569

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле

i 2

Критерий Дарбина—Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением d = 2(1 – r1 ).

8.5. Модели с распределенным лагом

Модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом и имеют вид:

Yt* = a + b0Xt + b1Xt–1 + … + bpXt–p + t.

Коэффициент b0 называют краткосрочным мультипликатором, и он характеризует среднее абсолютное изменение выходного фактора при изменении на одну единицу в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора X.

В момент времени (t + 1) воздействие факторной переменной Xt на результирующий фактор Yt* составляет (b0 + b1) условных единиц; в момент (t + 2) — (b0 + b1 + b2 ) и т. д. Эти суммы называют промежуточными мультипликаторами. Для максимального лага (t + p) воздействие фактора на результат описывается суммой (b0 + b1 + … + bp = b), которая называется долгосрочным мультипликатором.

Величины j = bj/b; j 0,p называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэф-

l

Величина среднего лага определяется по формуле l j j

j 0

и представляет средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t.

81

Медиальный лаг lmed характеризует период, в течение которого будет происходить изменение половины общего воздействия фактора на результат. Медиальный лаг вычисляется по

lmed

формуле j 0,5.

j 0

Оценку параметров моделей с распределенным лагом можно проводить методом Койка или методом Алмон.

В методе Койка делается предположение, что коэффициенты при лаговых значениях убывают в геометрической прогрессии bi = b0 i, i = 1, 2, …; 0 < < 1. Тогда модель преобразуется

к виду: Yt* = a + b0xt + b0 xt–1 +b0 2xt–2 + … + t. По этой модели можно найти значение параметров a, b0, и затем пара-

метры исходной модели a, b0, b1, …, bp.

В методе Алмон предполагается, что параметры модели подчинены полиномиальному распределению

ти параметры a, c0, c1, …, ck, а затем параметры исходной модели a, b0, b1, …, bp.

8.6.Авторегрессионныемодели

Модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, называются моделями авторегрессии.

Например, модель авторегрессии первого порядка выгля-

дит следующим образом: Yt* = a + b0Xt + c1Y*t–1 + t. Как и в модели с распределенным лагом, коэффициент b0 характери-

зует краткосрочное изменение Yt* под воздействием Xt на одну единицу. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежу-

82

Трендовые, модели с распределенным лагом и авторегрессионные модели обычно используются в задачах среднесрочного прогнозирования (период упреждения до пяти отчетов времени). При дальнесрочном прогнозировании используются методы экспертных оценок.

Контрольные вопросы к разделу 8

1.Понятие случайного процесса.

2.Понятие временного ряда.

3.Виды тренда временного ряда.

4.Прогнозные свойства тренда временного ряда.

5.Методы устранения тенденции при построении трендовых моделей.

6.Понятие Марковского и Гауссовского процессов.

7.Модель с распределенным лагом.

8.Какой показатель характеризует средний период, в течение которого будет происходить изменение результирующего фактора под воздействием изменения входного фактора в момент времени t в моделях с распределенным лагом?

9.Модель, зависящая от фактора и времени.

10.Авторегрессионная модель.

11.Классификация моделей на основе коэффициента автокорреляции.

12.Что называется долгосрочным мультипликатором?

13.Как вычисляется автокорреляция в остатках?

14.Какие модели используются при среднесрочном прогнозировании?

9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

При математическом моделировании транспортных, промышленных, экономических или иных систем очень часто используется терминология и аппарат теории массового обслуживания. Каждая такая система состоит из какого-то числа обслуживающих единиц, которые обычно называются каналами обслуживания. Системы обслуживания бывают как одно-, так и многоканальными.

Работа любой системы заключается в выполнении поступающего на нее потока требований или заявок. Заявки поступа-

83

ют одна за другой в некоторые случайные моменты времени. Обслуживание заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки.

Теория массового обслуживания устанавливает зависимости между характером заявок, числом каналов и успешностью их обслуживания.

В качестве оценок эффективности работы могут выступать различные характеристики: среднее время простоя системы; процент заявок, получивших отказ в немедленном обслуживании; среднее время ожидания заявки в очереди на обслуживание и другие характеристики.

Система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое, т.е. меняется число занятых каналов, число заявок в очереди и так далее. Дело в том, что часто система массового обслуживания является системой дискретного типа с конечным (счетным) множеством состояний.

Рассмотрим систему X со счетным множеством состояний x1, x2, …, xn, … . В любой момент времени t система X может быть в одном из перечисленных состояний. Пусть Pk(t) — вероятность, что в момент времени t система X будет находиться в состоянии xk. Очевидно, что для любого момента вре-

мени t выполняется следующее равенство: Pk(t) 1.

k

Случайный процесс с непрерывным временем отличается тем, что переход системы из одного состояния в другое возможен в любой момент времени t, причем число возможных состояний несчетно.

Реальные процессы, протекающие в системах массового обслуживания, являются непрерывными системами с непрерывным временем. Для системы массового обслуживания основным фактором, обслуживающим протекающие в нем процессы, являются поток заявок и поток событий.

Рассмотрим однородные события, различающиеся лишь моментами времени их появления t1, t2, …, tk, … .

Поток событий называется регулярным, если события следуют через равные промежутки времени. В дальнейшем будут рассматриваться лишь регулярные потоки.

84

Поток событий называется стационарным, если число событий на любом участке времени одинаково.

Поток называется потоком без последствий, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий на одном из них не зависит от числа событий на других участках.

Поток с ограниченным последствием называется потоком Пальма.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок t двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного из них.

Если регулярный поток событий обладает свойствами стационарности, ординарности и является потоком без последствий, то такой поток называется простейшим (или стационарным) пуассоновским потоком. Простейший поток играет среди прочих потоков особую роль, аналогичную роли нормального закона распределения.

Рассмотрим на оси времени простейший поток как непрерывную последовательность точек. Выделим произвольный участок времени длиной . Можно доказать, что число точек, попадающих на участок , распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием a = , где — плотность потока (среднее число событий, протекающих в единицу времени). Вероятность того, что за время произойдет ровно m событий,

Pm ( ) ( )m e . В частности вероятность того, что участок m!

окажется пустым (не произойдет ни одного события), вычисляется по формуле P0( ) = e– .

Важной характеристикой потока является закон распределения длины промежутка между соседними событиями.

Рассмотрим случайную величину T — промежуток времени между двумя произвольными случайными событиями. Определим функцию распределения данной случайной величины, как F(t) = P(T t). Вероятность противоположного события: 1 – F(t) = P(T > t) — это вероятность того, что, начиная с момента появления одного события, на участке t не появится ни одного из последующих событий. Поэтому вероятность

85

P(T > t) можно вычислить по формуле P0( ) = e– . Отсюда F(t) = 1 – e– t. Найдем функцию плотности распределения f(t) = e– t. Получили показательный закон распределения. Величина — параметр данного закона распределения.

Можно определить математическое ожидание случайной

1

величины T по формуле t , дисперсию — по формуле

Таким образом, если промежуток времени T распределен по показательному закону распределения, то любые сведения о том, сколько времени протекал этот промежуток времени, не влияет на закон распределения оставшегося времени.

Если поток является потоком однородных событий без последствия с переменной плотностью (t), то такой поток называется нестационарным пуассоновским потоком. Данный закон уже не будет показательным. Функция плотности f(t) будет зависеть от вида функции (t).

Кроме характеристик входного потока заявок, рассматривают еще и характеристики производительности самой системы. Одной из таких характеристик является время обслуживания одной заявки Tоб.

Функция распределения случайной величины Tоб определятся по формуле F(t) = P(Tоб t). Плотность распределения будет f(t) = F (t).

На практике особый интерес представляет случай, когда величина Tоб имеет показательное распределение, так как справедливо утверждение, что если в какой-то момент времени происходит обслуживание заявки, то закон распределения оставшегося времени обслуживания сохраняется. В этом случае плотность распределения вычисляется по формуле g(t) = e t, где — величина, обратная среднему времени обслуживания

86

Допущение о пуассоновском характере потока заявок и о показательном распределении времени обслуживания позволяет применять аппарат Марковских случайных процессов. Процесс называется Марковским, если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния в настоящий момент времени и не зависит от остальных предысторий процесса.

Системы массового обслуживания делятся на системы с отказом и системы с ожиданием. При исследовании последних часто используют формулы Эрланга, которые дают предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности системы. В частности, для одноканальной системы вероятность

чина q 1 называется относительной пропускной способ- 1

ностью системы.

Контрольные вопросы к разделу 9

1.Понятие теории массового обслуживания.

2.Оценки эффективности работы в теории массового обслуживания.

3.Понятие потока событий и времени обслуживания.

4.Марковские случайные процессы.

10. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

«Имитационное моделирование» — это двойной термин. «Имитация» и «моделирование» — синонимы. Фактически все области науки и техники являются моделями реальных процессов. Чтобы отличить математические модели друг от друга, исследователи стали давать им дополнительные названия. Термин «имитационное моделирование» означает, что мы имеем дело с такими математическими моделями, с помощью которых нельзя заранее вычислить или предсказать поведение системы, а для предсказания поведения системы необходим вычислительный эксперимент (имитация) на математической модели при заданных исходных данных.

87

Аналитически исследовать реальные (сложные) системы затруднительно. Для этих целей часто используют метод имитационного моделирования, который предполагает работу не с реальными объектом, а с его моделью. Поведение объекта рассматривается во времени. При этом используются математические модели, как правило, регрессионного типа. В процессе проведении эксперимента получается выборка случайных чисел, распределенных по тому или иному закону распределения. Вид закона и значения его параметров предварительно оцениваются с помощью методов математической статистики, рассмотренных ранее, на основе наблюдений за реальной системой массового обслуживания.

Выборка случайных чисел генерируется с помощью датчика псевдослучайных чисел. Имитационное моделирование используется для исследования динамики системы, для ее переходных характеристик. Часто мы знаем больше о поведении отдельных компонентов системы, чем о ее поведении в целом. Необходимо построить математическую модель каждой отдельной компоненты системы и составить алгоритм взаимодействия отдельных компонентов системы в процессе ее работы. Математическая модель каждой компоненты системы обычно имеет вид регрессионного уравнения или системы уравнений. Тогда имитационная модель представляет собой комплекс программ для компьютера, написанный либо на каком-то универсальном языке программирования (типа Pascal), либо на специализированном языке программирования (типа GPSS).

Основные достоинства имитационного моделирования:

—возможность описания поведения компонент (элементов) процессов или систем на высоком уровне детализации;

—отсутствие ограничений между параметрами имитационной модели и состоянием внешней среды системы;

—возможность исследования динамики взаимодействия компонент во времени и пространстве параметров системы.

Эти достоинства обеспечивают имитационному методу широкое распространение.

Рекомендуется использовать имитационное моделирование

вследующих случаях:

88

—если не существует законченной постановки задачи исследования и идет процесс познания объекта моделирования; имитационная модель служит средством изучения явления;

—если аналитические методы имеются, но математические процессы сложны и трудоемки, и имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи;

—когда кроме оценки влияния параметров (переменных) процесса или системы желательно осуществить наблюдение за поведением компонент (элементов) процесса или системы в течение определенного периода;

—когда имитационное моделирование оказывается единственным способом исследования сложной системы из-за невозможности наблюдения явлений в реальных условиях (реакции термоядерного синтеза, исследования космического пространства);

—когда необходимо контролировать протекание процессов или поведение систем путем замедления или ускорения явлений в ходе имитации;

—при подготовке специалистов новой техники, когда на имитационных моделях обеспечивается возможность приобретения навыков в эксплуатации новой техники;

—когда изучаются новые ситуации в системах; в этом случае имитация служит для проверки новых стратегий и правил проведения натурных экспериментов;

—когда особое значение имеет последовательность событий в проектируемых системах, и модель используется для предсказания узких мест в функционировании систем.

Однако имитационное моделирование наряду с достоинствами имеет и недостатки:

—разработка хорошей имитационной модели часто обходится дороже создания аналитической модели и требует больших временных затрат;

—может оказаться, что имитационная модель неточна (что бывает часто), и невозможно измерить степень этой неточности.

Зачастую исследователи обращаются к имитационной модели, не представляя тех трудностей, с которыми они встретятся, и совершают при этом ряд ошибок методологического характера.

89

И, тем не менее, имитационные модели являются одним из наиболее широко используемых методов при решении задач синтеза и анализа сложных процессов и систем.

Одним из видов имитационного моделирования является статистическое имитационное моделирование, позволяющее воспроизводить на ЭВМ функционирование сложных случайных процессов.

При исследовании сложных систем, подверженных случайным возмущениям, используются вероятностные аналитические модели и вероятностные имитационные модели.

Ввероятностных аналитических моделях влияние случайных факторов учитывается с помощью задания вероятностных характеристик случайных процессов (законы распределения вероятностей, спектральные плотности или корреляционные функции). При этом построение вероятностных аналитических моделей представляет собой сложную вычислительную задачу. Поэтому вероятностное аналитическое моделирование используют для изучения сравнительно простых систем.

Замечено, что введение случайных возмущений в имитационные модели не вносит принципиальных усложнений, поэтому исследование сложных случайных процессов проводится в настоящее время, как правило, на имитационных моделях.

Ввероятностном имитационном моделировании оперируют не характеристиками случайных процессов, а конкретными случайными числовыми значениями параметров систем. При этом результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели рассматриваемого процесса, являются случайными реализациями. Поэтому для нахождения объективных

иустойчивых характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение, с последующей статистической обработкой полученных данных. Именно поэтому исследование сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям, с помощью имитационного моделирования принято называть статистическим моделированием.

Статистическая модель случайного процесса — это алгоритм, с помощью которого имитируют работу сложной системы, подверженной случайным возмущениям; имитируют взаимодействие элементов системы, носящих вероятностный характер.

90