632

(3.27)

Значенияэтойфункцииприведены вомногихматематических справочниках. Площадь под кривой (x) в пределах < x < равна 1.

Интегральная функция

(3.28)

которая является функцией нормального распределения, также протабулирована и ею удобно пользоваться при расчетах.

ЗначенияфункцииF0(x),приведенныевтаблицах(табл. Ж1), даются обычно при x 0.Еслиоказывается отрицательным, надо воспользоваться формулами

F0(–x) = 1 – F0(x); (–x) = (x). (3.29)

Обратный переход от центрированной и нормированной функции к исходной делается по формулам:

(3.30)

(3.31)

Иногда пользуются нормированной функцией 0(x) с другими пределами интегрирования, определяемой выражением

(3.32)

и называемой нормированной функцией Лапласа. Очевидно, что для x 0

Приэтомследует учитывать,чтофункция 0(x)нечетная,т.е.

0(–x) = – 0(x).

Эксплуатировать конструкции пути до полного отказа всех элементов невозможно, поэтому для определения параметров распределения используют усеченные выборки.

В случае усеченной выборки, когда в результате испытаний объектовполученыRвозрастающихзначенийнаработки(R < N0)

91

дляотказавшихобъектовt1,t2,…,tr,аN0–r объектовпоистечении некоторого времени t0 tr остались исправными, параметры Tcp и t можно оценить по методу квантилей следующим образом.

Квантиль порядка P есть такое значение UP случайной величины x, для которой

F0(x) = F0(UP) = P (0 < P < 1).

ЗначенияфункцийF0(UP)= Pисоответствующие ейзначения UP можно найти в специальных таблицах нормального распределения (табл. Ж2).

Индекс означает «вероятность» и в таблицах квантилей задается в пределах 0,5 P 1, если P 0,5, то определяют 1 – P, т.е.

U1–P = –UP и t1–P = Tcp – UP t.

Считаем, что за время ti вероятность выхода из строя испытываемых объектов составляет

(3.35)

Для этой вероятности (частости) определяем квантили UP по табл. Ж2 и составляем R уравнений:

(3.36)

Полученную систему уравнений решаем по методу наименьших квадратов, для чего умножим левые части каждого из уравнений системы на UP1, UP2, ..., UPr соответственно и все R уравнений сложим, в результате получим первое, так называемое, нормальное уравнение

(3.37)

Второе нормальное уравнение получим суммированием уравнений системы (3.36)

(3.38)

92

Уравнения (3.37) и (3.38) решаем относительно неизвестных Tcp и t, и находим, таким образом, их оценки.

3.4. Оценка и прогнозирование надежности рельсов

Технический прогресс на железнодорожном транспорте тесно связан с повышением эксплуатационной надежности основных элементовверхнегостроенияпути—железнодорожныхрельсов. Их недостаточная работоспособность требует частой замены и ремонта, вызывает задержки в движении поездов, создает значительные организационные трудности. Для обеспечения безопасности движения и повышения рентабельности перевозок необходимо исключить внезапные отказы в виде аварийно опасных изломов рельсов, максимально повысить износостойкость контактирующих поверхностей. Созданиерельсов, полностью удовлетворяющихсовременнымтребованиямжелезнодорожноготранспорта, составляет основу этой проблемы.

Уже сегодня объем грузовых перевозок превышает 1,4 млрд

тв год, ак 2030 г. грузооборот увеличится в 1,7 раза, что требует значительного повышения ресурсарельсов. Если сегодня ресурс рельсов отечественного производства, уложенных на прямых участкахпути,составляет600–800млнтбр.,товновыхусловиях эксплуатации он должен быть повышен до 1500 млн т бр. Если сегодняресурсрельсов,уложенных впологихкривых,составляет 300–500 млн т бр., то его необходимо повышать до 1000 млн

тбр. И наконец, в крутых кривых ресурс рельсов должен быть повышен со 150–250 до 500 млн т бр. [11, 14].

Стратегические ориентиры в пассажирских перевозках обусловливают необходимость значительного увеличения маршрутной скорости движения пассажирских поездов во многих регионах России и сооружения высокоскоростных линий. Это требует от металлургической промышленности освоения производства рельсов,по которым можно ездить соскоростями 250–350км/ч. При этом для уменьшения числа сварных швов необходимо перейти от использования рельсов длиной 25 м к рельсам длиной 50–100м. Этопозволит в2–4 разасократить количествосварных стыковвбесстыковом пути, чтозаметноповыситего надежность. Кмоменту,когдаметаллургиосвоятпроизводство50–100-метро- вых рельсов, на железных дорогах нужно решить вопросы их

93

транспортировки, разгрузки, переоборудовать рельсосварочные поезда для сварки рельсов такой длины. Экономическая эффективность этих мероприятий подтверждена расчетами.

Для эксплуатации главного пути без массовых ограничений скорости необходимо, чтобы доля лежащих в пути дефектных рельсов и стрелочных переводов не превышала 1 %, а деревянных шпал и брусьев — 5 %. В настоящее время по рельсам этот параметр превышен на 0,14 %, по стрелочным переводам на 7,8 %, по деревянным шпалам и брусьям — на 6,8 и 3,2 % соответственно.

Для оценки надежности рельсов необходимы сведения об их отказах с момента укладки в путь. Такие данные можно взять из ведомостей учета рельсов, снятых с главных путей по изломам, порокам и повреждениям (ПУ-4) и рельсо-шпало-балластных карт.

Данныеоботказахрельсов,включаемыхводнусовокупность, должны отвечать набору определяющих признаков: по типу рельсов (с учетом термообработки), роду шпал, балласта, плана и профиля пути, а также грузонапряженности, осевым нагрузкам, скоростям движения и др. Длина анализируемого участка пути определяется необходимой точностью получения показателей надежности рельсов. При планировании статистического эксперимента необходимо предусматривать объем выборки не менее 800 рельсов, т.е. длина анализируемого участка с однотипным верхним строением пути должна быть не менее 10 км. Из многочисленныхнаблюденийизвестно,чтосростомпропущенного тоннажа интенсивность отказов рельсов увеличивается [11, 14].

Поэтому используется нормальное распределение. Плотность распределения отказов рельсов задается уравнением (3.25), а интегральная функция распределения — уравнением (3.28).

Определение параметров нормального распределения. Нор-

мальное распределение является двухпараметрическим: заданием параметров Tcp и t, полностью определяется распределение.

Данные об отказах рельсов на некотором участке пути представляют собой вариационный ряд случайных чисел наработки до отказа (табл. 3.1).

94

Таблица 3.1

Параметры отказов рельсов

использованиемспециальныхтаблиц.Используяданныетабл. Ж1 и Ж2, запишем для каждой наработки уравнения (3.36)

Tcp – 2,49 t = 200 млн т брутто; Tcp – 2,25 t = 400 млн т брутто; Tcp – 2,06 t = 600 млн т брутто; Tcp – 1,94 t = 800 млн т брутто; Tcp – 1,70 t = 1000 млн т брутто; Tcp – 1,48 t = 1200 млн т брутто.

Складывая левые и правые части уравнений, получим

6Tcp – 11,92 t = 4200 млн т брутто.

Умножая левые и правые части уравнений на квантили UPi и аналогично складывая, найдем

11,92Tcp – 24,34 t = 7762 млн т.

Значения параметров Tcp и t определим, решая систему полученных двух уравнений. Для рассматриваемого случая

Tcp = 2452 млн т, t = 882 млн т.

Оценка доверительных границ (95 %) найденных значений

95

(3.42)

где k — коэффициент усечения выборки

(3.43)

f2(k) и f3(k) — вспомогательные функции, определяемые по табл. Ж3; n — количество обследуемых рельсов на данном участке.

Вкачестве примера вычислим для найденных параметров Tcp

иt доверительные интервалы. Для этого, прежде всего, находится коэффициент усечения

Потабл.П.7.3дляk=1,4находимf2(1,4)=24,89;f3(1,4) = 9,44.

Тогда

млн т;

млн т.

Используя формулы (3.39) и (3.40), найдем 95 %-е доверительные интервалы

Tcp(max/min) = 2452 ± 140 = 2592…2312 млн т;t(max/min) = 882 ± 85,7 = 967,7…796,3 млн т.

Прогнозирование отказов рельсов. Совершенствование пла-

нирования ремонтов пути, управления запасами рельсов для одиночной смены и планирования проверок состояния рельсов средствами дефектоскопии диктует необходимость разработки методов прогнозирования отказов рельсов на основе апостериорной информации. Использование ЭВМ в практике эксплуатации путиобусловливаетповышенный интересспециалистовкорганизации эксплуатации рельсов по состоянию, так как ЭВМ позволяет обработать в короткие сроки большие массивы информации об отказах рельсов ивычислить прогнозы возможного состояния их в будущем.

96

Рассмотрим методику прогнозирования отказов с использованием моделинормальногораспределениядолговечности.Данное распределение полностью определяется заданием двух параметров — Tcp и t. При прогнозировании необходимо решить задачу: по известным оценкам Tcp и t вычислить точечный прогноз вероятности отказов рельсов F(ti) при наработке ti.

Последовательность вычислений следующая. Определяем квантиль нормального распределения, соответствующий вероятности F(ti) по формуле

(3.44)

Зная квантиль UPi, определяем вероятность F(ti) с использованиемтабулированнойфункцииF0(x),приведеннойвтабл.Ж1. Оценку суммарного выходарельсовиз расчета на один километр пути определим по формуле

n(ti) = 80F(ti), (3.45)

где 80 — количество рельсов длиной 25 м на одном километре пути.

Точность и достоверность прогноза зависит от соотношения основания прогноза или ретроспективного периода и глубины прогноза или периода упреждения

(3.46)

где ty — период упреждения; tp — величина ретроспективного периода.

Обычно, чем больше, тем менее достоверны результаты прогнозирования.

Для оценки точности выполним прогноз отказов рельсов с использованием названных выше моделей на примере выборки из табл. 3.1. Разделим выборку на обучающие и контрольные последовательности следующим образом. Если обучающая последовательность составлена при наработках 200 и 400 млн т брутто (см. табл. 3.1), то контрольная — при 600 млн т брутто и более, а если обучающая последовательность составлена при наработках 200, 400 и 600 млн т брутто, то контрольная — при 800 млн т брутто и более.

97

Последовательность расчетов следующая. На основании выборки,например, при 200и 400 млн тбрутто выполняетсяоценка параметров Tcp и t. Далее с использованием зависимостей (3.44) и(3.45)вычисляетсяпрогнозn(t)принаработках600и800млн т брутто иболее.Относительнаяошибкапрогнозаопределяетсяпо формуле

(3.47)

где nп и nф — прогнозируемое и фактическое значения выхода рельсов, шт./км.

Результаты расчетов относительной ошибки прогноза для каждой модели представлены в табл. 3.2.

Из табл. 3.2 видно, что при нормальном распределении среднее значение E в первом случае прогноза равно 14,6 %, а во втором — 10,2 %.

Вряде случаевбываетнеобходимымрешить задачу,обратную приведенным примерам, а именно: по заданной вероятности отказа определить значения соответствующей ей наработки. Пусть задано F(t) = F(tP). Этой функции соответствует норми-

рованная функция F0(x) = F0(UP), при этом t = tP и x = UP. Применительно к данному случаю квантиль UP соответствует

наработке, при которой будет иметь место заданная вероятность отказа. Значения функции F0(UP) и соответствующие ей значения UP можно найти в специальных таблицах (см. табл. Ж2).

98

Пример 1.В условияхпредыдущего примера(Tcp = 2452млн т брутто и t = 882 млн т брутто) найти наработку ti, при которой вероятность отказа F(ti) = Pi = 0,05.

Решение. Для F(ti) = Pi = 0,05 в табл. Ж2 нет соответствующего значения UP. Найдем

1 – Pi = 0,95, U1–P = 1,645,

ti = Tcp – 1,645 t = 2452 – 1б645∙882 = 1001 млн т брутто.

F(1001) = 0,05 соответствует отказу 4 рельсов на километр

Пример. Рельсы Р65, термоупрочненные эксплуатировались научасткесосевыминагрузкамиподвижногосоставаPсp = 160 кН, средневзвешенным радиусом кривых Rcp = 1000 м. По результатам статистической обработки данных о выходе рельсов получены параметры нормального распределения их наработки: Tcp1 = 1260 млн т и t1 = 450 млн т. После пропуска нормативного тоннажа (600 млн т) рельсы отремонтированы с репрофилированиемголовкиипереложены научасток сPcp =105кН иRcp =1200 м.

Требуется определить предстоящий срок их службы в новых условиях до отказа 8 рельсов на километр.

Для решения этой задачи нужно определить параметры нор-

щий влияние осевых нагрузок на срок службы рельсов;

—коэффициент,учитывающий

влияние кривизны пути на срок службы рельсов; KK — коэффициент, учитывающий качество отремонтированных рельсов.

В рассматриваемом случае

Тср2 = 1260∙1,4∙1,11∙0,8 = 1566 млн т;t2 = 450∙1,4∙1,11∙0,8 = 564 млн т.

Квантиль нормального распределения, соответствующий вероятности отказа 8/80 = 0,1 равен U0,1 = 1,282.

Предстоящая наработка рельсов в новых условиях составит

99

tP = 1566 – 1,282∙564 = 843 млн т.

3.5.Оценка надежности рельсовых скреплений

Внастоящее время одной из актуальнейших задач, стоящих перед железными дорогами России, является необходимость разработки ресурсосберегающих технологий ведения путевого хозяйства. Одним из способов решения этой задачи является расширение полигона бесстыкового пути на железобетонном подрельсовом основании. Применение таких конструкций с упругими скреплениями и рельсовыми плетями длиной до перегона обеспечит долговременную стабильность пути и увеличение межремонтного тоннажа до 1 млрд т бр. груза.

Протяженность бесстыкового пути на 01.01.2008 г. составила 66,7 тыс. км, что соответствует 53,9 % от длины главных путей. Ежегодные темпы прироста бесстыкового пути в среднем достигают 3,2–3,3 тыс. км и к 2010 г. длина бесстыкового пути должна быть 75,3 тыс. км или 61 % от всего протяжения главных путей.

На участках бесстыкового пути применяют серийные рельсовые скрепления трех типов: раздельное подкладочное КБ-65 — 89 % протяженности, бесподкладочное ЖБР-65 — 8 %, безболтовое бесподкладочное — 3 %. Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением

(3.50)

где N0 — число объектов в начале испытаний; N(ti) — число безотказно проработавших объектов к моменту наработки ti.

На практике иногда более удобной характеристикой является функция ненадежности F(t)

F(t) = 1 – p(t) = P(T < t). (3.51)

Она характеризует вероятность отказа объекта на интервале (0; t). Функция ненадежности является функцией распределения случайной величины T; эта функция в теории вероятностей обозначается F(t).

Вероятность отказа по статистическим данным

(3.52)

где r(ti) — число отказавших объектов к моменту наработки ti.

100