614
.pdf
f изм теор , |
(1.1) |
где
изм — сумма измеренных горизонтальных углов; теор — теоретическая сумма углов.
Теоретическую сумму углов разомкнутого теодолитного хода вычисляют по формуле
теор 180 n (Т40 41
Т |
43 44 |
) |
|
|
,
(1.2)
где п — число измеренных углов, не считая примычные (примычными называют углы, образованные одной из сторон хода и «твердым» направлением). В данном примере число измеренных
углов 6, примычных — 2, тогда n = 4; T40–41 и T43–44 — дирекционные углы начальной и конечной сторон хода.
Пример. Сумма измеренных |
углов изм |
равна 962°27'. |
Сумма теоретических углов теор |
= 180° 4 + (315º49' – 73°24') = |
|
– 720° + 242°25' = 962º25'. Тогда угловая невязка
fβ = 962º27' – 962º25' = +2'.
Для оценки качества измеренных углов определяют допустимость угловой невязки:
f доп
1 |
n |
1 |
6 |
2, 4
',
(1.3)
где n — число измеренных ходе.
Так как условие |
f f |
|
доп |
углов в разомкнутом теодолитном
выполняется — невязку считают
допустимой. Полученную невязку fβ распределяют поровну во все углы с обратным знаком. Поправки вводят в значения измеренных углов с округлением до десятых долей минуты. Если угловая невязка мала, а число углов велико, то она распределяется на углы, образованные короткими сторонами.
Значения поправок
записывают в гр. 2 ведомости над значе-
ниями измеренных углов. Правильность распределения
формуле
|
|
|
|
|
поправок контролируют по
f ,
т.е. –2' = +2'.
Исправленные значения горизонтальных углов
|
испр |
|
вычис-
ляют по формуле мости.
|
|
( ) |
испр |
изм |
|
и записывают в гр. 3 ведо-
Пример. 85º18' + (–1') = 85°17'.
Правильность вычислений исправленных углов контролируют по формуле
|
|
|
теор |
испр |
|
|
,
т.е. 962º25' = 962º25'.
1.2.2.2. Вычисление дирекционных углов
Исходные дирекционные углы «твердых» сторон Т40-41 и Т43-44 выписывают из прил. Б (или выдаются преподавателем) в гр. 4 ведомости (табл. 1.1) против соответствующих направлений. Дирекционный угол Т* — это горизонтальный угол, отсчитываемый от северного направления осевого меридиана или параллельной ему линии по ходу часовой стрелки до заданного направления.
По дирекционному углу начальной стороны Т40-41 и исправленным горизонтальным углам вычисляют дирекционные углы последующих сторон (пп. 41-1, 1-2, 2-3, 3-4, 4-43 и пп. 43-44) по правилу: дирекционный угол последующей стороны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180° и минус исправленный правый по ходу горизонтальный угол, заключенный между этими сторонами.
Т40-41 = 315º49' |
Т2-3 = 0º23' |
+ |
+ |
180º00' |
180º00' |
495º49' |
180º23' |
– |
– |
β41 = 230º09' |
β3 = 172º30' |
Т41-1 = 265º40' |
Т3-4 = 7º53' |
+ |
+ |
180º00' |
180º00' |
445º40' |
187º53' |
– |
– |
* Дирекционные углы изменяются от 0° до 360°. Так как Т1-2 равен 360°23', то вычитают период 360°.
– |
– |
|
β1 = 85º17' |
β4 = 94º29' |
|
|
|
|
Т1-2 = 360º23' |
Т4-43 = 93º24' |
|
– |
+ |
|
360º00' |
180º00' |
|
Т1-2 = 0º23' |
273º24' |
|
+ |
|
– |
180º00' |
β43 = 200º00' |
|
180º23' |
Т43-44 = 73º24' |
|
– |
|
|
β2 = 180º00' |
|
|
Т2-3 = 0º23' |
|
|
Если при вычислении уменьшаемое меньше вычитаемого, то к уменьшаемому прибавляют период 360°.
Удобнее вычислять дирекционные углы на калькуляторе. В этом случае столбец 5 «Румбы» не заполняют, а все угловые величины (исправленные горизонтальные углы, начальный и конечный дирекционные углы) выражают в долях градуса с точностью до 0,001. Пересчет выполняют следующим образом: число минут делят на 60 и частное от деления прибавляют к целому числу градусов [11].
Пример. 315,817° +180° – 230,150° — → считывают Т41-1 = = 265,667°;
265,667° +180° – 85,292" — → считывают Т1-2 = 0,375° и т.д.; 93,6° +180° – 200,0° — → считывают Т43-44 = 73,400° = 73°24'.
Контролем правильности вычислений дирекционных углов Т служит результат повторного получения дирекционного угла конечной стороны пп. 43-44, который взят из табл. 1.1: Т43-44 = = 73°24' = 73,400°.
1.2.2.3. Вычисление приращений координат
Приращения координат х и у определяются путем решения прямой геодезической задачи. Так как приращение — это проекция стороны на соответствующую ось координат, то используют формулы тригонометрии
х = d cos T, |
y = d sin T, |
(1.4) |
где d — горизонтальное проложение стороны хода, соответствующее данному направлению; Т — дирекционный угол этой стороны, переведенный в градусы.
Вычислив дирекционный угол в градусах, берут его функцию и умножают на длину стороны d. Согласно формулам (1.4) находят приращения координат х и у [11].
Знак приращения координат определяется расположением сторон в четвертях, т.е. тригонометрическими функциями sin и cos.
Контрольный пример. Исходные данные: Т = 265°667'; d =
= 190,16 м. Результаты вычислений: х = –14,37 м; у = –189,62 м.
Вычисленные по каждой стороне хода приращения координатх записывают в гр. 7 табл. 1.1. Аналогично вычисляют приращения координат у.
По окончании вычислений записывают суммы приращений координат х и у соответственно в гр. 7 и 8 табл. 1.1.
1.2.2.4. Вычисление линейных невязок хода
Точность полевых измерений характеризуется определением абсолютной и относительной ошибок вычисления приращений координат.
Абсолютную невязку хода fр находят по формуле
f |
|
|
f |
2 |
f |
2 |
, |
(1.5) |
|
p |
x |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
где fx , fy — невязки в приращениях координат соответственно х и у.
Относительная невязка служит критерием точности проложенного теодолитного хода, и для её нахождения сумму длин сторон Р = d делят на абсолютную невязку fр. Относительная линейная невязка — это отношение абсолютной невязки пери-
метра хода fр к периметру теодолитного хода: |
|
||||||
|
f p |
|
1 |
|
. |
(1.6) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
P |
|
P / |
f p |
|
||
Геометрическая сущность |
невязок fx, fy |
и fр показана на |
|||||
рис. 1.4 и состоит в том, что при измерении горизонтальных углов и длин сторон d допущены ошибки т и тd. Невязки fx и fy показывают отклонения вычисленных координат конечного пункта пп. 43 от их фактического (теоретического) положения соответственно по осям X и Y.
Вычисляют невязки в приращениях координат по известным формулам:
f |
|
|
x |
|
|
x |
x |
|
выч |
|
теор |
,
f |
|
|
y |
|
|
у |
y |
|
выч |
|
теор |
.
Для разомкнутого теодолитного хода:
fx xвыч (Хкон |
Хнач ) |
; |
fy yвыч (Yкон |
Yнач ) , |
|
где Хкон и Хнач — абсциссы конечной пп. 43 и начальной пп. 41 точек теодолитного хода; Yкон, Yнач — ординаты этих точек. Координаты исходных пунктов хода берут из прил. А и записывают в гр. 13 и 14 ведомости (табл. 1.1).
|
|
|
|
4 |
п.п. 43 f y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4' |
f p |
f x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3' |
п.п. 43' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2' |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
md |
|
|
|
|
|
|
1' |
п.п. 41 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
m? |
|
|
|
|
|
Рис. 1.4. Графическое изображение невязки |
|||
|
|
|
в разомкнутом теодолитном ходе |
|
||
Пример |
|
|
|
|
||
f |
х |
969,95 (3144,99 2175,19) 969,95 969,33 0,62 м; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
fу |
71,19 (2046,78 1975, 49) 71,19 71, 29 0,10 м; |
|||||
f |
р |
|
0,622 0,102 |
0,63 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления невязки периметра хода на калькуляторе записывают алгоритм:
0,62 F x 2 x → п1; 0,10 F x2 п → x 1 + F 
и считывают с индексатора 0,63 м. Вычисляют относительную ошибку периметра хода с округлением до сотен метров:
1 |
|
1 |
|
1 |
. |
|
Р / f |
1400 / 0,63 |
2225 |
||||
p |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Относительная ошибка хода fp / P должна быть
f p |
|
1 |
. |
(1.7) |
|
P |
2000 |
||||
|
|
|
Если fр /Р 1/2000, то невязки fx и fу распределяют прямо пропорционально длинам сторон с обратным знаком невязки. Исходные данные в задании подобраны так, чтобы невязка fр /P получалась допустимой. Если эта величина окажется менее 1/2000, значит, в вычислениях допущена ошибка.
Поправки приращений координат хi и уi вычисляются следующим образом:
х |
|
f |
x |
d |
; |
y |
|
f |
y |
d |
, |
(1.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
|
P |
i |
|
i |
|
P |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где di — длина стороны хода, для которой вычисляют поправку в приращения хi, yi.
Пример. Для стороны пп. 41–1:
0,62 : 1401 = х – п1 190 = → считывают поправку δх1 = –0,08 м. Для стороны 1–2:
п→ х1 341 = → считать поправку δх2 = –0,15 м. Для стороны 2–3:
п– х1 328 = → считать поправку δх3 = –0,15 м и т.д.
По этому алгоритму вычисляют поправки δyi приращений координат ói .
Значения поправок записывают в гр. 9 и 10 табл. 1.1 с точностью до 0,01 м против соответствующих приращений координат.
При правильном вычислении поправок х и у их сумма должна равняться невязке с обратным знаком, т.е.
|
i |
x |
|
|
i |
y |
|
|
х |
f |
; |
|
y |
f |
. |
Исправленные приращения координат вычисляют по формулам:
х |
х |
( х), |
ó |
ó |
( ó). |
испр |
выч |
|
èñï ð |
âû ÷ |
|
(1.9)
Значения исправленных приращений записывают в гр. 11 и 12 ведомости (табл. 1.1).
Вычисления контролируют формулами:
|
х |
|
|
х |
, |
|
у |
|
|
у . |
испр |
|
теор |
|
испр |
|
теор |
1.2.2.5. Вычисление координат вершин хода
Координаты (X и Y) точек 1, 2, 3, 4 хода вычисляют по следующему правилу: координата последующей точки равна координате предыдущей плюс алгебраически исправленное приращение координат между этими точками, т.е. с учетом знаков:
Х |
i 1 |
X |
i |
x , |
Y |
Y y . |
|
|
|
i |
i 1 |
i |
i |
||
Пример. Абсцисса и ордината точки 1 будут равны:
Х1 = 2175,19 – 14,45 = 2160,74 м, Y1 = 1975,49 – 189,61 = 1785,88 м;
для точки 2 Х2= 2160,74 + 341,34 = 2502,08 м,
Y2 = 1785,88 + 2,31 = 1788,19 м и т.д.
Данные заносят в гр. 13 и 14 табл. 1.1.
(1.10)
Контролем правильности вычислений является получение координат конечной точки пп. 43,
т.е. Х43 = 3144,52 м, Y43 = 2040,78 м.
Современные методы математической обработки геодезических измерений позволяют, используя программное обеспечение компьютера, автоматизировать процесс вычисления координат точек. Результатом обработки полевых наблюдений на компьютере является ведомость. Её образец приведен в табл. 1.2.
Таблица 1.2