимаются за свободные переменные, (т.е. они могут принимать любые значения), и обратным ходом из последнего уравнения системы вычисляется хг через свободные переменные *г+1 ,х„2,...,х т, из
предпоследнего уравнения - *г , через *^, *г + 2 и так далее определяются переменные *г_2,...,*,. При этом неизвестные *,,**,...,*, называются базисными.
Продемонстрируем метод Гаусса на конкретных примерах.
Пример 5.3. Решить систему методом Гаусса:
х\ +х2- *3 = 2, —2*1 + *2 &хз = 2, ДС| +2*2 + хз —6.
Решение, Запишем расширенную матрицу системы, отделив столбец свободных членов вертикальной чертой:
г 1 |
1 |
-1 |
2У |
-2 |
1 |
6 |
2 |
Ч1 |
2 |
1 |
6) |
Исключаем неизвестные хг из второго и третьего уравнений. Для этого ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 2, а к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на-1. Получим:
f \ |
1 |
-1 2' |
г\ |
1 |
-1 2' |
||
0 |
3 |
4 |
6 |
0 |
1 |
2 |
4 |
^0 |
1 |
2 |
|
J) |
3 |
4 |
|
(для упрощения вычислений поменяли местами второе и третье уравнения). Исключаем неизвестные х2 из третьего уравнения. Для этого вторую
строку, умноженную на -3, прибавляем к третьей строке:
f \ |
1 |
-1 |
2 ' '1 |
1 |
-1 |
2> |
0 |
1 |
2 |
4 ~ 0 |
1 |
2 |
4 |
|
0 |
-2 |
~6> |
0 |
1 |
з, |
(последнюю строку разделили на -2).
Полученной матрице соответствует система ступенчатого вида:
JCj +х2- *3 = 2, х2+2дг3 = 4, *3=3.
Эта система имеет единственное решение. Поднимаясь по системе снизу вверх, последовательно находим неизвестные *3, *2, xt . Таким образом,
[*1=7,
*2=-2,
*3= 3.
Пример 5.4. Решить систему методом Гаусса:
2х - у +z =-2,
1х +2y + 3z =-1, x - 3 y - 2 z = 3.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы, переставив местами первое и второе уравнения, и преобразуем ее в эквивалентную:
" 1 2 |
3 |
- Г |
п |
2 |
3 - Г |
"1 |
2 |
3 - г |
|
2 - 1 |
1 - 2 ~ 0 - 5 |
- 5 |
0 - 0 |
- 5 - 5 0 |
|||||
- 3 - 2 |
3 ; |
,0 - 5 |
- 5 |
4J |
|
0 |
0 |
Последней строке матрицы соответствует невозможное равенство 0=4. Следовательно, система несовместна.
Пример 5.5. Решить систему методом Гаусса:
|
|
|
|
х + 2у - 4z = 1, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y - 5 z = - \ y |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
х - у - z = -2. |
|
|
|
|
||
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы: |
||||||||||
г\ |
2 |
- 4 |
1 > т 2 - 4 |
1 ' |
и |
2 |
- 4 |
1 ' |
||
2 1 - 5 |
-1 |
0 - 3 |
3 -3 |
0 -3 |
3 |
-3 |
||||
I |
- 11 -1 |
- ь |
- 3 |
3 |
-з> |
|
0 |
0 |
0 , |
|
Последнюю |
строку |
матрицы |
отбрасываем, |
т.к. |
соответствующее ей |
равенство 0=0 выполняется для любых значений неизвестных. Предпоследнюю
строку разделим на -3. Получим ^ ^ |
\х +2 y - 4 z = |
г.е. < |
|
|
[У- z = l. |
Ступенчатая система является неопределенной. Придадим z значение /, |
где t - произвольное число. Тогда из последнего уравнения системы у - 1 +1, а из
первого дг = 2f- 1. Таким образом, |
система имеет бесконечно много решений, |
каждое из которых может быть вычислено по формулам: |
|
* - 2/ - 1, |
|
у =t + 1, |
где t - произвольное число. |
z = |
|
Каждое отдельное решение системы получается при каком-либо определенном значении /.
Например, если t =0 , |
то < |
|
К |
если / = 2, |
[* = 3> |
то < |
|
|
h |
|
* = -5, |
если / = - 2, |
то |
z - - 2.
Пример 5.6. Решить систему методом Гаусса:
1Х \ + *2 + *3 + *4 =
х { + 2 х 2 + 2*4 = 5,
*1 + 3*2 - *3 + 3*4 = 7.
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:
'1 |
I |
1 |
1 |
3" |
'1 |
1 |
1 |
1 |
3Л |
1 |
2 |
0 |
2 |
5 ~ 0 1 |
-1 |
1 |
2 ~ |
||
|
|
-1 |
3 |
7, |
1° |
2 |
- 2 |
2 |
4, |
f \ |
1 |
1 |
1 |
3" |
0 |
1 |
- 1 |
1 |
2 |
о |
о |
0 |
0 |
о> |
|
|
|||
|
|
|
|
Последнюю строку отбрасываем и получаем систему ступенчатого
вида:
{* 1 + * 2 + * 3 + * 4 = 3,
которая является неопределенной.
*2 —*3 + *4 = 2,
Т.к. в последнем уравнении три неизвестных, то *3 и *4 придадим произвольные значения г, и t2 соответственно, и из второго уравнения найдем *2, а из первого - *,. Таким образом, получим:
[*, = 1- 2/ь
*2 = 2 +/| —t2,
где /1?/2 - произвольные числа.
хз ='ь
* 4 =/2,
Если положить, например, ^ = 1, t2 = 0, то получим конкретное решение из бесконечного множества решений данной системы:
Ы = - 1,
*2 = 3,
*3=1,
*4 = 0.
5.4.Решение однородных систем линейных уравнений.
Рассмотрим однородную квадратную систему линейных уравнений
аи х1+-- + аХпхп =О,
|
|
|
а 2\х \ + ‘-' + а 2пх п - |
0. |
|
|
|
|
(5.9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рп\х\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
что эта система всегда совместна |
( rang А = rang А ) |
и |
|||||||
имеет |
нулевое (тривиальное) решение хх =х2 =... = х„ =0 . |
|
|
||||||||
|
Из |
правила Крамера |
вытекают |
следующие |
утверждения о |
||||||
решениях рассматриваемой |
системы. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а \\ |
а \п |
|
|
|
Утверждение 5.1. Если определитель А= ... |
|
* 0, то |
система |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а п\ |
апп |
|
|
(5.9) |
является |
определенной |
и |
имеет |
только |
тривиальное |
решение: |
||||
*1 = *2 =■•■ = *#»= 0 ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Утверждение 5.2. |
Если определитель А = 0, то система (5.9) является |
|||||||||
|
неопределенной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Замечание. |
Если |
система (5.9) является неопределенной (д = о), то |
||||||||
бесконечное множество ее решений находится методом Гаусса. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Зх + 2 у - z = 0, |
|
|
||
|
Пример 5.7. Решить систему |
2х -у +3г = 0, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
х + Ъу - 4г = 0. |
|
|
||
|
Р еш е ние . |
Вычислим определитель А. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
2 |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д= 2 -1 3 = 12 +6-6-1 +16-27 = 0. |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
- 4 |
|
|
|
|
|
В силу утверждения 5.2 система является неопределенной. Для нахождения ее решений применим метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы, поставив последнее уравнение первым:
г \ |
3 - 4 |
0" |
г \ |
3 |
- 4 0Л |
( \ |
3 |
- 4 |
|||
3 |
2 |
- 1 |
0 |
0 |
- 7 |
11 |
0 |
||||
1 |
1 |
'О |
|||||||||
,2 |
- 1 |
3 |
о, |
1° |
- 7 |
11 |
о, |
0 |
|||
|
|
|
Таким образом, имеем неопределенную систему:
: |
) |
• |
х + Зу - |
|
4z = 0 |
-7>/ + llz = 0
Для упрощения вычислений придадим z значение 7 / , где / - любое число, и выразим из второго уравнения у , а из первого уравнения найдем *. Получим
Г* = -5 /,
Jу - 11/, где / - произвольное число.
[* = 7/,
Пример 5.8. Решить однородную систему
3*, + 2 х 2 + *3 = О,
|
2*| +3*2 + -«з = 0, |
|
|
12*i + *2 + З*3 = 0. |
|
Решение. Вычислим определитель А. |
||
3 |
2 |
I |
д = 2 |
3 |
1= 27 + 4 + 2 - 6 - 1 2 - 3 = 12. |
2 |
1 |
3 |
Поскольку д * о, то система имеет в силу утверждения 5.1 только тривиальное решение
х\ =о, *2 =0,
* 3= 0 .
Замечание. В общем случае неквадратные однородные системы решаются методом Гаусса. Однако, однородную систему из двух уравнений с тремя неизвестными можно решить изложенным далее способом.
Итак, рассмотрим систему:
| Д П *1 |
+ f l l2 * 2 + а |Э*Э = 0 , |
|
^ |
l ° 2 l * l |
+ а П Х 2 + ° 2 3 Х Ъ = 0 - |
|
|
Основная матрица системы имеет вид: |
0,2 |
flj3> |
|
А = \ ° и ° п |
0,3 |
||
|
|
а 22 |
а 23з J) |
Обозначим д . определитель квадратной матрицы, который получается из матрицы А вычеркиванием j-того столбца:
а 12 |
"13 , |
Д 2 = ° |1 |
"13 , |
д 3 = О ц |
"1 2 |
0 2 2 |
"2 3 |
"21 |
" 2 3 |
"21 |
" 2 2 |
По теореме Кронекера-Капелли система (5.10) всегда совместна и имеет бесконечное множество решений, т.к. rang А = rang А < п, п = 3. Найти все решения системы (5.10) позволяют следующие утверждения.
Утверждение 5.3. Если хотя бы один из определителей системы
(5.10) Aj, |
j = 1,3 |
отличен от нуля, то все |
решения |
системы |
(5.10) |
|||
определяются по формулам: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
*1 = At/, |
|
|
|
|
|
|
|
|
- хг - -д 2/, |
где / - произвольное число. |
|
||||
|
|
* э = Д з'> |
|
|
|
|
|
|
Утверждение 5.4. |
Если |
AJ =A2= A3=0 , |
то система (5.10) |
имеет |
||||
бесконечное множество решений: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
='i> |
|
|
|
|
|
|
|
■х2=/2, |
|
где /|,г2 |
- произвольные |
|||
|
|
*3 = |
(fl2l*l + а 22^)> |
|
|
|
|
|
Пример 5.9. |
Решить систему |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
JЗх+2у - 2 =0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
[2х-у +32=0. |
|
|
|
|
Решение. |
Вычислим определители Д,,Д2,Д,. |
|
|
|
||||
12 |
-1| |
|
3 -1 = 9 + 2 = 11, |
3 |
2 |
|
|
|
|
д 3 = |
|
|
|
||||
Н - . |
з г б - , = 5 ’ |
д >= 2 3 |
2 -1 |
|
|
Всилу утверждения 5.3 имеем:
х=5/,
|
«у = - 11/, |
где / - произвольное число. |
|
|
2 = -It, |
|
|
Пример 5.10. |
Решить систему |
Зх+2y - z ~ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
-9х-6у +32 =0. |
|
Решение. |
Вычислим определители А,, д2, А3. |
|
|
А |
|
- |
= 0 . |
|
|
J |
Очевидно, что система эквивалентна одному уравнению Зх +2у - z - о . Чтобы найти все множество ее решений, двум неизвестным придадим произвольные значения, а третье найдем из уравнения. Получим
Глава 2. Векторная алгебра
§6. Векторы
6.1.Основные понятия
При |
изучении физических явлении |
приходится иметь |
дело с |
|
величинами двух видов: скалярными и векторными. |
|
|||
Величины, которые полностью определяются своим численным |
||||
значением, |
называются скалярными. |
Примерами скалярных |
величин |
являются площадь, длина, объем, температура, масса и т.д.
Другие величины, например, скорость, ускорение, сила определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Они называются векторными величинами.
Вектор - это направленный отрезок . Если точка А является началом
—►
вектора, а точка В- его концом, то вектор обозначается символом АВ или при однобуквенном обозначении а . Начало вектора называют точкой его
приложения. Вектор ВА (с начальной точкой В и конечной точкой А)
-4
называется противоположным вектору АВ. Вектор, противоположный
—►
вектору а , обозначается - а .
Числовой характеристикой вектора является его длина. Длиной (модулем) вектора называется число, равное длине отрезка, изображающего
вектор. Обозначается длина вектора АВ\ или
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет направления и длина его равна нулю. Это позволяет отождествлять его с числом ноль.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых,
—> -* называются коллинеарными. Коллинеарность векторов а и Ь обозначается
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Из данного определения следует, что векторы, имеющие разные точки приложения и получающиеся один из другого параллельным переносом, равны.
Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.
Замечание. Вектор можно полностью охарактеризовать, указав его длину, расположение в пространстве и направление.
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
/. Сложение векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Суммой двух |
векторов |
а |
и |
ь является |
вектор с = а + 6 , который |
||||||||
можно найти по правилу треугольника или по правилу параллелограмма. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Правило треугольника. Если начало |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
—> |
|
|
|
|
|
-» |
|
|
|
|
|
|
|
вектора ь совпадает с концом вектора а , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
то вектор |
с |
= а + |
Ь идет из начала |
|||
|
|
|
|
|
|
|
—> |
|
|
|
|
—> |
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора а |
в конец вектора Ь (см. рис. 1). |
|||||
Рис. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило |
|
параллелограмма. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Если векторы |
—► |
—► |
ь приложены к |
|
|
|
|
|
|
||||
а |
и |
|
|
|
|
|
|
||||||
одной точке, |
то |
вектор |
с |
= а + |
Ь - |
|
|
|
|
|
|
||
диагональ |
|
параллелограмма, |
|
|
|
|
|
|
|||||
построенного на векторах |
—► |
и |
—► |
|
|
|
|
|
|
||||
а |
ь , |
|
|
|
|
|
|
||||||
идущая из общего начала векторов |
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
|||||||
—► —► |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а И Ь (СМ. рИС. 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для |
нахождения |
суммы |
нескольких |
векторов |
а х + а 2 + ... + а к |
||||||||
( к е N ) применяется правило многоугольника. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Правило |
многоугольника. |
Суммой, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
например, |
|
|
четырех |
|
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
a i,<*2, а з ,в 4 |
|
называется вектор d, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
начало которого совпадает с началом |
||||||
|
|
|
|
а А |
|
|
вектора |
|
a i, |
а конец |
|
с концом |
|
d = fli + д 2+ д 3+ а А |
|
|
|
вектора |
|
а 4 |
при условии, |
что точки |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рис. 3. |
|
|
|
|
приложения |
|
векторов |
а 2,аз, я 4 |
|||||
|
|
|
|
совпадают |
с |
концом |
предыдущего |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
слагаемого вектора (см. рис. 3). |
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами'.