16.4. Магнитное поле в центре прямоугольной рамки
Рассчитаем напряженность магнитного поля в центре контура прямоугольной формы (рис. 16.4.1). Стороны прямоугольника равны a и b, сила тока в проводнике I. Разделим контур на четыре прямолинейных отрезка конечной длины. Применяя правило буравчика, убеждаемся, что напряженности магнитных полей, созданных каждым отрезком проводника в центре контура, направлены одинаково (от нас).
В
соответствии с принципом суперпозиции
для них можно записать
.
Симметрия рамки приводит к тому, что противоположные стороны прямоугольного контура создают одинаковые поля, поэтому в скалярной форме получаем
.
(16.4.1)
Пусть отрезок проводника MN создает в т.О магнитное поле напряженностью Н1, для которого применим формулу напряженности проводника конечной длины
.
Из чертежа для прямоугольного треугольника MOF получаем
,
где гипотенуза треугольника МОF с = МО,
.
Разность косинусов равна
=
.
Для напряженности магнитного поля можно записать
.
Гипотенузу МО треугольника MOF определим, применив теорему Пифагора
=
.
Напряженность магнитного поля, созданного отрезком проводника MN, равна
.
(16.4.2)
Аналогично напряженность магнитного поля, созданного отрезком проводника NL, имеет следующий вид:
.
(16.4.3)
Подставляя формулы (16.4.2) и (16.4.3) в формулу (16.4.1), получаем
.
После сокращения напряженность магнитного поля в центре прямоугольной рамки с током можно записать в следующем виде:
.
(16.4.4)
Магнитная индукция в центре рамки равна
.
(16.4.5)
Для контура
квадратной формы со стороной
в формулы (16.4.4.) и (16.4.5) необходимо
подставить условие равенства сторон
.
Напряженность магнитного поля в центре
контура квадратной формы определяется
выражением
,
(16.4.6)
а магнитная индукция равна
.
(16.4.7)
Векторы индукции и напряженности магнитного поля, созданного в центре рамки с током, имеющей прямоугольную (квадратную) форму (рис. 16.4.1), направлены перпендикулярно плоскости чертежа от нас в соответствии с правилом правого винта.
1 М 6.5. Закон полного тока
Циркуляцией напряженности магнитного поля по замкнутому контуру L называется интеграл
.
(16.5.1)
Р
ассмотрим
проводник бесконечной длины с током I,
расположенный перпендикулярно плоскости
чертежа (рис. 16.5.1). Пусть ток направлен
от нас. Замкнутый контур длиной L
выберем в виде окружности, проходящей
через точку М, находящуюся на расстоянии
r
от проводника. Проведем через эту точку
М линию напряженности, которая образует
окружность вокруг проводника с током
и совпадает с замкнутым контуром.
Вычислим циркуляцию вектора напряженности
по выбранному
замкнутому контуру L.
Для этого от точки М отложим элементарную
длину контура
.
Угол между вектором напряженности и
элементарной длиной равен нулю, тогда
.
Напряженность магнитного поля бесконечно длинного проводника одинакова во всех точках на линии напряженности и определяется выражением
(16.5.2)
Подставим выражение (16.5.2) в формулу (16.5.1) и вынесем напряженность из-под интеграла
.
(16.5.3)
Проинтегрируем по длине контура
.
После сокращения окончательно получаем
.
(16.5.4)
Данное уравнение показывает, что циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру равна силе тока, охватываемого этим контуром.
Если замкнутый контур охватывает несколько проводников с токами, то в правой части формулы (16.5.4) получим алгебраическую сумму токов.
.
(16.5.5)
Выражение (16.5.5) является законом полного тока или теоремой о циркуляции напряженности магнитного поля: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому произвольному контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром. Если направление обхода контура совпадает с направлением линии напряженности магнитного поля, создаваемого проводником с током, то силу тока в алгебраической сумме берем со знаком плюс; если направления противоположны, то сила тока берется со знаком минус. Закон полного тока позволяет определить напряженность (индукцию) магнитного поля, созданного проводниками с током без применения закона Био-Савара-Лапласа, в частности для расчета магнитного поля соленоида.