Metod_pos_prakt

сти равенства, если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура.

Пример 2.2. Составить уравнения по второму закону Кирхгофа для всех контуров схемы (рис. 2.1). Определить количество n11 независимых уравнений (независимых контуров) по второму закону Кирхгофа.

Решение. В приведенном примере на рис. 2.1 можно выделить три независимых контура (без источника тока j): 1) – (Е1, R1, R2); 2) – (R2, R3, R4, E2);

3)– (E1, R1, R3, R4, E2). Запишем уравнения для трех контуров:

1)i1R1 + i2R2 = E1;

2)– i2R2 + i3R3 + i3R4 = – E2;

3)i1R1 + i3R3 + i3R4 = E1 – E2.

Анализируя эти уравнения, можно придти к выводу – любое из трех уравнений можно получить суммированием двух других. Таким образом, одно уравнение является зависимым и его нужно исключить из системы уравнений. Контура, для которых составлены независимые уравнения, называют независи-

мыми контурами.

Определим количество независимых уравнений по второму закону Кирхгофа – n11. Общее число независимых уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа должно быть равно числу неизвестных токов ni = n1 + n11. Число неизвестных токов равно числу ветвей p минус число ветвей, образованных источниками тока – NИТ: ni = p – NИТ. Таким образом, число независимых контуров, т.е. независимых уравнений по второму закону Кирхгофа равно:

n11 = ni – n1 = p – NИТ – g + 1.

Процедура определения количества независимых уравнений по законам Кирхгофа n1 и n11, т.е. определение p, NИТ, g называется топологическим анали-

зом схемы.

В рассматриваемом примере p = 4, NИТ = 1, g = 2. Следовательно, n1 = 1, n11 = 2.

Таким образом, для рассматриваемой схемы система уравнений, записанная по законам Кирхгофа, состоит из трех независимых уравнений:

2.2. Метод токов ветвей

Метод токов ветвей основан на непосредственном применении законов Кирхгофа. В этом методе в качестве независимых переменных, относительно

11

которых составляется система уравнений, выбираются токи в ветвях. Определив токи, можно определить напряжения всех элементов схемы по закону Ома.

Можно сформулировать основные этапы расчета цепи методом токов ветвей при рассмотрении конкретного примера.

Пример 2.3. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 2.2. Определить токи в ветвях.

R1 = R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; J = 0.1 A; E = 1 В.

Решение.

1. Пронумеровать узлы, приняв один из них за базисный (рис. 2.2).

2.Отметить произвольно положительные направления токов в ветвях

(рис. 2.3).

3.Провести топологический анализ схемы: число узлов g = 4, число ветвей p = 6, число источников тока Nит = 1.

4.Подсчитать число независимых уравнений по законам Кирхгофа:

по первому закону – n1 = g – 1 = 3,

по второму закону – n11 = p – g – Nит + 1 = 2.

Таким образом, система уравнений должна состоять из 5 уравнений. 5. Записать уравнения по первому закону Кирхгофа для трех узлов:

6.Выбрать произвольно два независимых контура и направление обхода контуров, например, (R1 – R2 – E) и (E – R3 – R4), как показано на рис. 2.3.

7.Записать для двух контуров уравнения по второму закону Кирхгофа:

1 контур – –i1R1 + i2R2 = – E; 11 контур – i4R3 + i5R4 = E.

8. Представить систему уравнений, составленную по законам Кирхгофа, в матричной форме:

12

После подстановки в уравнения числовых значений и решения системы, получим выражения для токов:

i1 = – 3.3(3)·10–2 A; i2 = – 6.6(6)·10–2 A; i3 = – 0.16(6) A; i4 = 0.1 A; i5 = 0.

Отрицательный знак для токов i1, i2, i3 означает, что истинное направление токов в ветвях противоположно принятому направлению.

Полученное решение задачи требует проверки, которую проводят, как правило, по первому закону Кирхгофа. Например, проверим выполнение закона в первом узле: i1 + i2 = – j; –3.3(3)·10-2 – 6.6(6)·10-2 = –9.9(9)·10-2 = –0.1. Закон выполняется. Проверку можно провести для любого узла.

По найденным значениям токов можно по закону Ома определить напряжение на любом элементе схемы.

Пример 2.4. Определить токи в ветвях схемы, изображенной на рис. 2.4, методом токов ветвей.

R1 = R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; R5 = 30 Ом; J = 1 А; E = 10 В.

Решение.

1.Выберем положительные направления токов в ветвях, как показано на рис.2.5, и проведем топологический анализ схемы.

Число ветвей p = 7, число узлов g = 4, число источников тока Nит = 1.

2.Количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа: n1 = 3,

n11 = 3.

3. Пронумеруем три узла и выберем три независимых контура. На рис. 2.5 контура и направления их обхода показаны замкнутой линией со стрелкой.

13

4. Составим шесть уравнений по двум законам Кирхгофа:

–i1 + i2 + i3= J;

–i2 + i4+ i5 = 0;

–i3 –i4 + i6 = –J; i2R1 + i5R4 = E;

–i2R1 + i3R2 – i4R3 = 0; i4R3 – i5R4 + i6R5 = 0.

5. После подстановки числовых значений коэффициентов запишем уравнения в матричной форме:

[a]∙[i] = [b],

где [i] – матрица – столбец токов ветвей; [a] – матрица коэффициентов при токах; [b] – матрица – столбец активных элементов,

Для решения системы уравнений шестого порядка целесообразно воспользоваться соответствующей вычислительной программой, например, «Mathcad 8».

В результате решения системы, получим:

i1 = 0.163 А; i2 = 0.628 А; i3 = 0.535 А; i4 = 0.442 А; i5 = 0.186 А; i6 = –0.023 А.

Проверка решения для 1 узла: –i1 + i2 + i3 = J,

–0.163 + 0.628 + 0.535 = 1.0 –решение правильное.

14

ТЕМА 3. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Метод контурных токов основан на применении второго закона Кирхгофа. Он заключается в том, что токи всех ветвей выражаются через так называемые “контурные токи”, которые рассматриваются в качестве независимых переменных в уравнениях.

Контурным током Ikk k-го контура называется некоторый ток, который как бы протекает по ветвям k-го контура.

Система уравнений электрического равновесия цепи, составленная относительно неизвестных контурных токов, называется системой контурных

уравнений.

Токи в ветвях можно выразить через контурные токи, если воспользоваться уравнениями баланса токов для независимых узлов.

Рассмотрим методику формирования контурных уравнений при решении конкретной задачи.

Пример 3.1. Для схемы рис. 3.1 составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа, в которой за независимые переменные принять контурные токи.

Решение.

1. Проведем топологический анализ

источника тока нужно образовать дополнительный контур через этот источник тока. На рис. 3.2 он показан пунктирной линией со стрелкой.

Будем считать, что ток в дополнительном контуре известен и равен току источника J. Следовательно, дополнительный контур является зави-

симым контуром. Поэтому для него уравнение по второму закону Кирхгофа не составляют.

15

3. Запишем два уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров:

4.Выразим четыре неизвестных тока i1 ÷ i4 через контурные токи I11, I22 и тока источника J. Как видно на рис. 3.2, контурный ток I11 направлен против тока i1. Поэтому i1 = – I11. Через сопротивление R2 протекает ток i2, но через это сопротивление мы направили два контурных тока в разных направлениях, поэтому i2 = I11 – I22. Ток i3 = I22. Ток i4 определяется двумя токами I11 и J. Они протекают в одном направлении с i4, поэтому i4 = I22 + J.

5.Подставим выражения токов в уравнения (3.1) и, группируя слагаемые при одинаковых контурных токах, получим систему уравнений (3.2) для определения двух неизвестных контурных токов

Анализируя структуру этих уравнений, можно установить ее связь с топологией цепи и ввести ряд новых понятий и обозначений.

В первом уравнении, составленном для первого контура, контурный ток I11 умножается на сумму сопротивлений ветвей, входящих в первый контур, – R11 = (R1+R2). Во втором уравнении, составленном для второго контура, ток I22 также умножается на сумму сопротивлений ветвей, образующих второй контур,

– R22 = (R2+R3+R4).

Если распространить эту закономерность в двух уравнениях на общий случай, то можно ввести новое понятие: собственное сопротивление i- го контура Zii. Оно равно сумме сопротивлений ветвей, входящих в i-ый контур. В нашем примере это R11 и R22.

Продолжая структурный анализ уравнений, видим, что в них есть члены, равные произведению контурного тока соседнего контура на сопротивление ветви, соединяющей два контура: I22∙(–R2) = I22∙R12 – в первом уравнении и I11∙(–R2) = I11∙Z21 – во втором уравнении. Элемент R2 является ветвью, принадлежащей первому и второму контурам. Поэтому сопротивления таких ветвей можно назвать общими или взаимными сопротивлениями i-го и j-го конту-

ров Zij. Они равны сопротивлению ветви, включенной непосредственно между этими контурами, взятому с обратным знаком. В рассматриваемом примере это R12 = R21 = –R2. Если в цепи отсутствуют ветви, включенные между i-м и j-м контурами, то Zij = 0.

16

Вправой части первого уравнения стоит ЭДС E источника, включенного

впервый контур. Направление ЭДС совпадает с направлением контурного тока I11, поэтому слагаемое берется со знаком плюс.

Во втором уравнении в правой части написано напряжение равное произведению тока J дополнительного контура на сопротивление ветви R4, через которую протекает этот ток. Направление тока J совпадает с направлением контурного тока I22, поэтому это произведение взято в правой части со знаком минус.

Таким образом, в правой части уравнений записывается так называемая контурная ЭДС i-го контура Eii. Она равна алгебраической сумме ЭДС источников напряжения, входящих в данный контур, включая напряжения на сопротивлениях, вызванных токами дополнительных контуров. Если направление ЭДС источника, входящего в i-ый контур, совпадает с направлением контурного тока этого контура, то соответствующая ЭДС входит в Eii со знаком плюс, если нет – со знаком минус. Напряжения на общих сопротивлениях берутся со знаком плюс, если направление тока J дополнительного контура противоположно направлению контурного тока в этом сопротивлении, и со знаком минус

– в противном случае. Контурные ЭДС в примере на рис.3.2 равны E11 = E, E22

= – JR4.

Используя введенные новые понятия для метода контурных токов, можно представить систему уравнений (3.2) в канонической форме записи:

Рассматривая полученную систему уравнений в виде (3.3), можно сфор-

мулировать методику формирования контурных уравнений непосредственно по схеме цепи, имеющей n11 = p – g – Nит + 1 независимых контуров:

левая часть контурного уравнения, составленного для i-го независимого контура, есть сумма членов, один из которых равен произведению контурного тока i-го контура на его собственное сопротивление– IiiZii∙ , а остальные – произведениям контурных токов других независимых контуров j на взаимные сопротивления i-го и j-го контуров - IjZij∙j. Правая часть каждого уравнения равна контурной ЭДС соответствующего контура Eii.

Полученные результаты могут быть обобщены для произвольной линейной цепи, составленной из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения и тока:

17

Z11I11 + Z12I22 +…+ Z1NINN = E11; Z21I11 + Z22I22 +…+ Z2NINN = E22;

. . . . . . . . . . . . . . . .

– матрицы-столбцы контурных токов и контурных ЭДС.

Для линейной цепи, состоящей из R, L, C и независимых источников электрической энергии матрица сопротивлений всегда квадратная и симметричная относительно главной диагонали, т.е. Zij = Zji.

Решая систему контурных уравнений, определяют контурные токи, а по ним – токи в ветвях.

Пример 3.2. Используя метод контурных токов, составить уравнения электрического равновесия цепи, схема которой приведена на рис. 3.3.

Решение.

1. Проведем топологический анализ схемы для определения количества независимых контуров n11. Количество ветвей p = 6, число источников тока

Nит = 1, число узлов g = 4, n11 = p – g – Nит + 1 = 2.

18

2.Выберем произвольно два независимых контура и направление их обхода как показано на рис. 3.4. В схеме содержится источник тока, поэтому следует образовать дополнительный контур, он показан на рис. 3.4 пунктирной линией.

3.Ток i1 равен току I11, а ток i3 = I22 – это видно на рис. 3.4. Сопротивление R2 является общим для первого и второго контуров. Через него протекает ток i2 = (I11 – I22). Элементы R4 - R5 – J образуют дополнительный контур. Сопротивления R4, R5 входят в состав первого и второго контуров. Через эти сопротивления протекают токи i4 = (I11 – J) и i5 = (J – I22) соответственно. Учитывая сказанное, запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров по методике, изложенной в примере 3.1:

I11(R1 + R2 + R4) – I22R2 = E1 + JR4

Пример 3.3. Определить токи методом контурных токов в ветвях цепи,

3. После подстановки численных значений параметров и решения уравнений, получим значения контурных токов

I11 = 0.163 А, I22 = – 0.465 А, I33 = – 0.023 А. 4. Определим токи в ветвях:

i1 = I11 = 0.163 А; i2 = I11 – I22 = 0.628 А; i3 = I22 – J = 0.535 А;

i4 = I33 – I22 = 0.442 А; i5 = I11 – I33 = 0.186 А; i6 = I33 = – 0.023 А.

19

5. Проверим правильность решения задачи, используя закон Кирхгофа для второго узла: –i2 + i4 + i5 = 0, – 0.628 + 0.442 + 0.186 = 0. Задача решена правильно.

Определение токов в этой задаче потребовало решения системы из трех уравнений. Этот же пример рассматривался при изучении метода токов ветвей, по которому пришлось решать систему из шести уравнений, а ее решать сложнее. Этот пример показывает преимущество метода контурных токов перед методом токов ветвей.

20