Лекции и пособия / Расчёты при растяжении-сжатии

36

Откладывая полученные значения от базисной линии, построим эпюру распределения нормальных напряжений по длине балки (эпюру ) (рис. 1.7, е).

Построим эпюры продольных перемещений .

Сначала подставляем в полученные ранее выражения деформаций участков бруса найденные величины площадей и получаем значения деформаций.

0,22 10 3 м=-0,22мм.

37

Определим продольные перемещения характерных сечений, обозначив сечения буквами A, B, C, D.

A 0, т.к. точкаA находится в заделке; перемещения сечений B, C, D определяем с помощью (1.7):

δB l1 0,26 мм;;

δC l1 l2 0,26 0,04=0,22 мм;

D l1 l 2 l 3 0,26 0,04 0,22 0.

Продольное перемещение в сечении D оказался равным нулю, т.к. это сечение находится в заделке.

По полученным значениям построим эпюры продольных перемещений (рис. 1.7, ж). Уточним линию на первом участке, где имеем линейный характер силы N1 и пересечение её эпюры с базисной

линией в сечении K при z1 zK1 :

значит условие жёсткости выполняется.

6. Касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке

Для опасного сечения бруса вычислим касательные τα и нормальныеα напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом α = 45° к оси бруса. Напряжения на наклонных площадках вычисляют по известным формулам (1.10):

38

τα σ2 sin2α 1942 sin2 45=97МПа, σα σ cos2α 194 cos2 45 194 0,5=97МПа.

7. Температурные напряжения

Вычислим температурные напряжения, возникающие при повышении температуры среды на 40°. Для этого составим уравнение перемещений (1.17), учитывая удлинение от температуры и сжатие от реакций, возникающих в заделках. При этом удлинение определяем по формуле

Вычислим наибольшие температурные напряжения σt , которые будут возникать в более тонком месте − на 1-м участке:

8. Влияние зазора на величину реакций

В случае зазора при действии температуры торец бруса переместиться за счёт деформации на величину зазора. Поэтому величины реактивных сил должны удовлетворять уравнению перемещений, в котором правая часть равна 0,0001∙L1:

RAt EFl 1,8lEF 1,8lEF t (l l l) 0,0001 l.

39

Как видим, значение температурных реакций при наличии зазора уменьшается.

Задача 5. Проектныйрасчёт стержневойстатически неопределимой системы прирастяженииисжатии

В статически неопределимой стержневой системе абсолютно жёсткий брус AB опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен двумя упругими стержнями к неподвижной опорной поверхности (рис. 1.8, а). Брус несёт нагрузку известной величины, l 1,6м, q = 20 кН/м; P 2ql .

Требуется:

1.Найти усилия в упругих стержнях, используя уравнения равновесия и уравнение перемещений.

2.Подобрать площади поперечных сечений стержней, используя условия прочности по допускаемым напряжениям и по методу

предельного состояния, если допускаемое напряжение =200МПа, предел текучести т = 320МПа, запас прочности n = 1,6.

3. Вычислить температурные напряжения, возникающие в стержнях при повышении температуры среды на 15˚С. Принять коэффициент линейного удлинения =1,25∙10-5 1/град.

Решение 1.Нахождение усилий в стержнях.

Статически неопределимые стержневые системы – это системы, в которых количество стержней превышает количество уравнений равновесия.

Брус АВ имеет шарнирно подвижные опоры в точках А и В и шарнирно-неподвижную в точке K. В опорах возникают реакции RAC, RBD, RK и HK (рис. 1.7, б). Для плоской системы можно составить три уравнения равновесия, а неизвестных четыре, значит, заданная система имеет одну «лишнюю» связь, и степень ее статической неопределимости 1.

При расчётах необходимо знать продольные силы, возникающие во всех стержнях. Для нахождения этих усилий дополнительно к уравнениям

40

равновесия составляют уравнения, учитывающие характер деформации системы. Их называют уравнениями совместности деформаций (или уравнениями перемещений). Число их равно количеству «лишних» (с точки зрения статики) связей системы и характеризует степень её статической неопределимости. Использование уравнений перемещений основано на том, что деформации стержней можно выразить через

неизвестные продольные силы по формуле l EFNl и сравнить между

собой.

Под действием внешней нагрузки брус АВ займет положение А1В1

(рис. 1.7, г). Горизонтальными перемещения концов А и В пренебрегаем в силу малости деформаций в таких несущих конструкциях. Отрезок АА1 есть деформация стержня АС, назовем её l1. На первоначальной длине

стержня DВ отложим его новую длину DВ1 (считаем, что В1В2 DВ). Отрезок ВВ2 – укорочение стержня DВ, обозначим его l2. Из BB1B2

h l2 . cos45

Запишем связь между деформациями l1 и l2 из подобия треугольников AA1K ~ BB1K :

Выразим деформации l1 и l2 через продольные усилия, возникающие в

стержнях АС и DВ. Чтобы «увидеть» эти усилия, отсечём систему по шарнирам С и D, а для сохранения равновесия приложим в этих шарнирах реакции N1 и N2 (рис. 1.8, б), взяв направление в соответствии с деформа-

цией удлинения l1 и укорочения l2: усилие N1 покажем растягивающим, а усилие N2 − сжимающим. Или выполнив разрез системы по шарнирам А и В (рис. 1.8, в), покажем усилиями N1 и N2

воздействие разрезанных частей системы друг на друга. Здесь хорошо видно, что N1 и N2 вызывают соответственно растяжение и сжатие

стержней. Какизвестно,деформациисвязаныспродольными усилиями:

41

l1 N1l1 и l2 N2l2 . EF1 EF2

Подставив эти выражения l1 и l2 в (1.19), получим уравнение совместности деформаций в виде:

Так как не требуется определить реакции в жёсткой опоре K, составим только одно уравнение равновесия ∑ мом К = 0:

N1l N22lcos45 Pl q2l 0, или N1 N2 222 2ql 2ql 0,

а

42

б

в

Рис. 1.8

43

г

д

Рис. 1.8 (окончание)

2. Подбор размеров сечений стержней.

Необходимые размеры поперечных сечений стержней определяют из условий прочности по допускаемым напряжениям или по предельному состоянию. В случае неодинакового сопротивления материала растяжению и сжатию условие прочности по допускаемым напряжениям имеет вид:

45

Отсюда найдём предельное значение

которых система будет безопасной, можно найти, используя коэффициент запаса прочности n: увеличиваем полученное значение Fпред в n раз, т. е.

Как и следовало ожидать, эти величины F получились меньше, чем по методудопускаемыхнапряжений.

3. Вычисление температурных напряжений.

Найдём напряжения t , появляющиеся при повышении температуры

среды на 15ºС. В статически неопределимых системах с повышением температуры окружающей среды уже при отсутствии внешней нагрузки возникают напряжения, так как каждый стержень стремится удлиниться на

величину lt t l , а этому препятствует другие стержни и опоры

системы (рис. 1.8, д). В результате в стержнях возникают продольные усилия Nt . Здесь деформация каждого стержня l слагается из

прежней, как и при нахождении усилий N и напряжений от внешней нагрузки.

Пусть при повышении температуры брус АВ займет положение А1В1. Тогда стержень АС получит сжатие на величину lt1=АА1, а стержень DВ -

Nt1 и Nt2 растягивающими и запишем деформации стержней: