КОНСПЕКТ ПтаОІТС

рис. 8.5.

4) визначається напрям зростання значення цільової функції. Для цього необхідно на осях графіка відкласти відрізки, рівні коефіцієнтам цільової функції, і за ними, як за координатами, побудувати вектор найбільшого зростання цільової функції – градієнт (grad) (рис.8.6).

Рис. -8.6.

5) графічно визначається положення прямої, що зображує цільову функцію, в якій цільова функція досягає екстремального значення. Для цього побудована пряма подумки пересувається паралельно самій собі убік зростання (якщо потрібно знайти максимум) або убік спадання (якщо потрібно визначити мінімум) свого значення. Переміщення закінчується в єдиній точці, яка одночасно належить багатограннику рішень та «цільовий» прямий. Відповідно до теорії опуклих множин, ця точка є єдиною і називається кутовою (угловой), оскільки знаходиться на перетині двох прямих рішень, що обмежують багатогранник (рис. 8.7.);

Рис. -8.7.

6) аналітично розраховуються координати знайденої екстремальної точки, для чого вирішується система з двох (у просторі – із трьох) лінійних рівнянь із двома невідомими. Знайдені оптимальні значення змінних моделі

підставляються в цільову функцію для визначення її екстремального значення

(рис. 8.8).

Рис 8.8. Послідовність рішення лінійної оптимізаційної моделі графоаналітичним методом

Оскільки метод заснований на графічних побудовах, то результаті його застосування має виробитись візуальне уявлення про те, що:

1) система обмежень (допустимих) рішень) лінійної математичної моделі є багатогранник у просторі або багатокутник на площині – так званий симплекс;

2)цільова функція лінійної математичної моделі є площиною в просторі або пряму лінію на площині;

3)рішення лінійної математичної моделі є координатами точки перетину багатогранника або багатокутника, що описується системою обмежень, з площиною або прямою лінією, що описується цільовою функцією.

Оскільки модель є оптимізаційною, то потрібно знайти екстремальну точку – точку, в якій цільова функція досягає свого максимуму чи мінімуму. За визначенням така точка є кутовою для багатогранника або багатокутника допустимих розв'язків задачі.

8.3 Метод потенціалів для вирішення транспортного завдання матричної постановки

Класичним прикладом математичної моделі спеціального типу є транспортна завдача лінійного програмування (ТЗЛП). Інша її назва – розподільне завдання.

ТЗЛП широко застосовується в планових та проектних розрахунках для оптимального прикріплення споживачів вантажу до постачальників, балансових розрахунках обсягів перевезень, розподілу парку рухомого складу по автотранспортним підприємствам, маршрутизації перевезень та ін.

Суть транспортної завдачи полягає у знаходженні оптимальних вантажопотоків, тобто в оптимальному закріпленні постачальників однорідного вантажу за споживачами.

При цьому має бути відомо: перелік постачальників Ai (i=1,...,m) та споживачів Bj (j=1,...,n) однорідного вантажу; обсяг виробництва вантажу кожним постачальником ai та обсяг попиту у кожного споживача bj; витрати

на перевезення одиниці виробленої продукції від кожного постачальника кожному споживачеві Cij.

Схематично дана взаємодія постачальників та споживачів продукції представлено на рис. 8.9.

Рис. 8.9.- Схема транспортного завдання для 3-х постачальників та 4-х споживачів

В якості витрат на перевезення зазвичай приймається вартість транспортування, час, відстань перевезення або обсяг вантажної роботи в тонно-кілометрів.

Упроцесі розв'язання транспортного завдання складається оптимальний план перевезень вантажу в замкнутій транспортній системі, що складається з кількох постачальників та споживачів.

Кожен постачальник у такій транспортній системі з'єднаний із кожним споживачем транспортним зв'язком. Кожний транспортний зв'язок характеризується певною дальністю чи вартістю (Оцінкою) перевезення по ній одиниці вантажу.

УТЗ потрібно скласти такий план перевезень, при якому весь вантаж був би вивезений від постачальників, задоволені всі заявки споживачів, і загальна вартість перевезень була б мінімальною. Складання плану перевезень полягає

увизначенні обсягу перевезення від кожного постачальника, кожному споживачеві. Позначимо ці обсяги як xij. План перевезень характеризується витратами на перевезення всього обсягу. Тоді умова мінімізації витрат на всі перевезення запишеться як сума творів вартості перевезення одиниці вантажу на перевозимий обсяг для всіх транспортних зв'язків.

Необхідною умовою рішення ТЗЛП є закритість або замкнутість моделюється транспортної системи. У замкнутому завданні сумарний обсяг споживання дорівнюу є сумарномобсягу виробництва всіх відправників, тобто Якщо ця умова порушується, то ТЗ називається «відкритою» і вводиться до транспортної системи додатковий (фіктивний) постачальник чи споживач.

Якщо продукції виробляється більше, ніж споживається, необхідно додати фіктивного споживача, інакше – фіктивного постачальника.

Обсяг попиту або виробництва фіктивного споживача або постачальника повинен дорівнювати різниці між сумарними обсягами виробництва та споживання, внаслідок чого система стає закритою.

Витрати на перевезення між фіктивними та реальними постачальниками або споживачами можна задавати довільно, наприклад рівними 0, але однаковими для всіх фіктивних постачальників або споживачів.

Крім того, природним обмеженням у ТЗ є умова невід'ємності обсягів перевезень.

Таким чином, оптимальний план перевезень у транспортній системі – це план, що має мінімальні витрати на перевезення, і виражається через сукупність обсягів перевезень між кожним постачальником та споживачем за найбільш коротким або дешевим транспортним зв'язкам.

Для досягнення цього у процесі вирішення транспортного завдання потрібні максимальні обсяги перевезень перерозподілити між найбільш дешевими транспортними зв'язками так, щоб повністю вивезти продукцію від всіх постачальників та задовольнити попит усіх споживачів.

Існує кілька методів розв'язання ТЗЛП. Найбільше розповсюдження через свою простоту отримав метод потенціалів.

Ідея методу потенціалів полягає в тому, що відмінності витрат на перевезення по різних транспортних зв'язках можна представити як різницю потенціалів, причому ця різниця потенціалів буде тим більше, чим більше відрізняються величини витрат.

Наявність різниці потенціалів, як відомо, призводить до виникнення потоку в системах різної природи. В даному випадку різниця потенціалів постачальників і споживачів у транспортній системі призводить до виникнення потоків, які можна представити як потоки перерозподілу обсягів перевезень між транспортними зв'язками, що з'єднують цих постачальників та споживачів. Тобто обсяги перевезень переносяться з транспортних зв'язків, що не мають різниці потенціалів, на транспортні зв'язки з максимальною різницею потенціалів.

Для визначення величини різниці потенціалів кожному постачальнику та споживачеві приписується потенціал. Сукупність потенціалів утворює систему потенціалів. Потенціал споживача визначається як сума потенціалу постачальника та оцінки транспортного зв'язку між ними, якщо у зв'язку з цим здійснюється перевезення. Тоді потенціал постачальника дорівнює різниці між потенціалом споживача та оцінки транспортної зв'язок між ними, якщо у зв'язку здійснюється перевезення.

де Vj - потенціал споживача (стовпця); Ui - потенціал постачальника (рядки); Cij – оцінка зайнятої клітини.

Таке правило розрахунку потенціалів обумовлено тим, що якщо по транспортному зв'язку здійснюється перевезення, то різниця потенціалів

постачальника та споживача, з урахуванням оцінки транспортного зв'язку, дорівнює нулю. Визначивши подібним чином потенціали всіх постачальників і споживачів, можна розрахувати різницю потенціалів для транспортних зв'язків, не завантажених перевезеннями.

Величина δij називається позитивним зсувом. Якщо не в одного транспортного зв'язку в системі немає позитивної різниці потенціалів, то це означає, що отримано оптимальний план перевезень.

В іншому випадку обсяги перевезень за певним правилом переносяться на транспортні зв'язки з максимальною величиною різниці потенціалів, що означає зміну плану перевезень. Зміна плану перевезень вимагає коригування системи потенціалів, що, у свою чергу, призводить до зміни набору транспортних зв'язків, що характеризуються різницею потенціалів.

Процес перерозподілу перевезень, заснований на ідеї погашення різниці потенціалів постачальників і споживачів цими перевезеннями, триває доти, доки не буде отримано оптимальний план перевезень, тобто коли в системі не залишиться транспортних зв'язків, що мають позитивну відмінність потенціалів.

Алгоритм методу потенціалів, що застосовується при вирішенні ТЗ програмування, складається з наступних дій:

1.Побудова матриці (таблиці) ТЗ. Кожна клітина матриці позначає транспортний зв'язок між постачальником та споживачем. Рядки матриці відповідають постачальникам, а стовпці – споживачам. У верхньому кутку кожної клітини записується вартість перевезення (оцінка транспортного зв'язку). Праворуч від кожного рядка матриці записується обсяг виробництва, а внизу кожного стовпця –обсяг споживання вантажу. Обсяги перевезень записуватимуться в клітини матриці;

2.Побудова початкового (базисного) плану перевезень. Для побудови базисного плану в ТЗЛП існує кілька методів, найбільш поширеними з яких є метод «північно-західного кута» та метод найменшої вартості.

3.За методом «північно-західного кута» розподіл обсягів перевезення починається з верхньої лівої клітини матриці. В неї міститься мінімальне з двох значень: обсяг виробництва першого постачальника; обсяг попиту першого споживача.

Якщо обсяг пропозиції першого постачальника перевищує попит першого споживача, то надлишки продукції відправляються другому споживачеві. І навпаки, якщо обсяг попиту першого споживача перевищує можливості першого постачальника, то недостатній обсяг поставляється від другого постачальника. Обсяги виробництва інших постачальників розподіляються аналогічним чином. Метод найменшої вартості відрізняється від методу «північно-західного кута» тим, що перевезення в ньому в першу чергу розподіляються по клітинах з найменшою оцінкою. Кількість заповнених перевезеннями клітин має бути на одиницю менше суми кількості

постачальників та споживачів. В іншому випадку виникає виродження, що ускладнює рішення ТЗЛП, тому необхідно так перерозподілити перевезення в базисному плані, щоб їх кількість задовольняла зазначеній умові; Побудова системи потенціалів за методикою, описаною у попередньому пункті;

4.Розрахунок різниці потенціалів (позитивних зрушень) для клітин, не завантажених перевезеннями (вільних клітин). Величина позитивного зсуву дорівнює різниці між потенціалом рядка, потенціалом стовпця та оцінки вільної клітини, що знаходиться на їхньому перетині. Якщо позитивні зрушення (значення яких більше 0) відсутні, то оптимальний план перевезень знайдено;

5.Перерозподіл перевезень. Для визначення клітин, яких видаляються перевезення, і клітин, на які переносяться перевезення, в матриці будується замкнутий прямокутний контур. Першою вершиною контуру повинна бути незайнята клітина з максимальним позитивним зсувом.

Інші вершини контуру повинні перебувати у зайнятих клітинах. Вершини контуру нумеруються (1, 2, 3, …), починаючи з вершини, що знаходиться в незайнятій клітині, або дуже рідко позначаються знаками + і –, починаючи зі знака + в незайнятій клітині. Нумерація або позначка може здійснюватися у напрямі руху по контуру. Визначається мінімальний обсяг перевезень у парних клітинах, або у клітинах, позначених знаком. Цей обсяг перевезень переноситься з парних клітин (зі знаком –) у непарні клітини (зі знаком +);

6. перевірити правильність обчислень. Для цього достатньо порівняти сумарні витрати на перевезення вантажу за новим планом з витратами базисного (або попереднього) плану перевезень. Зменшення витрат є ознакою правильності обчислень. Ітерації повторюються з пункту 3 до тих пір, поки є хоча б одна позитивна зсувка.

8.4 Метод пошуку найкоротших шляхів на транспортній мережі

При вирішенні більшості реальних ТЗ необхідно враховувати пропускну здатність та конфігурацію транспортних комунікацій.

Якщо пропускні здібності не складно врахувати у вигляді додаткових умов-обмежень, наприклад, при вирішенні транспортної задачі в канонічній формі, опис конфігурації транспортних комунікацій у вигляді рівнянь невиправдано підвищує розмірність та складність її рішення. Тому при вирішенні низки транспортних завдань, де має значення те, за якими конкретно комунікаціями проходять транспортні потоки, для опису транспортних зв'язків використовуються методи «теорії графів», тобто методи їх графічного уявлення. Наприклад, якщо потоки між різними постачальниками і споживачами об'єднуються і проходять по одним і тим самим комунікаціям, необхідно враховувати обмеження на пропускну спроможність цих комунікацій і, у разі перевищення пропускної спроможності, спрямовувати потоки по інших шляхах.

Система транспортних комунікацій у термінах теорії графів називається транспортною мережею. Для кращого розуміння транспортної мережі необхідно розглянути низку принципових понять і положень.

Транспортна мережа – це формалізоване уявлення реальних транспортних комунікацій у вигляді системи елементів двох типів: вершин (залізничних станцій, міст, пунктів відправлення, призначення, перехресть) і дуг (залізниць або автомобільних доріг), що з'єднують вершини.

Вершини позначаються номерами або індексами i, j, де індекс – це число (порядковий номер вершини), що однозначно визначає вершину. Дуга позначається номерами вершин, які вона з'єднує. Так як дуга (лінія) може з'єднувати трохи більше двох вершин, вона однозначно визначається двома індексами (i;j) чи навіть ij. Приклад транспортної мережі наведено на рис. 8.10.

Рис. 8.10. Приклад схематичного представлення транспортної мережі

Кожна дуга має оцінку pij, яка визначає витрати на рух по дузі (наприклад, довжину дуги – відстань між вершинами). Коли витрати при переміщенні по дузі в одному напрямку відрізняються від витрат при переміщенні в іншому напрямку, то оцінка дуги записується як дробу. Чисельник дробу є оцінкою дуги, що починається у вершині з меншим порядковим номером, а знаменник - оцінка дуги протилежного напрямку. Наприклад, для дуги (8; 5) оцінка p85 = 4 (знаменник), оцінка дуги (5; 8) p58 = 3 (числитель). Якщо рух по дузі в якому небудь напрямі заборонено, то відповідна оцінка дорівнює М - максимально великому позитивному числу.

Маршрут (шлях) на транспортній мережі – це послідовність проходження вершин транспортної мережі під час руху від початкової вершини (пункту відправлення) до кінцевої вершини (Пункт призначення). Позначається маршрут шляхом перерахування номерів вершин, тобто. Si1, in [i1, i2, . . . , in]. Необхідно розуміти, що особливе значення має послідовність номерів вершин у маршруті. Наприклад, якщо за початкову прийняти вершину з номером 3, то можна побудувати безліч маршрутів до всіх інших вершин

мережі. Нехай один із маршрутів з вершини 3 до вершини 8 проходитиме через вершину 2, тоді маршрут запишеться таким чином S3,8[3,2,8].

Довжина (оцінка) маршруту - це сума довжин (оцінок) дуг, що з'єднують вершини маршруту. Будь-який маршрут характеризується довжиною. Наприклад, довжина маршруту S3,8 дорівнюватиме сумі оцінок дуг (3; 2) і (2; 8), тобто p38 = p32 + p28 = 2 +2 = 4.

Оптимальний (найкоротший, найдешевший) маршрут – це маршрут від заданої початкової до кінцевої вершини маршруту, що має найменшу довжину (оцінку) між цими вершинами.

Наприклад, якщо уважно вивчити схему (рис. 1), то буде зрозуміло, що немає шляху з вершини 3 у вершину 8 коротше, ніж маршрут S3,8 [3,2,8] з довжиною p38 = 4.

Попередня вершина – вершина, яка у маршруті передує заданій вершині. Позначається як λi, де λ – номер вершини, що передує вершині i у маршруті. Якщо розглядати послідовність вершин маршруту, то можна сказати, що кожній вершині j передує вершина i. Очевидно, що це твердження справедливе для всіх вершин маршруту, крім початкової. Наприклад, якщо є маршрут S3,8[3,2,8], то λ2=3 та λ8=2. Початкова вершина передує сама собі, тому λ3=3.

Потенціал вершини i – сума оцінок дуг, що входять до маршуруту від початкової вершини до i-ої. Позначається як pi. Наприклад, для маршруту

S3,8[3,2,8] потенціал вершини 3 p3=0 вершини 2 p2=p3+p32=0+2=2, а кінцевої вершини маршруту p8 = p2 + p28 = 2 +2 = 4. Очевидно, що потенціал кінцевої вершини маршруту дорівнюватиме довжині (оцінці) всього маршруту.

Завдання відшукання найкоротших маршрутів від однієї або кількох заданих точок будується на простій ідеї порівняння альтернативних шляхів до вершини мережі та вибору найбільш коротких.

Як ілюстрацію розглянемо простий приклад. Нехай задана транспортна мережа (рис. 8.11), що складається з трьох вершин

Рис. 8.11 Приклад транспортної мережі для визначення найкоротшого Маршруту

Потрібно визначити найкоротші маршрути від першої вершини до другої та третьої вершин. Припустимо, що такими маршрутами є S1,2[1,2] та S1,3[1,3]. Оцінки цих маршрутів відповідно дорівнюють 10 і 1. Такі ж значення потенціалів будуть мати і кінцеві вершини маршрутів, тобто p2=10, p3=1.

Якщо продовжувати рух з вершини 2 у вершину 3, то для такого маршруту потенціал кінцевої вершини 3 дорівнюватиме 18 (S1,2 [1,2,3], p3 =

18). Отже, маршрут від вершини 1 до вершини 3 через вершину 2 буде довшим (дорожче) прямого маршруту з вершини 1. З іншого боку, якщо рухатимемося у вершину 2 через вершину 3, то оцінка такого маршруту дорівнюватиме 9 .

Робимо висновок, що найкоротший шлях у вершину 2 проходитиме через вершину 3. У результаті отримуємо єдину кінцеву вершину на мережі – точка 2 та єдиний оптимальний маршрут S1,2 [1,3,2], p2 = 9.

Подібні елементарні обчислення лежать в основі існуючих способів визначення найкоротших відстаней. Їх відмінність в основному полягає тільки в прийомах запису вихідних даних, проміжних і остаточних результатів розрахунків.

Найбільш компактним поданням даних, орієнтованим на використання комп'ютерів є так званий спосіб побудови таблиць оптимальних шляхів або евристичний метод «мітли» (Sweep Algorithm) вперше запропонований у статті [13].

Таблиця оптимальних шляхів (ТОШ) на транспортній мережі це табличне уявлення всіх оптимальних шляхів від однієї або кількох заданих вершин до всіх інших вершин транспортної мережі. Іншими словами, ТОШ містить у компактному вигляді опис дерева всіх найкоротших відстаней на заданій транспортної мережі. Всі інші відомі способи призначені або для пошуку найкоротшого шляху тільки між двома заданими вершинами, або описують оптимальні маршрути вигляді двовимірної таблиці (матриці) розмірністю m×m, де m – кількість вершин транспортної мережі.

Нарешті, слід зазначити, що ТОШ використовуються у реальних розрахунках для планування залізничних перевезеннь.

Таблиця оптимальних шляхів складається із трьох стовпців. Перший стовпець містить номери вершин транспортної мережі i, другий стовпець – номери попередніх вершин λi, третій – потенціали вершин pi. Найкоротший маршрут до i-ї вершини визначається за номерами попередніх вершин. Для i-ї вершини за таблицею знаходиться попередня, для неї - своя попередня вершина і т.д., доки не буде визначена початкова вершина маршруту, на яку не задана попередня вершина. Потенціал кожної вершини дорівнює відстані від початкової вершини до даної вершини під час руху по оптимальному маршруту.

Алгоритм побудови таблиці оптимальних шляхів (ТОШ) складається з наступних дій:

1)заповнити перший та другий стовпці таблиці оптимальних шляхів (ТОШ) номерами вершин транспортної мережі у порядку їх зростання. У другому стовпці одну або кілька початкових вершин позначити, наприклад, знаком мінус перед номерами вершини. Третій стовпець заповнити вихідними потенціалами вершин. Вихідні потенціали початкових вершин дорівнюють нулю, а всіх інших вершин – числу М, чи максимально великому числу;

2)для всіх дуг, що виходять з поміченої вершини, перевіряється умова оптимальності дуги

Тут порівнюється різниця між потенціалом кінцевої вершини pj і потенціалом початкової вершини перевіряємої дуги pi з оцінкою цієї дуги pij. Якщо умова виконується, то це означає вигідність руху по даній дузі з вершини i до вершини j, оскільки це знижує значення потенціалу кінцевої вершини pj. У цьому випадку виконуються наступні перетворення таблиці оптимальних шляхів (ТОШ). По-перше, для вершини j треба вказати номер попередньої вершини i, тобто записати в другому стовпці у рядку з номером j номер вершини i з знаком мінус (λj= -i). Знак мінус означає, що вершина j стає міченою і далі проводитиметься перевірка дуг, що виходять із цієї вершини. По-друге, перераховується потенціал вершини j, який визначається як сума потенціалу початкової вершини дуги та оцінки цієї дуги, тобто

3)якщо умова оптимальності дуги не виконується, то перевіряється наступна дуга, що виходить із поміченої вершини;

4)якщо умова оптимальності перевірена для всіх дуг, що виходять із поміченої вершини, то мітка з цієї вершини знімається, і розглядаються дуги, що виходять із будь-якої наступної поміченої вершини. Потім усі дії, починаючи з другого, повторюються. Побудови оптимальних маршрутів повторюються до тих пір, поки в таблиці оптимальних шляхів є хоча б одна помічена вершина.

У процесі побудови таблиці оптимальних шляхів можливе багаторазове коригування потенціалів вершин і номерів попередніх вершин, тому прийнято будувати кілька таблиць із перенесенням у нову таблицю результатів попередніх побудов.

Рекомендована література

1.Аникин Б. А. Коммерческая логистика : учебник / Б. А. Аникин, А. П. Тяпухин. – М. : ТК Велби ; Из-во "Проспект", 2005. – 432 с.

2.Бауэрсокс Дж. Логистика: интегрированная цепь поставок / Дж. Бауэрсокс, Дж. Клосс ; пер. с англ. – М. : ЗАО "Олимп-Бизнес", 2001. – 640 с.

3.Денисенко М. П. Організація та проектування логістичних систем: підручник / М. П. Денисенко, П. Р. Лековець, Л. І. Михайлова. – К. : Центр учбової літератури, 2010. – 336 с.

4.Крикавський Є. Економічний потенціал логістичних систем / Є. Крикавський. – Львів : ДУ "Львівська політехніка", 1997. – 168 с.

5.Крикавський Є. Логістика. Для економістів : підручник / Є. Крикавський.

– Львів : Вид-во Національного університету "Львівська політехніка",

2004. – 448 с.

6.Крикавський Є.В., Чорнописька Н.В. Логістичні системи: Навч. посібник. - Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка",

2009. - 264 с.