Metod_pos_prakt

Добавил:

Ivanoff228 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

Основы теории цепей

Файл:

u(t) Re[U e

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2023

Размер:

1.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

g		pC
	1	1
	pC
		1
		1
		0
	g
	g
		1
		0
		0

		0
		0
		0

Данная схема цепи с ОУ является типовой. Она обладает важным свойством:

при k = ∞ коэффициент передачи цепи определяется соотношением между сопротивлениями Z1 и Z2 двухполюсников, включенных с ОУ, и не зависит от схемы ОУ.

Знак минус показывает, что входной сигнал в схеме меняет фазу на 1800. В заключении рассмотрим схему узкополосного RC-фильтра, содержаще-

го два ОУ и двойной Т-образный RC-мост, включенный в цепь обратной связи.

Пример 5.3. Составить систему уравнений электрического равновесия для расчета коэффициента передачи по напряжению электрического филь-

тра, схема которого изображена на рис. 5.4.
Решение.	Электриче-				DA1
ский фильтр построен на базе		С1	С2		DA1
		С1	С2

двух ОУ – DA1 и DA2. Вклю-
чим на входе фильтра источ-		R1	R2
чим на входе фильтра источ-		R3	С3		R4
				DA2	R4
ник тока и пронумеруем неза-				DA2
ник тока и пронумеруем неза-

висимые узлы, как показано

на рис. 5.5.								R5
на рис. 5.5.
С учетом номеров узлов
основные	уравнения ОУ			Рис.5.4
основные	уравнения ОУ
имеют вид	1	С1	2	С2	3		DA1	7
	1		2		3
U77 = k∙(U33 – U77) – для DA1,
U77 = k∙(U33 – U77) – для DA1,				4
U66 = k∙(U55	– U66) – для DA2	R1		R2
или	J			С3				R4
		U11	R3			DA2	5	R4
			R3			DA2		U77

–k∙U33 + (k + 1)U77 = 0
				6

–k∙U55 + (k + 1)U66 = 0. (5.10)								R5
–k∙U55 + (k + 1)U66 = 0. (5.10)								R5
Запишем уравнения по
первому закону Кирхгофа для				Рис.5.5
независимых узлов 1, 2, 3, 4,

5, а для узлов 6 и 7 используем уравнения ОУ (5.10). Полученную систему уравнений представим в матричной форме (5.11)

	pC			0			g					0		0	0		U		J
	1								1									11
g3	pC1 pC2		pC2					0				0		g3	0		U22			0
g3	pC1 pC2		pC2					0				0		g3	0		U22			0
	pC	g		pC			g					0		0	0		U	33		0
	2		2		2				2									33
	0		g		2	g g		2	pC			0		pC	0		U44			0	(5.11)
					2	1		2	3					3			U			0
	0			0				0		g	4	g	5	0	g	4	U	55		0
											4		5			4		55
															k 1				0
	0			k				0				0		0	k 1		U66		0
	0			0				0			k			k 1	0		U			0
	0			0				0			k			k 1	0			77
																		77

Учитывая, что коэффициент усиления ОУ k = ∞, из уравнений (5.10) получим: U33 = U77, U55 = U66. Эти условия формально приводят в матрице проводимостей к сложению 3 и 7, 5 и 6 столбцов, и вычеркиванию 6 и 7 строк.

После преобразований система уравнений (5.11) примет окончательный

вид:

g pC					pC					g				0				0					U			J
	1	1			1						1													11
	pC		g	3	p(C		C	2	)	0			g		3		pC			2			U	22			0
	1			3	1			2							3					2			U	22
	0				pC					g				0			g pC						U				0	. (5.12)
						2					2						2				2			44
	g1					2					2	pC3					2				2			44
	g1				0					g1 g2 pC3		pC3					g2						U 66				0
	0				0					0		g		g			g						U				0
	0				0					0		g	4	g		5	g		4				U	77			0
													4			5			4					77
Система (5.12) позволяет определить напряжения U11																						и U77			и оператор-

ный коэффициент передачи по напряжению KU(p) = U77/U11.

ТЕМА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ. РАСЧЕТ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

6.1. Расчет мгновенного значения напряжения или тока

Расчеты мгновенных значений напряжений и токов (откликов) в цепях при гармоническом воздействии проводят методом комплексных амплитуд (символическим методом).

Суть этого метода в том, что сначала рассчитывают комплексную амплитуду отклика в показательной форме, например, напряжения

	j
U ( j ) U ( ) e	0	.	(6.1)

Затем, записывают мгновенное комплексное значение отклика (6.2) в

тригонометрической форме путем умножения комплексной амплитуды на опе-

ратор вращения ejωt

u(t) U ( j ) e	j t	U ( ) e	j ( t 0 )	U cos( t		) jU sin( t		).
					0		0

(6.2)

Мгновенное значение отклика u(t) (6.3) является реальной частью

мгновенного комплексного значения (6.2)

(6.3)

Пример 6.1. Рассчитать мгновенное значение тока в контуре (рис. 6.1), если включен источник гармонического напряжения e(t) = Ecos(ωt+φ0).

Решение. Комплексная амплитуда ЭДС E(jω) = Eejφo.

Комплексное сопротивление контура Z(jω) = R + jωL.

i(t)

Комплексная амплитуда тока в контуре по закону Ома

e(t)

равна I(jω) = E(jω)/(R + jωL). В показательной форме это

выражение принимает вид:

Рис.6.1

I jω

знам

)

i ,

(ωωe

(ω L)

где

		L				L
	arctg	,			arctg	.
знам		R	i	0		R

Пропуская промежуточную запись (6.2), запишем мгновенное значение тока по формуле 6.3

ω L

i(t) I

cos( t

)

cos(ω t

arctg

(ω L)

). (6.4)

6.2. Вывод формулы комплексной передаточной функции

В любой электрической цепи можно выделить пару зажимов (полюсов) – (1 – 1'), к которым подключается независимый источник (генератор), задающий внешнее воздействие. Эту пару называют входными полюсами (рис. 6.2).

1	I1			I2	2	Вместе с	этим	можно выделить участок цепи
	I1			I2		(ветвь) между	двумя	узлами, в котором требуется

U1					U2
U1					U2
1'					2'	определить ток или напряжение – отклик. Эти узлы т.е.

			Рис.6.2
			Рис.6.2			полюсы (2 – 2') называют выходными. Таким образом,
						полюсы (2 – 2') называют выходными. Таким образом,
сложная цепь может рассматриваться в виде четырехполюсника (рис. 6.2).
		Важнейшей характеристикой линейной						электрической цепи является

комплексная передаточная функция T(jω).

Комплексная передаточная функция (КПФ) определяется как отношение комплексной амплитуды отклика цепи к комплексной амплитуде воздействия.

В зависимости от вида воздействия и отклика различают следующие виды КПФ.

1. Комплексный коэффициент передачи по напряжению

KU(jω) = U2(jω)/U1(jω) = KU(ω)ejφu(ω),

где U2(jω), U1(jω) – комплексные амплитуды напряжений на выходе и на входе цепи; KU(ω) = U2/U1, φU(ω) = φU2(ω) – φU1(ω) – модуль и аргумент KU(jω).

2. Комплексный коэффициент передачи по току

KI(jω) = I2(jω)/I1(jω) = KI(ω)ejφi(ω),

где I2(jω), I1(jω) – комплексные амплитуды токов на выходе и на входе цепи; KI(ω) = I2/I1, φi(ω) = φi2(ω) – φi1(ω) – модуль и аргумент KI(jω).

3. Комплексное передаточное сопротивление

Z21(jω) = U2(jω)/I1(jω) = Z21(ω)ejφz(ω).

4. Комплексная передаточная проводимость

Y21(jω) = I2(jω)/U1(jω) = Y21(ω)ejφy(ω).

Комплексная передаточная функция как и всякое комплексное число может быть записана в показательной, тригонометрической и алгебраической

форме соответственно:

	T(jω) = T(ω)ejφ(ω),
	T(j ) = T( )cos φ(ω) + j T( )sin φ(ω),	(6.5)
	T(j ) = A( ) + j B( ).

T(ω) – модуль КПФ равен отношению амплитуд отклика и воздействия. Зависимость модуля T(ω) от частоты ω называется амплитудно-

частотной характеристикой (АЧХ) цепи.

φ(ω) – аргумент КПФ равен разности начальных фаз отклика и воздействия.

Зависимость аргумента φ(ω) от частоты ω называется фазо-частотной

характеристикой (ФЧХ) цепи.

A( ) = T( )cos φ(ω) и B( ) = T( )sin φ(ω) – вещественная и мнимая части КПФ.

АЧХ и ФЧХ цепи, которые строятся раздельно, образуют комплексную частотную характеристику (КЧХ) цепи. АЧХ и ФЧХ можно изобразить и в виде одной зависимости, называемой амплитудно-фазовой характеристикой или годографом КПХ. В этом случае строят зависимость КПФ T(j ) от частоты ω на комплексной плоскости. Годограф представляет собой геометрическое место концов вектора T(jω) = A(ω) + jB(ω) соответствующих изменению частоты от нуля до бесконечности. На годографе указываются точки, соответствующие некоторым значениям частоты, и стрелкой показывают направление перемещения конца вектора при увеличении частоты.

На рис. 6.3 показаны примеры характеристик комплексного коэффициента передачи: АЧХ –а), ФЧХ – б), АФХ – в).

	45
	90		в)
а)		б)	в)
		б)
		Рис.6.3
		Рис.6.3

Комплексная передаточная функция T(jω) рассчитывается методом комплексных амплитуд, по которому токи и напряжения представляются комплексными амплитудами İ = I(jω), Ŭ = U(jω), а сопротивления и проводимости - комплексными параметрами. Для удобства в промежуточных аналитических расчетах в комплексных функциях производят замену переменных. Например,

K(jω) = K(p), jωL = pL, 1/jωC = 1/pC и т.д.

Переменная p = s + jω называется комплексной частотой.

В результате такой замены передаточная функция (6.5) представляется дробно–рациональной функцией T(p) переменной p. T(p) называют оператор-

ной передаточной функцией

T ( p)	M ( p)	a	m	p m a	m 1	p m 1 a	0	.	(6.6)
T ( p)	N ( p)	b p n b				p n 1 b		.	(6.6)
	N ( p)	b p n b				p n 1 b
			n	n 1		0
			n			0

Рис.6.4.

Для упрощения дальнейших численных расчетов принято нормировать числитель на коэффициент am, а знаменатель – на коэффициент bn. Тогда выражение (6.6) примет окончательный вид

где

m 1

T ( p) T

n 1

, b

/b .

(6.7)

		Пример 6.2. Получить выражение операторно-
R1		го коэффициента передачи по напряжению на емко-
L	R3	го коэффициента передачи по напряжению на емко-
L
		сти KUC(p) = UC(p)/E(p) для схемы, изображенной на
e(t)	UC	сти KUC(p) = UC(p)/E(p) для схемы, изображенной на
R2	C	рис. 6.4. R1 = 10 кОм, R2 = 10 Ом,
R2		рис. 6.4. R1 = 10 кОм, R2 = 10 Ом,
		R3 = 100 кОм, L = 1 мГн, C = 10 пФ.

Решение. Напряжение UUC(p) является откликом в данной задаче, который нужно рассчитать. Для этого можно применить известные методы расчета цепей (метод узловых напряжений, контурных токов, метод четырехполюсника и др.). Наиболее просто эта задача решается методом узловых напряжений. Для этой схемы нужно записать только одно уравнение по первому закону Кирхгофа, так как в схеме один независимый узел.

					1
U		(p) G		G	1		pC	E(p) G	0.
U		(p) G		G			pC	E(p) G	0.
	C		1	3	pL R	2		1
						2

Таким образом,

		U	C	(p)					g (pL R		)
K		(p)	C						1	2					.
K	Uc	(p)				2									.
	Uc	E(p)			p	2	LC p[L(G		G	) R C] 1 R (G			G		)
		E(p)			p		LC p[L(G	1	G	) R C] 1 R (G			G	3	)
								1	3	2	2	1		3

(6.8)

После подстановки значений параметров элементов в формулу (6.8) получится численное выражение коэффициента передачи

K	Uc	(p)
	Uc

	10	4		(p10		3	10 )

	14		2					7
10		p			1.1 10				p

(6.9)

Поделим числитель и знаменатель на коэффициенты am и bn и представим выражение (6.9) в виде формулы (6.7)

			7			(p 10		4	)
K		(p) 10				(p 10			)	.

	Uc				2		7		14
	Uc			p	2	1.1 10	7		14
				p		1.1 10		p 10

6.3. Особые точки передаточной функции.

(6.10)

Операторная передаточная функция T(p), как правило, имеет вид правильной рациональной дроби вида (6.7). Однако, если разложить числитель и знаменатель на множители, то передаточную функцию можно записать в виде

M ( p)

( p p

)( p p

)...(p p

)

T ( p)

N ( p)

( p p

)( p p

)...(p p

)

(6.11)

Здесь p01, p02 , …p0m – корни уравнения числителя					Im
					Im
M(p) = 0. Их называют нулями функции T(p).	P *1
Корни уравнения знаменателя N(р) = 0 p1, p2,				8 106
Корни уравнения знаменателя N(р) = 0 p1, p2,
…p*n называются полюсами функции T(p).			Smax
			Smax
Нули и полюсы функции (6.11) являются особыми
точками, по которым можно, в частности, оценить диа-					Re
пазон частот, в пределах которого рассчитываются ча-		-5 106	P0
пазон частот, в пределах которого рассчитываются ча-		-5 106	P0
стотные характеристики.
Графическое изображение нулей и полюсов функ-
ции на плоскости операторной переменной	P *2				8 106
р = s + jω называется диаграммой или картой нулей и	P *2			-	8 106
р = s + jω называется диаграммой или картой нулей и		Рис. 6.5
полюсов (рис. 6.5). Вещественную и мнимую оси обо-		Рис. 6.5
полюсов (рис. 6.5). Вещественную и мнимую оси обо-

значают соответственно s и ω, нули изображают кружочками, а полюсы - крестиками. Масштаб по обеим осям должен быть одинаковым.

Пример 6.3. Рассчитать нули и полюсы передаточной функции (6.10), полученной в примере 6.2, и построить диаграмму особых точек.

Решение.

K		(p) 10	7
	Uc

		(p 10		4	)
		(p 10			)
p	2	1.1 10	7		14
p		1.1 10		p 10

Рассчитаем нули и полюсы передаточной функции

Числитель M(p) = p + 104 = 0.

p01 = 104 нуль.

Знаменатель N(p) = p2 + 1.1·107 p + 1016 = 0.

p*1,2 = (-5.5·± j8.35)·106 – два полюса.

При построении карты нужно соблюдать одинаковый масштаб по действительной и мнимой осям, как это сделано на рис. 6.5.

6.4. Вывод формул частотных характеристик функции

Для получения аналитических выражений частотных характеристик передаточной функции производят в формуле (6.7) обратную замену переменных p = jω и группируют действительные и мнимые части числителя и знаменателя

T ( j ) T

( j )m am 1( j )m 1 a0

A( ) jB( )

T ( )e j ( ) ,

n 1

0 C( ) jD( )

( j )

bn 1

( j )

где A(ω), C(ω) – действительные, B(ω), D(ω) – мнимые части; T(ω) – модуль,

φ(ω) – аргумент передаточной функции.

Выражением АЧХ является модуль T(ω) функции T(jω)

( ) B

( )

T ( ) T

(6.12)

( ) D

( )

Выражением ФЧХ является аргумент φ(ω) функции T(jω). Аргумент

можно получить в виде разности аргументов числителя φчисл(ω) и знаменателя

φзнам(ω) комплексной функции передачи

( ) числ ( ) знам ( ) .

(6.13)

Как известно из теории комплексных чисел

формула

аргумента φ(ω)

комплексного числа

2 четверть

1 четверть

M(jω) = A(ω) + jB(ω) зависит от знака действи-

тельной A( ) и мнимой B( ) частей, т.е. от по-

ложения точки M(jω) на комплексной плоскости

-A

(рис. 6.6):

A jB ; M

A jB.

3 четверть

4 четверть

-B

Если точка находится в первой или во вто-

Рис. 6.6

рой четвертях, то угол измеряется от действи-

тельной оси против часовой стрелки; если в третьей или в четвертой – то от

действительной оси по часовой стрелки, как показано на рис. 6.6, и аргумент

принимается отрицательным.

Таким образом, формулы для определения аргумента в различных чет-

вертях имеют следующий вид:

1 четверть:

2 четверть:

arctg

arctg .

arctg

arctg .

(6.13)

3 четверть:

4 четверть:

arctg

arctg .

arctg

arctg .

(6.14)

Отсюда следует, что выражение ФЧХ может быть записано несколькими

формулами, каждая из которых справедлива в некотором своем диапазоне ча-

стот. Граничные частоты диапазонов определяют по знаку действительных и

мнимых частей числителя и знаменателя комплексной передаточной функции.

Для построения АФХ (годографа) целесообразно воспользоваться не по-

казательной формой комплексного параметра T(jω) = T(ω)ejφ(ω), а алгебраиче-

ской формой T(jω) = A(ω) + jB(ω) = T(ω)cosφ(ω) + jT(ω)sinφ(ω). Это объясня-

ется тем, что годограф проще построить в декартовой системе координат, а не в полярных координатах. Таким образом, формулы координат годографа легко получаются в результате расчеты АЧХ и ФЧХ

A(ω) = T(ω)cosφ(ω); B(ω) = T(ω)sinφ(ω).	(6.15)

Пример 6.4. Получить аналитические выражения АЧХ, ФЧХ и АФХ коэффициента передачи (6.10) цепи в примере 6.2.

Решение.

K		(p) 107			(p 104 )
K	Uc	(p) 107	p	2	1.1 10	7	14
			p		1.1 10		p 10

Проведем замену p = jω и выделим действительные и мнимые части в числителе и знаменателе

			7	10		4		j
K		( j ) 10								.

	Uc		14		2				7
							) j1.1 10
			(10

(6.16)

Модуль коэффициента передачи т.е формула АЧХ имеет вид

			7		10		8	2
K		( ) 10			10								.

	Uc		14	2		2			7	2		2
	Uc		14	2	)	2	(1.1 10		7	2	)	2
			(10		)		(1.1 10				)

(6.17)

Для получения выражения ФЧХ по формуле φ(ω) = φчисл(ω) – φзнам(ω) проведем анализ числителя и знаменателя выражения комплексного коэффициента передачи (6.16). Числитель M(j ) = (104 + j ) является комплексным числом с положительными действительной и мнимой частями во всем частотном диапазоне. Поэтому применяем формулу аргумента для первой четверти

	( ) arctg(		).
числ		104

Мнимая часть знаменателя D(ω) = 1.1 107ω положительная при любых значениях частоты. Знак действительной части C(ω) = (1014 – ω2) меняется при изменении частоты.

При определенной частоте ω = ω0 действительная часть может быть равна нулю C(ω0) = (1014 – ω02) = 0. Эта частота равна ω0 = 107. Аргумент знаменателя на этой частоте равен

знам ( 0 ) / 2.

На частотах ω < 107 действительная часть знаменателя C(ω) > 0. Поэтому φзнам(ω) нужно рассчитывать по формуле (6.13) для первой четверти

	( ) arctg	1.1 107			.
знам		14	2	)

		(10

На частотах ω > 107 действительная часть знаменателя C(ω) < 0 . Поэтому φзнам(ω) нужно рассчитывать по формуле (6.13) для второй четверти

		1.1 10	7
	( ) arctg				.
знам		14		2

		10

Таким образом, ФЧХ коэффициента передачи в данном примере будет описываться различными формулами для следующих частотных областях

1) ω < 107

				1.1 10	7
( ) arctg(			) arctg				;
		4		14		2
	10						)
				(10

2) ω = ω0 =107

						0						3
(		) arctg(						)		arctg10				0;

	0						4		2				2
	0			10			4
				10
3) ω > 107
											1.1 10		7
( ) arctg(							) arctg				1.1 10				.
			10		4						14			2


											10

(6.18)

Амплитудно-фазовую характеристику (годограф) удобнее строить в декартовой системе координат на комплексной плоскости K(jf) = A(f) + jB(f). Для этого нужно провести расчет по формулам 6.19

A( ) = K( )cosφ( ); B( ) = K( )sinφ( ).	(6.19)

6.5. Расчет и построение частотных характеристик

Численный расчет проводят по аналитическим выражениям АЧХ, ФЧХ, АФХ. В качестве переменной используется циклическая частота f. Результаты вычислений приводят в таблице:

Частота, f	Модуль T(f)	Аргумент (f)	A(f)	B(f)

Расчет частотных характеристик всегда проводят в определенном (ограниченном) диапазоне частот, в котором проявляются основные частотные свойства электрической цепи. Величину диапазона частот можно оценить с помощью особых точек (нулей и полюсов) операторной передаточной функции.

В качестве нижней граничной частоты fн можно принять значение, близкое к величине

fн	Smin	,	(6.20)
	2 (2 4)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>