569

темы прогнозировать, предвидеть, влиять на их развитие. Экономические системы характеризуются вероятностью структуры, функций, целей, задач, ресурсов и т. д. Это значительно повышает роль индивидуальных, творческих начал в управлении системами, роль учета тех факторов, которые делают поведение фирмы более предсказуемым.

Для построения математической модели сложных систем необходимо:

—тщательно проанализировать реальный объект, процесс или систему;

—выделить его наиболее существенные черты и свойства;

—определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;

—описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логикоматематических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкции);

—выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;

—определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математи- ческих конструкций.

Математическое моделирование, кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:

—построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;

—проверку адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;

—корректировку модели;

—использование модели.

Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:

— природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности, теории упругости и т. д.

11

— требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.

Предварительный, системный анализ исследуемой системы позволяет описать ее структуру и функционирование на языке ряда факторов (показателей, переменных). Среди этих факторов следует выделить совокупность «входных» показателей Х = {x1, …, xm}, определяющих условия функционирования объекта и его внутреннее строение, и совокупность «выходных» (результирующих) показателей Y = {y1, …, yk}, характеризующих результаты функционирования объекта (объектов), а также скрытые (не поддающиеся непосредственному измерению) случайные «остаточные» компоненты = { 1, …, r}. Изучаемая система представлена на рис. 1.

Рис. 1. Изучаемая система

Тогда задача статистического исследования зависимостей может быть сформулирована следующим образом: по результатам n измерений {Xi, Yi} = (x1i, x2i, …, xmi, y1i, y2i, …, yki),

i 1,n, исследуемых переменных построить функцию (модель) g = (x1, …, xm), которая позволит наилучшим (в определенном смысле) образом восстанавливать значения результирующих (прогнозируемых) переменных Y* по заданным значениям входных переменных Х. Через Yi* будем обозначать не «истинные», а определяемые по модели g( ) значения фактора Yi, что отражает условный характер любой математической модели.

Построение стохастической математической модели объекта (системы) может быть осуществлено различными способами. Среди них можно выделить следующие:

— естественно-научный (феноменологический) подход;

12

— подход, основанный на анализе данных.

Первый подход является традиционным путем развития соответствующей науки, путем «открытия законов природы». Этот подход трудно формализуем и сугубо индивидуален относительно исследователя и области знаний.

Второй подход основан на предварительном получении выборочных данных относительно значений факторов {X,Y}, характеризующих различные состояния объекта. На последующем этапе данные обрабатываются с целью непосредственного построения математической модели объекта. Часто оба подхода дополняют друг друга в общем процессе математического моделирования.

На этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, процесса или системы, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и сосредотачиваются в основном на изучении количественных или качественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы. Изучение данных зависимостей необходимо проводить, используя качественные или количественные шкалы.

1. Качественная шкала.

Номинальная (классификационная) шкала. Используется только для того, чтобы отнести объект к определенному классу. Например: цвет — красный, синий.

Порядковая шкала. Это номинальная шкала, в которой введена степень выраженности данного свойства, т. е. упорядочивает классы. Например: список лиц в алфавитном порядке.

2. Количественная шкала.

Интервальная шкала. Шкала, в которой можно отразить, на сколько по степени выраженности заданного свойства один объект отличается от другого. Для этого задают начальную точку отсчета и единицу измерения. Например: температурная шкала, где 0° — начальная точка, 1°— единица измерения.

13

Шкала отношений. Шкалы, в которых обычно не вводят начальную точку, но есть единица измерения. Например, временная шкала.

На количественных шкалах можно ввести арифметические преобразования и операции отношения.

Факторы (переменные) могут быть различных размерностей:

1.Скаляр. Конкретное значение Х = х.

2.Вектор. Например: фактор вес х = (2, 3, 0), где 2, 3, 0 —

реализации; х = (х1, х2, х3). 3. Матрица и т.д.

Контрольные вопросы к разделу 1

1.Понятие модели. Цели моделирования.

2.Адекватности модели. Критерии адекватности модели.

3.Классификация моделей.

4.Какой тип модели учитывает случайный характер процессов?

5.Этапы построения математической модели.

6.Подходы к построению стохастической математической модели.

7.Понятие качественной и количественной шкал.

2.СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ, СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

На практике человек часто сталкивается со случайными явлениями.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Заранее предсказать, произойдет единичное событие или нет, нельзя.

Однако достаточно большое число случайных событий, которые многократно наблюдаются при осуществлении одних и тех же условий, подчиняются определенным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей. Знание этих закономерностей позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

Система понятий, приемов и математических методов, предназначенных для сбора, систематизации, интерпретации и обработки статистических данных с целью получения научных

14

и практических выводов — это задачи математической статистики.

2.1. Случайные величины

Случайные величины делятся на:

—дискретные;

—непрерывные.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая может принять одно из конечного или счетного множества возможных значений с определенной вероятностью. Множество же возможных значений непрерывных случайных величин несчетно (например, одно из значений из некоторого конечного или бесконечного промежутка).

Вероятностный характер распределения значений случайных величин задается с помощью закона распределения.

Дискретную случайную величину можно задать:

1. Табличным способом — соответствием между возможными значениями и их вероятностями (табл. 1).

Таблица 1

Табличный способ задания дискретной случайной величины

Случайная величина может принять n значений: x1, … , xn,

n

причем выполняется условие pi 1.

i1

2.С помощью многоугольника распределения (рис. 2).

Рис. 2. Многоугольник распределения

15

3. С помощью закона распределения (функции распределения).

Непрерывную случайную величину обычно задают с помощью функции распределения или с помощью функции плотности распределения.

Функция распределения (закон распределения) F(x) — это вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x, т. е. F(x) = P(X < x), X R.

Геометрически функцию распределения можно интерпретировать так: F(x) — это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси лучом, лежащим левее точки х (рис. 3).

Рис. 3. Геометрическая интерпретация функции распределения

Свойства функции распределения:

1.F(– ) = 0; F(+ ) = 1, т.е. 0 F(x) 1.

2.x1 < x2, F(x1) F(x2), т.е. функция распределения — неубывающая функция.

3.lim F(x) F(x0) , т.е. функция распределения — не-

xx0 0

прерывная слева функция.

Если F(x) — непрерывна, то можно определить функцию

плотности распределения: f(x) dF(x) F (x), dx

f(x) lim F(x x) F(x).

x 0 x

Зная функцию плотности распределения, можно найти фун-

x

кцию распределения: F(x) f(u)du.

16

Функция плотности распределения вероятности определяет плотность вероятности в этой точке. Геометрическая интерпретация связи функции плотности вероятности и функции распределения приведена на рис. 4.

X

Рис. 4. Геометрическая интерпретация связи функции плотности вероятности и функции распределения

Свойства функции плотности распределения: 1. f(x) 0;

2. f(x)dx 1.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b] можно вычислить по формуле

b

P(a x b) f(x)dx F(b) F(a).

a

Геометрическая интерпретация вероятности попадания в интервал (a, b] — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией плотности распределения в заданном интервале (рис. 5).

X

Рис. 5. Геометрическая интерпретация вероятности попадания в интервал

17

Закон распределения двухмерной дискретной случайной величины можно задать матрицей (табл. 2).

Таблица 2

Закон распределения двухмерной случайной величины

n m

Причем имеет место pij 1. Если X и Y независимы,

i 1 j 1

то pij = pi pj.

2.2. Основные числовые характеристики

Функция распределения или плотность распределения являются полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины. Однако наиболее существенные особенности закона распределения можно выразить при помощи числовых характеристик.

1. Математическое ожидание для дискретной случайной

n

величины вычисляется по формуле M(X) xipi, а для

i 1

непрерывной случайной величины — M(X) xf(x)dx.

Математическое ожидание уже не является случайной величиной.

Отметим свойства математического ожидания: M(C) = 0,

где C = const; M(CX) = CM(X); M(X+Y) = M(X) + M(Y);

M(XY) = M(X)M(Y), X и Y независимы. Проинтерпретировать математическое ожидание можно сле-

дующим образом: математическое ожидание M(X) — как центр масс стержня, где xi — расстояние i-го кусочка стержня от центра масс, а pi — вес этого кусочка стержня.

18

2. Дисперсия определяет среднеожидаемый квадрат разброса значений случайной величины X относительно математического ожидания M(X). Дисперсию можно вычислить по

формуле D(X) = M[(X – M(X))2] = M(X2) – [M(X)]2.

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по

прерывной случайной величины —

2 D(X) (x )2f(x)dx x2f(x)dx 2.

Свойства дисперсии: D(C) = 0; D(CX) = C2D(X); D(X+Y)= = D(X) + D(Y), если X иY независимы; D(C+X) = D(X); D(X+Y) = D(X)+D(Y), если X иY независимы.

3. Среднеквадратическое отклонение вычисляется по фор-

муле D(X).

Имеет место равенство (X Y) D(X) D(Y), если X и

Y независимы.

Дисперсия D(Х) и среднеквадратичное отклонение характеризуют степень рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания. Чем меньше D(Х), тем меньше степень рассеивания случайной величины. Это утверждение наглядно представлено на рис. 6.

f(x)

M(x) x

Рис. 6. Рассеивание данных с различными значениями среднеквадратичных отклонений

Примечание. Глядя лишь на одно значение дисперсии, нельзя сказать, большое рассеивание данных относительно математического ожидания или нет. Ведь при вычислении значения дисперсии большое значение имеет, например, масштабирование данного фактора (можно измерять в тоннах или граммах), значение математического ожидания, минимальное и максимальное значения, которые может принимать фактор.

19

4. Мода — значение случайной величины Х, при котором достигается локальный максимум функции плотности распределения f(x). Иными словами, мода определяет наиболее вероятное значение случайной величины. Разные распределения могут иметь различное число локальных максимумов (рис. 7).

а)

б)

Рис. 7. Одномодальное и бимодальное распределения

5. Медиана для дискретной случайной величины — это значение фактора, которое делит ранжированный ряд наблюдений на две равные по объему группы. Ранжированный — значит упорядоченный, т.е. x1 < x2 < ... < xn. Иными словами, медиана делит выборку на две равные по объему части.

Для непрерывной случайной величины понятие медианы мож-

Рис. 8. Геометрическая интерпретация медианы для непрерывной случайной величины

20