Лекции и пособия / Расчёты при растяжении-сжатии

16

Усилия N1, N2, N3 должны удовлетворять условиям равновесия бруса АB. Брус нагружен внешней нагрузкой P и q и усилиями N1, N2, N3, которые представляют в совокупности плоскую систему сил, поэтому для бруса АB имеем три уравнения равновесия:

пр x 0;пр y 0;

момC 0.

Запишем эти равнения:

Psin45 N2 sin30 0;

Pcos45 N2 cos30 N1 - N3 q 2l 0;

Pcos45 l N3 2l q 2l l 0.

Из третьего уравнения

N3 21l ( Pcos45 l 2 ql2) 21l ( 2 qlcos45 l 2 ql2)

ql (cos45 1) 1,707 ql 1,707 15 103 2 51210Н 51,21 кН.

Продольное усилие N3 отрицательно, значит, стержень 3 сжат. Из первого уравнения

N2 Psin45 2 qlsin45 2,828ql 2,828 15 103 2 84,84 кН. sin30 sin30

Продольное усилие N2 положительно, значит, стержень 2 растянут. Из второго уравнения

N1 Pcos45 N2 cos30 N3 2 ql 2 ql cos45

2,828ql cos30 ( 1,707ql) 2ql 1,328ql 1,328 15 103 2 39,84 кН.

Продольное усилие N1 положительно, значит, стержень 1 растянут.

Для проверки правильности найденных усилий в опорных стержнях составим уравнение равновесия: мом A 0:

N2 cos30 l N3 3l q 2l 2l N1 l 0,

2,828ql cos30 ( 1,707ql) 3 4ql 1,328ql 0,

17

6,449 6,449 0,

значит, существует тождество 0 0, которое говорит, что усилия в стержнях найдены верно.

2. Подбор размеров поперечного сечения стержней.

Подбор размеров сечения стержней выполняется по условию прочности по допускаемым напряжениям при растяжении-сжатии (1.4), согласно которому для каждого стержня

поперечное сечение стержня. Пусть стержень 1 ‒ квадратного сечения, стержни 2 и 3 ‒ круглого.

Для 1-го стержня квадратного сечения площадь F1 a2 , где a –

сторона квадрата. Стержень 1 растянут, условие прочности (1.11) для него принимает вид

σ1 N1 σр .

F1

Подставляя выражение площади квадратного сечения, получим

Na12 σр ,

Принимаем a 3,2cм.

Замечание 2: полученное из условия прочности значение размеров сечения округляется в бо'льшую сторону.

18

Для 2-го стержня круглого сечения площадь поперечного сечения

поэтому условие прочности (1.11) для него принимает вид

получим

Принимаем в соответствии со знаком «больше либо равно» d2 3cм.

Составим условие прочности для 3-го стержня. Стержень 3 сжат, то по условию (1.11)

σ3 N3 с .

F2

Замечание 3: для сжатого стержня в условие прочности ставим модуль продольной силы.

Подставляя площадь круглого сечения F3 0,25πd2 , получим

Принимаем d3 2,4cм.

Задача 2. Подбор размеров сечения стержней фермы

22

N4 N3 cos45 99,56 cos45 0;70,4 N3 sin45 99,56 sin45 0.

Отсюда

N3 sin145 70,4 99,56 sin45 0,

N4 99,56 cos45 N3 cos 99,56 cos45 0 70,4 кН.

Стержень 3 не растягивается и не сжимается, поскольку продольное усилие в нём равно нулю. Т.к. продольное усилие N4 отрицательно, то

стержень 4 сжат.

Сдедующим вырезаем узел F (рис. 1.5, д), для которого уравнения равновесия по (1.14) будут

деформируется, поскольку продольное усилие в нём равно нулю. Усилие N5 отрицательно, это означает, что стержень 5 сжат.

Поскольку конструкция симметричная, то достаточно рассмотреть лишь одну её половину и можно записать внутренние усилия в симметричных стержнях второй половины,т. е. усилия попарно равны

3. Подбор размеров сечения стержней

Размеры поперечного сечения стержней подбираем из условия прочности по допускаемым напряжениям, которое при растяжении-сжатии по (1.4) имеет вид

σi Ni σ ,

Fi

23

где σi – нормальное напряжение в стержне; σ – допускаемые

нормальное напряжение, здесь при растяжении и сжатии они одинаковы; Ni – продольное усилие в стержне; Fi – поперечное сечение стержня.

Для растянутых стержней нужно выбирать номер швеллера. Если нет дополнительных условий, считаем все растянутые стержни одинакового сечения. Максимальные растягивающие усилия Nmaxр 70,4 кН, тогда из условия прочности требуемая площадь сечения

растянутых стержней

По таблице ГОСТ 8240-93 (табл.5 Приложения) выбираем швеллер № 5 с площадью F 6,16см2 для стержней 2 и 8.

Для сжатых стержней выбираем кольцевое сечение, для которого

Принимаем диаметр d 3cм для стержней 1, 4, 5, 9.

Стержни, в которых N 0, можно принять также круглого сечения, поэтому для стержней 3, 6, 7 принимаем диаметр d 3cм.

Задача 3. Проектный расчёт ступенчатого бруса

Для стального ступенчатого бруса (рис. 1.6, а) задана конфигурация и известна внешняя нагрузка.

Требуется:

24

1.Построить эпюру продольных сил N .

2.Составить выражения для нормальных напряжений σ по всем участкам бруса, используя указанные на схеме бруса значения площадей сечения через неизвестную величину F .

3.Установить σmax , составить условие прочности бруса по

допускаемым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение F при σ 200МПа и назначить площади всех участков бруса, соблюдая

указанное соотношение между ними.

4. Построить эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений δ , считая модуль упругости E 2 105 МПа. Указать δmax и

проверить жёсткость при допускаемом продольном перемещенииδ 0,5мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, назначить новые площади сечений.

5. Для опасного сечения бруса вычислить касательные τα и нормальные σα напряжения в наклонной площадке, проведённой под

углом α=45° к оси бруса.

6. Какую силу P0 нужно приложить к свободному торцу бруса,

чтобы вернуть его в первоначальное положение?

Исходные значения: l 1,2 м; q 20 кН/м; P 3ql.

Решение

1. Построим эпюру продольных сил N .

Вычислим значения продольных сил методом сечений. Данный брус состоит из 3-х участков. Будем рассматривать отсечённые участки для каждого участка, начиная со свободного конца (рис. 1.6, б, в, г). При этом продольную силу в сечении, которая является внутренним усилием, всегда изображаем положительной, т.е. растягивающей рассматриваемый участок.

Уравнение равновесия для отсечённой части каждого участка при растяжении-сжатии представляет собой равенство нулю суммы проекций всех сил на продольную ось (1.1), т. е. пр z 0.

Записывая это уравнение последовательно для всех участков получим продольные силы для каждого участка:

N1 P 3ql;