то

|(3 + K S )t|-3 + K8,

1(3 —K§)i| = 3—^8,

Ln ((3 + V 8) <] = In (3 X VS)

i + 2kni,

где &=

(),

± 1 ,

±2,

Следовательно,

г =

j +

2 f e i- f

In (3 x У в)

(* = 0;

± 1 , ± 2 , ...).

Решить следующие уравнения:

73.

е~г +

1 = 0.

74.

ег + / = 0.

75.

4 cos г -f- 5 = 0.

76. sh iz — — i.

21» г2»

•••»

2Я,

О п р е д е л е н и е

1.

Комплексное

число а

называется пределом

последозсипельности

{гл},

если

для

любого положительного числа е

можно указать

такой

номер yV=

iV(e),

начиная

с которого все эле­

менты гп этой

последовательности

удовлетворяют

неравенству

|

— а 1< в

при /i^iV(e).

Последовательность

{гп},

имеющая предел а, называется сходящейся

к числу а, что записывается в виде

lim zn—a.

Т е о р е м а

1. Пос.гсдоватсльность

{zn = xn + iyn} сходится

к числу a = a +

/(i тогда и только тогда,

когда

lim х*Л = а,

lim

=

П—+СО

п —*со

О п р е д е л е н и е 2.

Последовательность

{гп}

называется огра­

ниченной, если

существует

положительное

число

М такое, что

для

всех

элементов гп этой последовательности

выполняется неравенство

\гп \ ^ М .

2.

Всякая сходящаяся последовательность ограничена,

Т е о р е м а

С в о й с т в а с х о д я щ и х с я п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й

к о м п л е к с н ы х ч и с е л

Если

lim

гп= а и

lim тп— Ь, то

1.

П-+00

. П

00

lim

(гЛ±тп) ~а ± Ь\

П-+СО

2.

lim

(глт„)= а6;

Л —►00

3.

lim

~ =

(т„ Ф О,

b ф 0) .

Л-*00 Т/1

0

Пример

1, Доказать,

что последовательность

—i

= 1, 2,

г л “

п + 1

•

имеет пределом

число а =

1.

произвольное число е > 0. Покажем,

Р е ш е н и е .

Пусть задано

что существует такой номер N,

что

| г „ — 1 | < е ,

как только

Так

как

п — 1

I v - i l -

1

И -M

УЪ

Я+1

Л+1I

п+1 ’

то

неравенство

|г д — 1 | <

е будет

выполнено,

если П+1п < е,

т. е.

при

/1

V2

в

качестве

N можно

взять

> ------- 1, Значит,

ъ

W= A f ( e ) = [ ^ - l] + l.

Здесь символ [х] означает целую часть действительного числа

П р и м е р

2.

Пусть

последовательность {гп} имеет предел а.

Доказать,

что

последовательность

{|гп |}

имеет предел, равный

|а[.

В самом деле,

так как

lim гя = а, то

Я—*>00

lim

| z„—а |= 0 .

(1)

а-*оо

место неравенство (см. стр.

12)

I I zn I

I а ! I ^ Izn 0 |*

(2)

Пусть

г„ = р„</'Ч

где

ря = |г „ |,

<p„='argz„. Тогда, если

lim р„ =

ро,

Нш <рл =

фо.

то lim

гn= p ae^^s'•.

Я — 00

/1 — 00

п —00

П р и м е р

3. Доказать,

что

lim

( l + ~ )

= e z,

где

z = x + it/>

/l-оо

\

я /

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим

Тогда

Нш |('i+-iY’|=

Иш !z „ |=

Л —00

л — 00 I \

п J

I

х2-\-у*+2хп\2

= е*.

п*

)

Так как

Ф„ = arg (l + i )

= arcfg

= arctg^

,

' П

arg z„ =

arg ^1 +

— n arg (>.+ -“ ) = « arctg ^

4

Значит,

lim

<p„ =

Нш л arctg

/1—00

/2-00

Пользуясь

достаточным условием

сходимости последовательности

комплексных чисел, получим

lim

(l +

— Г = < w Y = e* + ty _ ег

„-«Л

л /

что и требовалось

доказать.

П р и м е р

4,

Доказать, что последовательность

гп —аг6

»

п=1|2.

lim и(ху у)

и

lim

v(x, -y)r

х-*х0

X ~ * X Q

причем

IJ-+Uо

У~*У*

lim- / (z) =

lim

и (xt

z/) +

i lim

v(xy y).

2

2 Q

X - > X 0

X - * X 0

y-+y%

U-+yо

Пределы функций комплексного переменного обладают следую-

щими свойствами.

Пусть существуют пределы

lim /(г) = Л,

lim

g(z) — Bt

Тогда

2

Zo

2-+2Q

lim

[f(z) ± g(z)] = A ±

В,

Z-*o

lim

m z)g(z)] = AB,

2-*2Q

lim

A_

В Ф 0.

В

'

Z—Zo g(2)

О п р е д е л е н и е

4.

Функция

/(г),

заданная в области

D,

назы­

вается непрерывной в точке z0 e D ,

если

lim

f (г) = /(г 0).

z-+za

Иными словами:

функция f(z)

непрерывна в точке

z0,

если для

любого числа е > 0 можно указать

такое число 6 = 6 ( е ) > 0 , что для

всех

точек

z e D ,

удовлетворяющих

условию

\г — г0 \ <

б,

имеет

место

неравенство

| / (г) — / (г0) | <

в.

Для непрерывности функции комплексной переменной

f(z) = u(x, y) + iv(x,

у)

в точке zQ= xQ+ iу0 необходимо и достаточно,

чтобы ее действитель­

ная и мнимая

части,

т. е. функции

и(х, у)

и v(x, у),

были

непре­

рывны в точке (*0, у0) по совокупности переменных х и у.

О п р е д е л е н и е

5.

Функция

/ (г)

комплексного

переменного

называется непрерывной

в области D,

если она непрерывна в каждой

точке этой области.

Сумма,

разность

и

произведение двух

функций

комплексного

переменного / (г) и g(z)t

непрерывных э

области

D, также

являются

непрерывными

функциями в этой

области,

а функция

непре­

рывна в тех точках области D, где g(z)¥=0.

•

(т) непр>-

Если функция

Ну) непрерывна в точке г„, а функция

f

рывна в точке

тQ= = /( Z0),

то сложная

функция

F [f (г)]

непр р