- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
581. |
/•(/) = | sin /|. |
582. |
/(/) = |[cos/ | |
|
|
f t ) |
|
|
|
583. |
,/ |
|
|
. . . |
|
л |
V.2Л |
зк |
'ь |
|
|
|
|
|
sin/ при 2&я</<(2&+1) я,-
/ ( 0 = | О при (2А+1)я<С/<(2£-(-2)я
(* = 0 , 1 , 2 , ...)•
584. Показать, что если / (/) === i7 (р), то
/ (О Л V ~ а) F (Р) - $ / (0 е~Р‘dt.
О
В практике операционного исчисления приходится иногда стал киваться с так называемыми обобщенными функциями *), играющими важную роль в современной математике.
Одним из представителей обобщенных функций является функция Дирака 6 (/), которая определяется так:
|
4 |
2> i & m m d i - m . |
|
|
а |
|
|
где (а, р) —любой интервал, содержащий |
точку f = 0, а / (/)—функ |
||
ция, |
непрерывная |
в точке t —0. |
б(/ —т), сосредоточенная |
, |
Аналогично |
определяется функция |
|
вточке t = т.
Втеории обобщенных функции б (0 рассматривается как произ
водная единичной функции г](0 = | ^ |
^ |
Q* |
|
||||
|
|
71'(0 = |
6(0- |
|
(9) |
||
Аналогично, при любом т - |
|
|
|
|
|||
|
|
г)7(^ т) = |
б (/ |
т). |
|
||
Заметим, |
что |
производная |
функции ц (t) |
в обычном |
смысле равна |
||
нулю для |
всех |
0,*а при |
/ = 0 не существует. |
|
|||
Справедливы формулы |
|
|
|
|
|
||
|
|
6 (0 ^ - 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
6(m) (t) = |
рт, иг — целое ^ 0; |
(Ю) |
|||
|
|
б (/ —т) |
е~Рх |
|
|
|
|
*) Строгое |
определение |
обобщенных |
функций |
см., например, |
|||
в книге: И.’ М: |
Г е л ь ф а п д |
и Г. Е. Ши л о в . Обобщенные функции |
|||||
и действия над |
ними. —М.: |
Физматгиз, |
1959. |
|
|||