- •АКАДЕМИЯ НАУК ЛАТВИЙСКОЙ ССР
- •механика
- •материалов
- •СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ, ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ*
- •const3
- •КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ В ВОЛОКНИСТОМ КОМПОЗИТЕ
- •РАЗРУШЕНИЕ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ УГЛЕПЛАСТИКОВ И РЕАЛИЗАЦИЯ В НИХ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ ВОЛОКОН
- •УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХ волокон В МАТРИЦЕ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДОКРИТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
- •РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ВОЛН СДВИГА В ОРТОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТАХ
- •УСТАНОВКА ДЛЯ ИСПЫТАНИЯ КОМПОЗИТОВ ПРИ ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
- •МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТА С ХРУПКИМ ВОЛОКНОМ
- •ОБ ОЦЕНКЕ АНИЗОТРОПИИ УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •ТЕРМОУПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ЛОКАЛЬНО НАГРЕВАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ ИЗ СЛОИСТОГО МАТЕРИАЛА
- •НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НАЛИЧИИ ЗОН НЕИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА СЛОЕВ
- •ОПТИМАЛЬНАЯ ВРАЩАЮЩАЯСЯ ОБОЛОЧКА ИЗ КОМПОЗИТА, НАПОЛНЕННАЯ ЖИДКОСТЬЮ
- •МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАПАНО-АОРТАЛЬНОГО КОМПЛЕКСА ЧЕЛОВЕКА
- •ИССЛЕДОВАНИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МИОКАРДИАЛЬНОЙ ТКАНИ
- •шшшпттд
- •Кинетические уравнения. В нашем случае кинетические уравнения
- •СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРОВ УЛЬТРАЗВУКОВОГО И ОБЫЧНОГО РЕЗАНИЯ МЯГКИХ ТКАНЕЙ
- •ДИАГНОСТИРОВАНИЕ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ГИБРИДНОГО КОМПОЗИТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МЕХАНИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
- •ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДАМИ СПЕКЛ-ГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ
- •ДИНАМИКА РАЗВИТИЯ ТРЕЩИНЫ И ЭФФЕКТЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ
- •ВОПРОСЫ ЗАИМСТВОВАНИЯ
- •ТЕРМИНОВ И ТЕРМИНОЭЛЕМЕНТОВ
- •ТЕПЛОФИЗИКА ПОЛИМЕРОВ
механика композитных материалов, m2., м 1, с. 145—149
УДК 620.1:678.067
В. М. Антоненко, А. Н. Подлипенец, Н. А. Шульга
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ВОЛН СДВИГА В ОРТОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТАХ
При исследовании распространения упругих волн в регулярно-слоис тых композитных материалах в точной постановке трехмерной теории упругости рассматривались [1, 2] лишь композиции из изотропных чере дующихся слоев. Однако для композитных материалов характерной яв ляется анизотропия образующих материал слоев [3]. В настоящей статье
врамках такой модели исследуются объемные волны сдвига (5Я-волны)
вортотропных регулярно-слоистых композитных материалах.
Для исследования объемных волн сдвига (антиплоская деформация) в слоистом композитном материале рассмотрим неограниченную среду —о о< х , у, 2< + оо, образованную повторением порождающего слоя тол щины А, состоящего в свою очередь из Q ортотропных слоев различной
толщины hq (Ai+ • • • +A Q= A) |
и механических свойств. Плоскости |
раз |
|
дела |
слоев совпадают с плоскостями z = nh —A+Ai + • • • + h q= z n,q |
(n = |
|
= 0, |
± 1 , .. . ; <7=1,..., Q). При распространении SH -волн отличны от |
||
нуля напряжения оух= G2idxv, |
oyz= G 2$dzv и перемещение v(x, z) |
(вре |
|
менной множитель ехр( —Ш ) |
всюду опущен), удовлетворяющие урав |
||
нению |
|
(1) |
|
|
G2\dx2v+ G23dz2v+ p(o2i> = 0, |
причем модули сдвига G2j и плотность р принимают различные.значения для каждого <7-го слоя (q= 1 ,..., Q).
При гармонической зависимости а, оух, оу2 от координаты х предста вим их, согласно уравнению (1), для каждого слоя зависимостями
V(x, z) = h[B(n-l)Q+q sin Qq{Z-Zn,q) +
+ S(n-i)Q+gcos Q q{z-zn,q)]eihx; |
oyx= ikG2Uqv (x, z); |
Gyz —hdq[B(n—\)Q+q COS Qq(Z—Zn}q) + |
|
“f"B(n—l)Q+q^=q sin £lq(Z |
Zn,q)\&^X\ |
Zntq-\<Z<Zn,q\ n = 0, ±1, . . . ; 9=1, ...» Q; Zn,o = Zn-l,Q .
Здесь fi(n-i)Q+g(i) — неизвестные постоянные; dq = QqG2z,q; при pg(o2 —
— G2Uqk2> 0 |
Qg = y(pg(o2—G2i>gA2)G23,g~1 и ^ q= —1, так |
как решение |
уравнения |
(1) выражается через тригонометрические |
функции; при |
Pgco2—G2i>gA2< 0 полагаем Qq = i (G2\)(2k2 —рдсо2) G2ztq-l= Qq и e g= + l ив формулах (2) заменяем тригонометрические функции на гиперболиче
ские: sin Qg(z—Zn,g)-^sh Qq(z —zn>q) ; cos Qq(z —zn>(Z->ch £lq(z —zn,q).
В результате подстановки решения (2) в условиях сопряжения v(x,zn,q-0) = y (x ,2 n>g + 0); oyz{x,zn,q-0) =Gyz(x,zn)q + 0) получим беско нечную систему однородных алгебраических уравнений относительно не известных
N (du 0) B(n-i)Q+i = A^(d2, 02) B(n-i)Q+2;
N(dQ- 1, 0) B(n-i)Q+Q-i = N (d Q, 0Q) B(n-i)Q+Q; |
|
N (dQ, 0) B(n-DQ+Q = N(d\y0j) Bng+1; n= 0, ±1 |
(3) |
10 - 1939 |
145 |
Здесь введены 2-мерные вектор-столбцы B(n-i)<?+g и 2х2-мерныё матрицы
N ( d g , 0 g ) ;
о (О |
] |
dq COS 0g> |
dq^Eq Sill 0g |
|
B(n-l)Q+g= Щп-DQ+q |
N(dq,Qq) = |
|
||
n(Ji-\)Q+q |
—sin0g; |
cos0g |
||
|
||||
|
|
|
где величины 0g= /igQg.
Замкнутое решение бесконечной системы (3) определяется по спо
собу [2] и имеет вид |
|
2 |
Q |
|
j=l |
9-2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
B(»-I)Q+Q- I = |
|
{dq-u 0) N (dQ, Qq) N-' (dq, 0) Yj; |
(4) |
||
|
j = l |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
B(n-1 Q+Q = |
KjXjnN~l (dq, 0) Yjl |
n = 0, ± |
1 , ..., |
|
|
|
j = l |
|
|
|
|
содержащий две неизвестные постоянные К\ и /Сг- |
характеристическими |
||||
Величины xj и вектора Yj |
(/=1,2) |
являются |
|||
числами и соответствующими |
собственными векторами передаточной |
||||
|
Q |
|
|
|
по не- |
матрицы для Q слоев NQ= П N (dq,Qq)N~l (dq,0) и определяются |
|||||
|
(7=1 |
|
однородных уравнений |
(NQ— |
|
тривиальному решению системы двух |
—- / 2) Y= 0 (/2 — единичная матрица порядка 2 x2 ). Непосредственными
х
вычислениями находим характеристическое уравнение передаточной
матрицы NQ |
(5) |
X2—26gX +l=0, |
коэффициент которого 6g = —SpuriVg.
Решение (4) определяет незатухающие волны в неограниченной среде (объемные волны) при условии, что постоянные jB(n-,i)g+g(i) ограничены и не стремятся к нулю при п-+±оо. Это приводит к следующему ограниче нию на коэффициент bQуравнения (5):
1 4 ^ 1 . (6)
При условии (6) квадратное уравнение (5) заменой х = ехр ih^Qсводится к тригонометрическому уравнению
cos ht>Q= bq (со, k). |
(7) |
Однозначное решение последнего уравнения будем определять [2] по формуле
^ g = ( - l ) ^ - 1arccosbg+2n [ - ^ ] , |
(8) |
где arccos bQ — главное значение обратной тригонометрической функ ции, заключенное в пределах (0,л); N — порядковый номер появления
неравенства |Ь д |< 1 с ростом частоты от нуля; |
I — целая часть |
N |
L |
числа 2". |
|
Вычислив ht>Qпо формуле (8), найдем оба характеристических числа xv (v= 1,2):
xv= e x p ( - l ) v- 1i/i^Q. |
(9) |
Правомерность формулы (8) для KQq подтверждается переходом в реше нии для кусочно-однородной среды к частному случаю однородной среды. Положив G2j,i= ••• = G 2j,Q = G2j, p i= ••• = P Q = P , найдем, что bQ= cos Ш , На основании формулы (8) определяем h^Q:
h^Q= ( —l)^ - 1arccos(coshQ) +2n |
] =hQ, |
|
|
|
а затем и характеристические |
числа xv = exp( —l) v_1r/iQ; v = l,2 . Опре |
|||
делив затем все 5 (n-i)Q+g(i) и |
подставив их в |
решение |
(4), |
получим |
v(x, z) =h eihx(K\eiQz + K2e~iQz)> |
что в точности |
совпадает |
с |
решением |
уравнения (1) для однородной среды. |
необходимо различать |
|||
При анализе дисперсионного соотношения (7) |
два принципиально различных случая [4], которые охватывают решение
(2). Во-первых, это распространение волн вдоль плоскостей раздела слоев материала; при этом k является подлежащим определению волно
вым числом, через которое выражается фазовая |
(Сф=<о/к) и групповая |
|
(cv = d<ajdk) скорости волн. В |
этом случае дисперсионное соотношение |
|
(7) содержит три неизвестных |
со, k, £Q. Условие (6) |
в плоскости парамет |
ров со, k выделяет зоны пропускания волн; однозначная зависимость вол нового числа k от частоты со выделяется лишь при фиксированной перио дичности решения по координате z (заданием величины £Q). Во-вторых,
это распространение волн под углом к плоскостям |
раздела |
материала. |
|||
В этом случае |
|
|
|
|
|
, |
со |
со |
_ |
со |
/1/чч |
k = |
tlx, I -----------= |
= ftx,Q -----------; |
Q g — n-z,g |
» |
( 1 0 j |
|
Сф,1 |
Сф,Q |
|
Сф,д |
|
где (nXiq\ tiZtq) — направляющие косинусы нормали к фазовой плос кости, связанные зависимостями nX)q2+ n Ztq2= l\
СФ,Я=21/ (^21 ,qftx,q2-\~ G2^tqtlZiq2) рq 1
фазовые скорости объемных волн в материале q-ro слоя. Первое из этих условий представляет собой закон Снеллиуса [4]. Среди пХА (q= 1 ,..., Q) будут величины, как меньшие, так и большие единицы, т. е. среди =
= y i — n Xtq2 могут появиться мнимые величины. В СЛОЯХ С МНИМЫМИ n Ziq будет наблюдаться эффект просачивания волны через слой [4].
Согласно зависимостям (2), (4), (9) экспоненциальные множители
exp(±ih^Q) определяют огибающую волну [5]. Величина |
при этом |
должна интерпретироваться как проекция волнового вектора |
(£Q, k) на |
ось Oz. Фазовая и групповая скорости, а также направление распростра нения этой волны определяются обычным образом [4] через частоту и волновой вектор (£$,£)• Отсюда в частности следует, что при распростра нении огибающей волны вдоль оси Ох (вдоль плоскостей раздела слоев) необходимо положить £Q= 0, т. е. дисперсионное соотношение (7) для этого случая принимает вид bq{k, со) = 1. А это значит, что период реше ния по оси Oz совпадает с периодом структуры и равен h. Волновое дви жение в направлении оси Ох, периодичность которого отлична от А, можно организовать суперпозицией решений с экспоненциальными мно
жителями exp(±ih^Q) ) exp ( —J7I£Q).
В длинноволновом приближении дисперсионное соотношение (7) при нимает вид
G 23£Q 2 = рсо2 - G 21 k 2y ( H )
где (?2j, p — приведенные модули и плотность, определяемые но теории
|
|
<? |
Q |
^ |
эффективных модулей [1] и равные р = ^]|Pgpg; |
621= |
---- = |
||
_ ^ |
Q |
qX=l |
1 |
П |
Л |
q |
причем относительная толщина слоев $q = hqlh. |
J23 |
|
|
J23,q |
|
|
|
|
На рис. 1 —а и 2—а показаны зоны |
пропускания волн |
(заштрихован |
|||||
ные области) |
при их распространении |
вдоль поверхностей раздела для |
||||||
композитного |
материала |
из чередующихся слоев двух типов при |
||||||
pi |
3 . |
G2I l l _ 9 . |
G2Ii2==1; |
__С^23,lш = 7_. |
pi = 0j3 |
(рис |
||
92 |
|
^23,1 |
J23,2 |
@23.2 |
|
|
Pi = 0,7 (см. рис. 2—а). Отношение этих параметров выбрано характер ным для стеклопластиков со слоями, армированными вдоль оси Ох (пер вый слой) и вдоль оси Оу (второй слой). Сплошными линиями отмечены границы этих зон Ь2= + \, а штриховыми — границы b2= —1. Безраз мерная частота hk2\i2 = fml/^2IG2\^.
При & >m ax(£2i,i;£21,2), где ^2i,g= ^Vpg/G2i,9, коэффициент b2> 1 при всех со> 0 и допустимые решения уравнений Ь2(со,k) = ± 1 ограничены ус
ловием £ < m ax (£ 2i,i; |
/221,2). А так |
как дЛЯ данных |
на рис. 1 и 2 |
вели |
чина /221,1 < & 2i,2, то кривые 62= ± 1 |
имеют наклонные асимптоты, состав |
|||
ляющие с осью hk21>2 угол л/4. |
|
|
|
|
Граница 62= + 1 |
в точке hk=hk2{2= g имеет |
касательную |
hk = |
= -r^-hk2\,2, где C2i=yG 2i/p — определяемая по теории эффективных мо
дулей скорость распространения волн ядоль структуры материала. Сов падение этой границы с ее приближенцЬш значением для данного мате риала наблюдается на большом участие безразмерной частоты hk2,f2. С ростом параметра Pi плотность зон пр0ПуСкания волн уменьшается, а сами они расширяются.
Рис. 2. Пояснения в тексте.
Результаты анализа дисперсионного соотношения (8) для волн, рас пространяющихся под углом к поверхностям раздела материала с теми же свойствами, что и для рис. 1—а и 2—а, показаны на рис. 1—б и 2—6
соответственно |
при углах падения сс2 = 0 (кривые 7), а |
2 = л/12 (кри |
вые 2), а 2 = я/6 |
(кривые 3). Для длинных волн зависимость |
£2(о) опреде |
ляется формулой (И ), так как значение k известно (10).
Отметим, что пру распространении волн под произвольным углом к структуре материала зоны их пропускания (но не зависимость g2(со) можно установить по рис. 1—а и 2—а следующим образом. Так как нор маль к фазовой плоскости в слоях толщины h2 образует с осью oz угол
<Х2, т. е. пх,2 = sin a2, пг2 = cosa2, то kh = hk2\t2СФ,2sin a 2. Если на рис. 1—а или 2—а из начала координат провести прямую с угловым коэффициеи-
£21.2 -
том — —s\n a2, то отрезки этой прямой, находящиеся в заштрихованных
Сф,2
областях, и будут определять зоны пропускания волн в заданном углом
0С2 направлении. На рисунках проведены такие прямые для |
углов а 2 = |
= я/12 (прямая 7) и а 2 = я/6 (прямая 2). |
основании |
Отмеченное обстоятельство позволяет заключить на |
рис. 1—а и 2—а, что с увеличением угла падения а 2 от нуля до аг.в зоны
пропускания волн увеличиваются. В |
направлении |
а 2,в проходят волны |
всех частот. Непосредственные вычисления показывают, что |
||
£?23,2 ( ^23,2----- ^23,1 ) |
||
Х |
Р2 |
' |
sin а 2,в= |
|
|
G23,2 — — 62 3 , 1 |
( 6 2 3 , 2 “ 6 2 1 ,2 ) |
— 6 2 3 , 1 6 2 1 , 1 |
Р2 |
|
|
т. е. угол ос2,б является углом Брюстера, при котором отражение на плос кой границе раздела сред со свойствами 62^2, Рг и 6 2j,i, pi отсутствует [4]. Дальнейшее увеличение угла аг снова приводит к сужению зон про
пускания волн, исключая первую. При этом |
вплоть |
до |
значений |
аг = |
. С21 2 |
а при |
• |
^21,2 - |
-Я |
= arcsin-т-2- длинные волны пропускаются, |
arcsin-^r-1- < a 2< j- |
|||
С2i |
|
|
С21 |
Ч- |
длиннЫе $олны не пропускаются. С ростом угла а2 в этом интервале зоны пропускания коротких волн сужаются до практически полного вы рождения в дискретный спектр частот пропускания. Наличие угла а2 =
= arcsin^r^ обусловлено тем обстоятельством, что при падении длин- ^2l
ных волн со слоя толщины h2 на регулярно-слоистое полупространство, моделируемое однородной средой с эффективными постоянными, под уг
лом a 2>Hrcsin^|^- в последнем наступает полное внутреннее отраже- *21
ние воЛИ-
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.КйИпозиционные материалы. В 8-и т. Т. 2, Механика композиционных материа
лов. М., 197$. 568 с.
2.Шдльга Н. А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев, 1981. 164 с.
3.Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г А. Сопротивление полимерных и ком
позитны* материалов. Рига, 1980. 572 с.
4.Бре^вских М. Л. Волны в слоистых средах. М., 1957. 502 с.
5.БрУЛАюэн Л П ар о д и М. Распространение волн в периодических структурах. М.,
1959. 452 С•
Институт механики АН Украинской ССР, |
Поступило в редакцию 26.03.81 |
|
Киев |
___ |
|