Лекция 4

4. Динамика вращательного движения

4.1. Момент инерции относительно оси вращения

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, линейная скорость i-ой точки может быть определена:

Следовательно, кинетическая энергия i-ой точки, имеющей массу m_i равна

= ^,

т.к. все точки тела имеют одинаковую угловую скорость, то _.

Учитывая, что любое тело можно разбить на элементарные массы и рассматривать его как систему материальных точек, взаимное расположение которых не меняется, кинетическая энергия тела в целом будет складываться из кинетической энергии его частей:

, (т.к. const)

Введем обозначение - произведение массы точки на квадрат расстояния ее до оси вращения называется моментом инерции точки относительно неподвижной оси вращения. - сумма моментов инерции отдельных точек тела равна моменту инерции тела в целом относительно неподвижной оси (кг ^.м²).

Таким образом величина, учитывающая массу вращающегося тела и распределение ее относительно оси вращения называется моментом инерции тела относительно заданной оси вращения.

Для данного тела момент инерции (J = const) величина постоянная. При m = const момент инерции тем больше, чем дальше материальные точки тела отстоят от оси вращения.

Запишем основные моменты инерции некоторых тел.

Тело	Положение оси вращения	J
Полый цилиндр (обруч)	Ось симметрии	J = mR2
Сплошной однородный цилиндр (диск)	Ось симметрии	J =
Сплошной однородный шар	Ось проходит через центр	J =
Сферическая оболочка	Ось проходит через центр	J =
Однородный тонкий стержень	Ось проходит через центр тяжести	J =
Однородный тонкий стержень	Ось проходит через конец	J =

Выражения справедливы, когда ось вращения совпадает с осью симметрии,

т. к. , то (4.1.1)

Полученное выражение аналогично выражению кинетической энергии движущегося поступательно тела.

(4.1.2)

Из сравнения (4.1.1) и (4.1.2) видно, что при вращательном движении роль массы играет момент инерции, а роль линейной скорости – угловая скорость.

Если тело участвует одновременно в двух движениях поступательном и вращательном, то его кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного и кинетической энергии вращательного движения.

_.

Т еорема Штейнера (теорема о переносе осей). Момент инерции J тела относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр инерции тела (центр масс) параллельно рассматриваемой оси и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.

_.