1154

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 2, с. 263—270

УДК 624.074.001:539.3

А. Д. Лизарев

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ И ПЛОТНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ТРЕХСЛОЙНЫХ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

В теории слоистых оболочек, как отмечалось, например в [1, 2], инте­ ресным и важным является вопрос о возможности сведения расчета мно­ гослойных оболочек к расчету однослойных с приведенными упругими характеристиками и общим числом слоев, которое входит в уравнения как параметр. Такой подход позволяет широко применять при исследо­ вании слоистых оболочек результаты и методы классической теории и приводит в ряде случаев к эффективным аналитическим решениям.

Как показано в [3, 4], дифференциальные уравнения колебаний непо­ логих трехслойных сферических оболочек, полученные при использова­ нии варианта гипотезы ломаной линии Григолюка [5], трансверсально­ изотропных сферических оболочек, а также оболочек, колебания кото­ рых описываются теориями типа Тимошенко и классической, имеют одинаковую структуру и различаются только некоторыми постоянными коэффициентами. Собственные частоты и формы колебаний всех этих оболочек определяются по единой программе [6].

При исследовании колебаний трехслойных сферических оболочек возможно использование методов, развитых для однослойных. В част­ ности, собственные частоты трехслойных оболочек допускают двусторон­ ние оценки, аналогичные предложенным для однородных оболочек в [7], а для определения плотности собственных частот трехслойных оболочек применим метод, описанный для однородных оболочек в [8].

Основные уравнения. Исследуем колебания непологой сферической оболочки, образованной двумя наружными слоями, каждый из которых имеет толщину 2/i2, и внутренним трансверсально-изотропным слоем тол­ щиной 2h\. Полагаем, как и в {3, 4], что внутренний слой несжимаем в ра­ диальном направлении и может иметь деформации сдвига по толщине, а наружные тонкие слои работают как мембраны. Система дифференци­ альных уравнений, описывающих свободные несимметричные колебания такой оболочки, имеет вид

где W=W(Q, ф) — радиальное перемещение; Ч; =Ч; (0, ф) — вспомога­ тельная функция; 0, ф — сферические координаты; Си di — коэффи­ циенты [3], зависящие от геометрии оболочки, механических свойств ма­ териалов внутреннего и наружных слоев, а также от частотного пара­ метра Х= (1—vi2)ft2, причем £2 = (o2/?2pi/£i; Е\ и pi — модуль упругости и плотность материала внутреннего слоя; со — собственная частота коле­ баний; R — радиус срединной поверхности оболочки; V2 — дифферен­ циальный оператор Лапласа в сферических координатах. После разделе­ ния переменных уравнения (1) и (2) интегрируются в присоединенных функциях Лежандра первого и второго рода Pnm(cos0) и Qnm(cos 0), где т — число узловых меридиональных плоскостей формы колебаний;

степени для i = l ,2,3 определяются из характеристического кубического уравнения

а для i=4,.5 — из квадратного уравнения dxp2—d2p-bd3—0,

причем pi = tii (tii + 1).

Группируя члены уравнения (3) по степеням л, получим

F (X, р) = fхХ3- (fap+ fз)X2+ (hP2+fsP+fe)b-hP3- h P 2- h P + ho = 0,

(4)

fs = K s [ki (Л4В ,—A XB 3) + 1гтА 2А з ] +

слоям; рь Р2 — плотности материалов; vi, v2 и Ей Е2 — коэффициенты Пуассона и модули упругости материалов; G'\ — модуль сдвига на пло­ щадках, перпендикулярных к срединной поверхности оболочки.

При изучении колебаний однослойной трансверсально-изотропной

Характеристическое кубическое уравнение (3) при физически реаль­ ных значениях параметров сферической оболочки имеет один действи­ тельный положительный корень р=рi, два других корня в нижней части спектра либо комплексно-сопряженные, либо действительные отрица­ тельные. Для определения собственных частот используется частотное уравнение в форме равного нулю определителя, имеющего в общем слу­ чае пятый порядок [3, 4]:

Элементы аГ8 определителя (5) представляют собой коэффициенты при постоянных интегрирования Ct, зависящих от граничных условий.

нулями в этом случае являются такие натуральные числа п, что четности

пи т различны.

Вкачестве примера в табл. 1 приведены значения k и их^двусторонние оценки, вычисленные для трехслойной полусферической оболочки

/а = п/2 ) с жестко защемленным краем и параметрами £ = 250, /b = 0,l; г = 2; ге = 20; £’i/G/i=20; vi =0,4; v2 = 0,3. Параметры k определялись на ЭВМ* М-4030* путем точного решения частотного уравнения вида (5) по программе, приведенной в [6]. Строки таблицы соответствуют интерва­ лам изменения степени п= п\ функции Лежандра Рпт (0) между двумя

а = я/2.

Плотность собственных частот. Спектр собственных частот тонких трехслойных и однородных сферических оболочек точечный, но очень плотный. Для оценки числа всех частот, меньших со, используют некото­ рую непрерывную функцию tf(oo), называемую асимптотической функ­

цией распределения собственных частот [12]. Производную v(co) = ^

называют асимптотической плотностью собственных частот. Современное состояние теории асимптотических распределения и плотности собствен­ ных частот упругих тел обсуждалось в [13], тонких упругих оболочек — в [14]. Плотности v(co) тонких пологих трехслойных сферических оболочек на прямоугольном плане определены в [15, 16], плотности собственных частот непологих трехслойных и однослойных трансверсально-изотроп­ ных сферических оболочек до сих пор не изучались.

Исследование свойств функций N ( со) и V (G>) и двусторонние оценки собственных частот позволяют делать качественные и количественные выводы о динамическом поведении трехслойных и однородных сфериче­ ских оболочек без решения частотных уравнений. Простым путем можно выполнить параметрический анализ частотного спектра, изучая влияние на него различных факторов.

При достаточно больших значениях П\>т число корней частотного уравнения (5) близко к числу всех нулей присоединенных функций Ле­ жандра /V n(cosa) как функций от п на отрезке 1< п < п { при всех зна­ чениях порядков 0, 1, 2, ... ,т . Как следует из рассмотренных выше свойств корней частотного уравнения (5), функцию распределения собст­ венных частот полусферической оболочки можно приближенно предста­ вить в виде

где E(z) _ целая часть числа г. Относительная погрешность формулы (10) тем меньше, чем большее число частот заключено в рассматривае­

мой области. п/л ч Дифференцируя функцию г(А,р) в левой части уравнения (4) как

неявную функцию k и N, получим выражение асимптотической плотности собственных частот

Задавая параметр k с определенным шагом, находим из уравнения (4) действительные положительные величины р. Подставляя соответствую­ щие пары значений k и р в формулу (11), определим плотность v(A).

Асимптотические плотности собственных частот трехслойных полу­ сферических оболочек, вычисленные при различных отношениях ^=R/hi и rh = 2h2/hu показаны на рис. 1. Относительное уменьшение толщины наружных слоев трехслойной оболочки, характеризуемое параметром г1и приводит к увеличению плотности собственных частот и смещению асимп­

2)(rpr„ + l )

в область более низких частот. Так, при уменьшении ги от 0,1 до 0,025 точка сгущения частот смещается от k0= 1,6265 до k0= 1,2133. Хорошо известное явление повышения плотности собственных частот однородных оболочек при уменьшении относительной толщины наблюдается и у трех­ слойных оболочек.

Влияние параметра сдвиговой податливости EJG'i на асимптотиче­ скую плотность частот трехслойных и однослойных трансверсально-изо­ тропных полусферических оболочек иллюстрирует рис. 2. Асимптотиче­ ская плотность собственных частот трехслойной оболочки с параметром E\/G'\ = 20 сравнивалась с эмпирической, которую определяли по ре­ зультатам точного решения частотного уравнения (5), сведенным в табл. 1, и группировки найденных частотных параметров по интервалам с шагом ДА = 0,1. Кратные частоты учитывались по одному разу. Хотя число частот в рассматриваемых интервалах невелико, но даже в этом случае соответствие асимптотической и эмпирической плотностей доста­ точно хорошее. Четко^ обнаруживается максимум эмпирической плот­ ности, соответствующий асимптотической точке сгущения частот.

При увеличении^частотного параметра k плотность v(k) как трехслой­ ных, так и однослойных трансверсально-изотропных сферических оболо­ чек не стремится к определенной величине, как у однородных оболочек, колебания которых описываются классической теорией или теорией, учи­ тывающей сдвиги и инерцию вращения, а начиная с некоторого значения

Рис. 1. Зависимость асимптотических плотностей собственных частот трехслойных полусферическ11х оболочек от параметров != £ //,, „ rh = 2hjh, при гр= 2; гЕ= 20; £,/G ',= 10;

^UC r»*i \ Зависимость асимптотических плотностей собственных частот трехслойных

, пЛ%0, Un трансверсально-изотропных полусферических оболочек от параметра £,/G', при 6=250; гр = 2; гк = 20, v, = 0,4; v2=0,3. / и 4, 2 н 5, 3 и 6 - £,/G', = 2,8, 20, 50

соответственно.

тых оболочек. Однако при определении собственных частот трехслойной сферической оболочки, материал внутреннего слоя которой характеризу­

сительно малых значениях E/G'<. 10 возрастание плотности частот как трехслойных, так и однослойных трансверсально-изотропных оболочек незначительно. При EJGr> 20 это возрастание становится уже сущест­ венным. Плотность частот растет с увеличением Е/G' у трехслойных обо­ лочек интенсивней, чем у однослойных. Так, у трехслойной оболочки, ко­ торой соответствует кривая 3 на рис. 2, плотность v(k) при & > 3,9 уже больше, чем в окрестностях асимптотической точки сгущения частот /г0 = 1,6265. Таким образом, необходимым условием существенного повы­ шения плотности собственных частот трехслойных, а также однослойных трансверсально-изотропных сферических оболочек при увеличении час­ тоты являются достаточно большие значения параметра £i/GV

Плотности собственных частот трехслойных и трансверсально-изо­ тропных сферических оболочек в области ниже точек сгущения частот, за исключением окрестностей этих точек, зависят от параметра EJG'i очень слабо, так что соответствующие участки кривых на рис. 2 практи­ чески сливаются. Отметим также, что асимптотические точки сгущения частот не зависят от параметра E\/G'\, как это следует из формулы (12).

Рассмотренный метод определения асимптотической плотности собст­ венных частот применим и к сферическим оболочкам, угол раствора 2а которых отличен от я. Непосредственный подсчет числа всех нулей N присоединенных функций Лежандра P?l7n(cosa) как функций от п на от­ резке \<С.п<П\ и пг = 0, 1, 2,... показывает, что если ti\ — достаточно большое число, то число нулей N = N (/гь а) может быть определено по

обобщающей формулу (10). Здесь р — постоянное для данного угла а число, не зависящее от k. Значения р, соответствующие некоторым углам а, приведены в табл. 2. При подсчете числа нулей принималось /ii = 56.

Используя зависимость числа нулей N присоединенных функций Ле­ жандра Рпт (cos а) от р = п(п+ 1), близкую к линейной, и приближенное равенство N и числа корней частотных уравнений, можно весьма просто определять асимптотические плотности v ( k ) собственных частот сфери­ ческих оболочек, у которых углы раствора 2а различны, а физические и другие геометрические параметры одинаковы. Плотности собственных частот таких оболочек отличаются в каждой точке k только постоянным

множителем. Пусть v|ft, — асимптотическая плотность частот полу­

сферической оболочки, v(&, а) — плотность частот сферической оболочки

соответствующее а в формуле (13).

1. Григолюк Э. И., Коган Ф. А. Современное состояние теории многослойных обо­

лочек. — Прикл. механика, 1972, т. 8, N° 6, с. 5—17.

2. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М., 1980. 368 с.

3.Лизарев А. Д., Ростанина Н. Б. Уравнения свободных колебаний непологих трехслойных сферических оболочек. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1978,

№4, с. 142— 148.

4.Лизарев А. Д ., Ростанина Н. Б. Свободные колебания трехслойных и транс­

версально-изотропных сферических оболочек. — Механика композитных материалов,

1980, N° 4, с. 669—675.

5. Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.

М., 1973. 170 с.

6. Методические рекомендации. Расчеты и испытания на прочность. Метод расчета собственных частот и форм колебаний трехслойных и однородных сферических оболо­ чек. М., 1981. 54 с.

7. Лизарев А. Д., Ростанина Н. Б. О собственных частотах колебаний очень тон­ ких сферических оболочек. — В кн.: Расчет пространственных конструкций, 1979, вып. 18, с. 139— 153 (М.).

8.Баскин И. Л., Лизарев А. Д., Ростанина Н. Б. Теоретическая и эмпирическая плотности собственных частот колебаний непологих сферических оболочек. — В кн.: Тр. X Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Тбилиси, 1975. Т. 2, с. 45—54.

9.Лизарев А. Д. О вычислении логарифмической производной присоединенных

функций Лежандра. — Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1973, т. 13, № 6,

с.1588—1591.

10.Таблицы присоединенных функций Лежандра. — Б-ка математ. таблиц. М., 1962, вып. 14. 322 с.

И.Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М., 1952. 476 с.

12.Болотин В. В. Общие свойства собственных частот и собственных форм упругих систем. — В кн.: Вибрации в технике, М., 1978, т. 1, с. 166—177.

13.Болотин В. В. Теория распределения собственных частот упругих тел и ее при­

менение к задачам случайных колебаний. — Прикл. механика, 1972, т. 8, N° 4, с. 3—29.

14.Асланян А. Г., Лидский В. Б. Распределение собственных частот тонких упру­ гих оболочек. М., 1974. 156 с.

15.Wilkinson J. Р. D. Modal densities of certain shallow structural elements. —

J.Acoust. Soc. Amer., 1968, vol. 43, N 2, p. 245—251.

16.Хроматов В. E., Радюхина В. В. Плотность частот собственных колебаний поло­ гих трехслойных оболочек. — В кн.: Тр. Моек, энерг. ин-та, 1980, N° 459, с. 108—113.