КОНСПЕКТ ПтаОІТС

одного з ресурсів призводить до зменшення або збільшення витрати інших видів ресурсів. У математичній моделі процесу ці взаємозв'язки описуються у формі системи рівнянь чи нерівностей.

Ліва частина кожного рівняння є функцією, що описує залежність величини витрати якогось одного ресурсу від зміни інших параметрів процесу.

Права частина рівняння – величина постійна, що визначає запас цього ресурсу.

Дескриптивна модель транспортного процесу - (англ.de scription – опис)

– являє собою систему рівнянь, описують взаємозв'язки між величинами витрати різних ресурсів, що витрачаються під час здійснення цього процесу. Рішенням дескриптивної моделі є безліч значень, що визначають величини витрати кожного ресурсу, причому ці значення не перевищують заданої величини запасу по кожному виду ресурсу. Дескриптивна модель не дозволяє визначити найкращий план використання ресурсів, при якому досягається найкраще значення критерію оптимальності транспортного процесу. Для вирішення цього завдання застосовуються оптимізаційні моделі.

Для визначення оптимального поєднання кількості витратних ресурсів необхідно використовувати критерій оптимальності, величина якого залежить від кількості ресурсів кожного виду, що витрачаються.

Математичний опис цієї залежності у вигляді функції називається

цільовою функцією моделі.

Оптимізаційна модель є сукупністю цільової функції та системи обмежень, що накладаються на змінні цільової функції.

Рішенням оптимізаційної моделі є безліч значень, що визначають величини витрати кожного ресурсу, при яких досягається оптимальне (мінімальне або максимальне) значення цільової функції, за умови неперевищення заданих величин запасів за кожним видом ресурсів.

Оскільки реальні транспортні процеси можуть описуватися з різним ступенем деталізації, враховувати витрату особистого виду ресурсів і різні види взаємозв'язків між величинами витрати, то для їх оптимізації та управління використовуються різні види математичних моделей. Оптимізаційні моделі класифікують за такими ознаками.

За характером цільової функції та рівнянь, що входять до системи обмежень, розрізняють лінійні та нелінійні моделі.

Лінійні моделі описують лінійні, пропорційні залежності між параметрами процесу. У нелінійних моделях ці ліва функція або обмеження, а іноді те й інше відображені в нелінійній формі, тобто змінні у відповідні вирази входять зі ступенем відмінним від +1.

Залежно від ступеня важливості випадкових факторів, що впливають на протікання транспортного процесу, розрізняють детерміновані та імовірнісні (стохастичні) моделі. У детермінованих моделях припускають, що всі умови транспортного процесу заздалегідь точно відомі і ніяких непередбачених відхилень не відбудеться, тобто нехтують впливом усіх випадкових факторів на процес, що оптимізується.

У імовірнісних моделях враховують випадкові фактори і знаходять оптимальне рішення з урахуванням їх дії. Кожною вхідною у модель змінної приписується не одне якесь число, а вказуються лише ймовірнісний закон розподілу її значення та характеристики такого розподілу (математичне очікування, дисперсія тощо).

Залежно від етапності прийнятих рішень з управління транспортним процесом розрізняють статичні (одно етапні) та динамічні (багатоетапні) моделі.

Статичні моделі описують один етап транспортного процесу та дозволяють прийняти одноразове оптимальне рішення щодо дій з управління процесом. Динамічні моделі описують транспортний процес у динаміці, враховують зміну параметрів процесів та обмежень, що накладаються на ці параметри. Динамічні моделі дозволяють знайти оптимальну послідовність взаємопов'язаних дій на ряді етапівЗалежно від характеру системи обмежень виділяють моделі загального та спеціального виду. Модель загального вигляду характеризується довільною системою обмежень, до кожного рівняння якої можуть входити всі змінні моделі з різними коефіцієнтами.

Спеціальні моделі відрізняються спрощеною системою обмежень, кожне рівняння якої може входити строго певна кількість змінних з одиничними або однаковими коефіцієнтами.

Характер конкретної оптимізаційної моделі визначається усіма чотирма класифікаційними ознаками, наприклад, вона може бути одночасно детермінованою статичною лінійною та спеціальною (транспортною).

Математичні методи оптимізації засновані на застосуванні теорії математичного програмування. Ці методи дозволяють скласти програму (план), що забезпечує оптимальне використання ресурсів. Обов'язковою умовою при цьому є наявність декількох альтернативних рішень задачі, яких вибирається найкращий варіант.

Основним методом пошуку екстремуму нелінійної цільової функції в області, заданої нелінійними рівняннями, є диференціювання з наступним розв'язком системи диференціальних рівнянь. Такий метод застосовується, якщо цільова і обмежуючі її функції є опуклими, при невипуклих функціях нелінійної моделі застосовують різні наближені та евристичні методи.

Оскільки лінійні функції не диференційовані, то для рішення лінійних оптимізаційних моделей застосовують методи лінійного програмування, засновані на теорії опуклих множин і лінійних нерівностей, а також поняттях лінійної алгебри.Сутність методів лінійного програмування полягає в тому, що за певними правилами вибирається початковий варіант рішення, який потім з кожним наступним кроком покращується, внаслідок чого виходить найкраще за критерієм оптимальності рішення, що забезпечує максимум чи мінімум цільової функції.

Методи нелінійного та лінійного програмування є універсальними. Їхня універсальність полягає в тому, що з їх допомогою можна знайти оптимальне рішення будь-якої математичної моделі. До універсальних методів оптимізації також належать комбінаторні методи. Сутність цих методів полягає у повному

або частковому переборі можливих варіантів рішення математичної моделі до тих пір, поки не буде отримано оптимальне рішення або рішення, близьке до оптимального.

Поняття математичної моделі використовується у процесі опису реального транспортного процесу. Після побудови моделі, для пошуку її рішень використовуються методи лінійного, нелінійного або динамічного програмування, для яких змістовний зміст змінних та функціональних зв'язків моделі не має значення, але важливо, щоб модель була записана математично коректно. Тому в термінах лінійного, не лінійного та динамічного програмування поняття «модель» часто замінюється терміном "завдання".

В оптимізаційних задачах визначається екстремальне (мінімальне або максимальне) значення цільової функції при виконанні умов, заданих системою рівнянь або нерівностей.

Методика математичного моделювання транспортного процесу складається з наступної послідовності дій:

1)вибір факторів (змінних) моделі, зміна яких надає найбільший вплив на досліджуваний або керований транспортний процес;

2)виявлення найбільш суттєвих обмежень, яким має задовольняти транспортний процес. Математичний опис цих обмежень у вигляді функціональних залежностей від зміни значень змінних моделі. Спільність цих залежностей утворює систему обмежень математичної моделі;

3)визначення кількісних значень кожного виду обмежень, наприклад розмірів запасів ресурсів, необхідних для реалізації транспортного процесу;

4)вибір мети транспортного процесу – критерію його ефективності;

5)визначення функціональної залежності критерію ефективності транспортного процесу від зміни його параметрів (змінних моделі);

6)спрощення отриманої математичної моделі;

7)вибір відповідного обчислювального методу рішення, який забезпечує знаходження оптимального рішення за найменша кількість ітерацій. Вибір методу визначається видом математичної моделі.

Нагадаємо, що для вирішення дескриптивних моделей застосовують методи розв'язання систем лінійних рівнянь, наприклад, метод Гаусса. Для рішення лінійних оптимізаційних моделей із 2–3 змінними застосовують графоаналітичний метод. Для математичних моделей, які можна представити

уформі загального завдання лінійного програмування, використовують універсальний симплексний метод. Для інших типів моделей застосовують спеціальні оптимізаційні методи;

8)оцінка адекватності моделі реальному транспортному процесу та коригування моделі (верифікація моделі);

9)виконання розрахунків на моделі, дослідження моделі та застосування результатів розрахунків для управління транспортним процесом.

8.1 Методика розробки маршрутів та складання графіків доставки вантажів

Планування перевізного процесу

Маршрутизація вантажопотоків у транспортній логістиці дозволяє визначати обсяги перевезень вантажів із постачальницько-збутових підприємств, кількість автомобілів, необхідних для здійснення перевезень, сприяє ефективному використанню рухомого складу.

У разі здійснення перевезень за годинними графіками маршрутизація дає можливість контролювати терміни доставки, здійснювати доставку точно в строк, знижувати час простою транспортних засобів та зменшувати витрати на зберігання запасів на складі.

При плануванні перевезень та складанні маршрутів широко використовуються математичні методи та інформаційні технології.

Сьогодні на ринку можна зустріти безліч різних програм, що полегшують планування маршрутів, але всі вони діють на основі існуючих математичних методів, отже, саме їх розвитку необхідно приділяти пріоритетну увагу.

При плануванні вантажопотоків на сьогоднішній день необхідно враховувати безліч різних випадкових факторів. Наприклад, для великих міст і мегаполісів істотним є поточний стан транспортних потоків і залежна від них кількість і протяжність транспортних заторів - теж випадкових явищ.

Також суттєвим є той факт, що значну частину вантажообігу становлять перевезення дрібнопартійних вантажів, що перевозяться або по маятникових, або за розвізними маршрутами.

Таким чином, можна раціонально виділити 3 основні схеми перевізного процесу (табл. 1). Тоді планування перевізного процесу та складання маршрутів руху можна представити у вигляді алгоритму, що складається із трьох етапів (табл. 8.1).

Таблиця 8.1 - Схеми організації перевізного процесу

«Багато до багатьох»

Етап збору та аналізу даних є одним з найбільш важливих, так як від якості опрацювання інформації на даному етапі безпосередньо залежить якість виконання наступних.

Вихідною інформацією тут є параметри транспортної мережі, за якою відбувається доставка вантажу, та характеристики самого вантажу.

Для подальшого застосування математичних методів доцільно розбити цей етап на кілька підпунктів:

моделювання транспортної мережі (є вихідною транспортної мережі як графа);

обчислення найкоротших відстаней, які виступають основними вихідними даними при оплаті клієнтами транспортних послуг, для

визначення вантажообігу, обліку витрати пального, розрахунку заробітної плати водіїв тощо.

Подібний підхід дає можливість надалі поставити транспортне завдання для знаходження оптимального плану поставок або інше завдання маршрутизації.

Моделювання транспортних мереж

Структурний аналіз системи без врахування властивостей зв’язків між елементами системи та елементами і зовнішньою середою має місце в умовах мінімуму апріорної інформації про досліджуваний об’єкт.

Враховується тільки факт наявності зв’язку між елементами і спрямованість цього зв’язку.

Але дослідження транспортних систем на сьогодні відбувається в умовах великої кількості апріорної інформації, яку здобувають за допомогою супутникового зв’язку із використанням різноманітних датчиків, що встановлені на дорогах та транспортних засобах. Тому для дослідження транспортних систем структурний аналіз має досить обмежене застосування. Як приклад, він може бути використаний для оптимізації дорожніх (маршрутних) зв’язків між об’єктами, що розташовані, приблизно, на однаковій відстані один від одного із однаковими умовами дорожнього руху між ними.

У випадку, коли за умови опису структур систем враховується тільки факт наявності зв’язку між елементами і спрямованість цього зв’язку, зручно використовувати теорію графів.

Модель такої мережі може бути подана у вигляді графа (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Модель транспортної мережі:

цифри у кружечках – номери вершин графа; цифри на ребрах (дугах) – відстані між вершинами графа

Граф – це фігура, що складається з точок (вершин) та відрізків (ребер), що їх з'єднують. Ребра характеризуються числами, які можуть мати різний фізичний зміст. Графи, що складаються з ребер, називають неорієнтованими (рис.8.2,а), а з дуг (рис.8.2,б) – орієнтованими.

Рис.8.2 Опис структури системи у вигляді графа: а – неорієнтованого; б – орієнтованого

Як видно із рис. 8.2 б, ребра орієнтовані за напрямом. Такі ребра називаються дугами. Фактично всяке неорієнтоване ребро включає дві рівноцінні, але протилежно спрямовані дуги. Залежно від того, всі або частина ребер мають напрямок, граф є орієнтованим чи змішаним.

Існує три способи завдання графа: графічний, матричний та множинний. Графічний спосіб передбачає завдання графа у вигляді кіл (вершин) та

ліній (ребер або дуг), що з’єднують кола у певній послідовності згідно із структурою системи (дивись рис.8.2). Цей спосіб найбільш наочний, але він не може бути використаний при аналізі структури системи на електроннообчислювальній машині (ЕОМ).

У випадку матричного завдання графа визначається матриця суміжності, елементи якої характеризують зв’язок між вершинами графа.

Для неорієнтованого графа матриця суміжності формується за наступними правилами:

де,

У випадку множинного способу завдання для графа G(N) задається безліч вершин N та відповідність G, що показує, як вони між собою зв’язані. Відповідність G(i) показує безліч вершин, у які можливо потрапити з i.

Для графа на рис.2,б: G(1)=(2); G(2)=(3,4); G(3)=(1); G(4)=(1).

Граф, кожна вершина якого може бути з'єднана деякою послідовністю ребер з будь-якою іншою його вершиною, називається зв'язковим графом.

З цього визначення випливає, що кожна вершина зв'язкового графа повинна мати як мінімум одну вхідну та одну, що виходить дугу.

Граф, що моделює транспортну мережу, обов'язково має бути зв'язковим, щоб завжди був шлях із будь-якої вершини до будь-якої іншої.

Числа, що характеризують ребра такого графа, виражають протяжність шляху, час чи вартість проїзду.

Граф буває змішаним, оскільки у міських умовах на деяких вулицях наприклад, встановлений односторонній рух.

Обчислення найкоротших відстаней

Нехай задана деяка мережа, кожній орієнтованій дузі якої відповідає певну відстань. Необхідно знайти найкоротший шлях від початкової вершини до кінцевої вершини vt . Передбачається, що граф є зв'язковим, тобто вершина vt потенційно досяжна з vs.

Відома величина cij, яка визначає відстань від i-го вузла мережі до її j-го вузла. Величина cij може вимірюватися в одиницях, відмінних від одиниць довжини. Так, наприклад, cij може являти собою вартість проїзду від i-го до j- го вузла мережі. Тоді завдання полягатиме у відшуканні шляху мінімальної вартості.

Існують мережі, що містять цикли, кожен з яких являє собою замкнутий шлях (шлях, що виходить з деякого вузла мережі і що повертається до нього ж). Як правило, значення cij позитивні та загальна довжина циклу є позитивною. Отже, рішення задачі вибору найкоротшого шляху не може містити цикли.

Введемо на розгляд наступні булеви змінні хij, які інтерпретуються в такий спосіб.

Змінна xij = 1, якщо дуга входить у шуканий маршрут мінімальної довжини, і xij = 0 в іншому випадку тобто, якщо дуга не входить до оптимального маршруту.

Для вирішення завдання знаходження маршруту доставки шляхом вибору найкращих логістичних операцій, використаємо завдання лінійного програмування про "найкоротший шлях".

За умови внесення модифікацій вона може бути зведена до мережевої постановки.

Модифікація полягає в наступному:

Змінну xік, що традиційно описує величину потоку, представимо як ділянку мережі, що виходить з вузла і входить у вузол к. В результаті рішення задачі будуть визначені ділянки мережі, з яких складається оптимальний маршрут.

Змінні xік, що раніше приймали тільки позитивні значення, пропонуємо

вважати булевими, тобто що набувають значення 0 або 1: . Якщо xік=1, відповідна ділянка мережі входить у формування маршруту,

якщо xік= 0, - ділянка не входить в маршрут.

Модель лінійного програмування для завдання про найкоротший шлях будується таким чином.

1.Кожна змінна xік що описує вартісні (тимчасові) витрати при переміщенні від і-го до к-го вузла і відповідає дузі.

2.Кожне обмеження відповідає вузлу (проміжному пункту або логістичній операції).

Пояснимо сенс цільової функції і обмежень:

(1.1) - цільова функція, що мінімізує витрати при формуванні маршруту; (1.2) - вимога, щоб шуканий шлях починався у вершині 1;

(1.3) - вимога щоб шуканий шлях закінчувався у вершині n;

(1.4) - вимога, щоб шуканий шлях був пов'язаним, тобто проходив через вершини графа;

(1.5) - вимога, щоб усі змінні моделі були булеві.

Помітимо, що представлена модель дозволяє досліджувати транспортну мережу на предмет побудови маршруту як за критерієм мінімізації загальних вартісних витрат, так і мінімізації часу, шляхом заміни в цільовій функції

коефіцієнтів, що характеризують час доставки на відповідних дугах. При цьому будуть отримані маршрути, що відрізняються видом транспорту, використовуваного для доставки і, відповідно, логістичними операціями. Ще однією перевагою застосування моделі є можливість визначення часу доставки вантажу. Якщо цільовою установкою вибору маршруту була мінімізація загальних вартісних витрат на виконання логістичних операцій, то методом простого підсумовування витрат часу на отриманих ділянках мережі можна отримати час виконання контракту по доставці вантажу.

Для вирішення задачі про знаходження найкоротшого шляху

найбільш раціональним є використання алгоритму позначок Дейкстри, який має ітеративний характер і дозволяє знайти всі мінімальні шляхи з часткової вершини до решти вершин графа.

Сутність алгоритму полягає у побудові на кожній ітерації зростаючого орієнтованого дерева мінімальних шляхів з початкової вершини у всі інші, включаючи і кінцеву вершину, в яку необхідно потрапити під час планування переміщення вихідним графом.

Алгоритм ґрунтується на приписуванні вершин тимчасових поміток причому позначка вершини дає верхню межу довжини шляху від s до цієї вершини. Ці позначки (їх величини) поступово зменшуються за допомогою деякої ітераційної процедури, і на кожному кроці ітерації точно одна з тимчасових позначок стає постійною (тобто ця позначка вже не є верхнім кордоном, а дає точну довжину найкоротшого шляху від 1 до розглянутої

вершині n). Нехай – позначка вершини xi і всі сij ≥ 0.

Крок 1. Покласти l (s) = 0 і вважати цю позначку постійною. Покласти l(xi) = ∞ для всіх xi ≠ s вважати ці позначки тимчасовими. Покласти p=s.

Оновлення позначок.

Крок 2. Для всіх xi з оточення р, позначки яких тимчасові, змінити позначки відповідно до наступного виразу

Перетворення позначки на постійну.

Крок 3. Серед усіх вершин з тимчасовими позначками знайти таку, за для якої

Крок 4. Вважати позначку вершини xi* постійної та покласти р = xi* Крок 5. Необхідно перевірити умову p = t, у разі ствердної відповіді

алгоритм вважається закінченим, якщо ні, то повертаємось до кроку 2.

У разі обчислення всіх найкоротших відстаней з вихідної вершини 1 алгоритм продовжується доти, доки всі вершини не стануть поміченими.

8.2 Графоаналітичний метод

Графоаналітичний метод заснований на графічному виразі системи обмежень та цільової функції задачі лінійного програмування та візуальному пошуку точки, в якій цільова функція досягає свого екстремального значення. Графоаналітичним методом розв'язуються задачі з двома, максимум трьома невідомими, тому що при більшій розмірності задачі неможливо зобразити на площині або в просторі систему обмежень і цільову функцію. Тому цей метод використовується в навчальних цілях для досягнення кращого розуміння суті процесу оптимізації, а також для наочного зображення окремих, найбільш важливих, фрагментів складних моделей з демонстраційними цілями.

Алгоритм графоаналітичного методу складається з наступних дій:

1) в одній системі координат для всіх рівнянь системи обмежень будуються прямі лінії, що графічно відображають рішення певного рівняння (у разі нерівності рішенням буде область) (рис. 8.3.);

Рис.-8.3.

2) визначається загальна область, утворена перетином побудованих прямих (областей). Ця область називається багатогранником (а на площині – багатокутником) допустимих рішень) (рис. 8.4.);

Рис.-8.4.

3) будується пряма, що зображує цільову функцію. Для цього необхідно замінити літерне позначення цільової функції довільним числом та визначити координати цільової функції (рис. 8.5.);