Теоретические основы химической технологии (ответы на билеты)

Из определения скорости и плотности следует, что локальная скорость эффективной среды совпадает с локальной скоростью центра масс n-компонентной смеси и уравнение неразрывности в

локальной форме для эффективной среды можно записать:

Отсюда можно дать определение «эффективной» среде – среда с плотностью и

скоростью .

Представление потоков компонентов суммой диффузионной и конвективной составляющих, линейная зависимость диффузионных потоков:

Рассмотрим полный массовый поток k-го компонента суммой конвективного и «диффузионного» потоков: Jk = ρkvk = JkC + JkD. По определению, конвективный поток k-го

компонента движется со скоростью эффективной среды и следовательно, JkC = ρkv . Диффузионный поток k-го компонента определяется, как разность между полным и его

конвективной составляющей: Из данных определений потоков следует, что диффузионные потоки являются линейно зависимыми векторными функциями, которые

удовлетворяют соотношение:

Следовательно, что в отличие от массовых потоков, только (n-1) диффузных потоков независимы.

Представление диффузионных потоков законом Фика, проблема линейной зависимости диффузионных потоков по Фику:

Делаем предположение, что JkD = - Dk ρk . И теперь рассматриваем побудительную силу диффузионного потока, как сдвиговый поток относительно потока со скоростью центра масс, является градиент массовой плотности компонента. Но тогда ниоткуда не следует, что таким образом определенные диффузионные потоки окажутся линейно зависимыми. Для этого накладываем на диф потоки дополнительное условие линейной зависимости диффузионных

потоков:

Это условие достигается подобранными коэффициентами диффузии( которые не являются таковыми, как в физико-химической теории).

Уравнение конвективной диффузии компонента среды:

Воспользовавшись общим определением потока и соотношениями для различных потоков выше, то уравнение материального баланса k-го компонента смеси можно преобразовать в форму

уравнения конвективной диффузии:

, где ∆ - оператор Лапласа:

Если воспользоваться соотношением ρk = Ck/Mk и JkD = - Dk Ck то уравнение материального баланса k-го компонента среды:

Где Сk – мольная концентрация k-го компонента среды, Мk – молекулярная масса k-го компонента.

13. Силы в механике сплошных сред. Тензор напряжений как сумма тензора давлений и тензор вязких напряжений. Дивергентная сила. Закон сохранения импульса и уравнения движения,. Уравнение Навье – Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости (поясните по схеме). Граничные условия «прилипания». Число Рейнольдса (физический смысл). Стационарное течение вязкой жидкости в цилиндрическом канале. Коэффициент гидравлического сопротивления. Качественное объяснение экспериментальной зависимости коэффициента гидравлического сопротивления трубы от числа Рейнольдса.

Силы, которые действуют на сплошную среду, принято классифицировать на объёмные (внешние или дальнодействующие поля) и поверхностные – это силы, с которыми одна часть сплошной среды действует на другую часть сплошной среды (к ним относятся давление и вызкое трение).

Тензор напряжений как сумма тензора давлений и тензор вязких напряжений. Дивергентная сила:

Напряжение – внутренние силы, возникающие в деформируемом теле, характеризующие сопротивление изменению расстояния между частицами в сплошной среде. В механике сплошных сред силу, действующую на ед.площадку, ориентированную радиус-вектором n, представляют в виде тензора напряжений:

Этот тензор можно представить в виде нормальной составляющей (давление) и тангенциальной составляющей (вязкое трение): Р = – рЕ +

П. Тензор давления – диагональная матрица, определяющая только растяжение, без сдвигов, оно одинаково со всех сторон и не может приводить к сдвигу:

Тензор вязких напряжений определяется из уравнений механики Ньютона. При обтекании твердой пластины стационарным потоком жидкости на поверхности пластины скорость течения равна 0. По мере удаления от пластины скорость увеличивается, пока не достигнет скорости

стационарного потока. Сила вязкого напряжения: F = μ ∙ V – скорость течения, L – расстояние

до поверхности. Вязкие напряжения могут приводить как к сжатию/растяжению, так и к сдвигам. Поэтому вводят элементы тензора вязких напряжений, учитывая уравнение механики Ньютона:

Тензорному полю Р(r) можно сопоставить векторное поле сил, действующих на ед. объёма жидкости и определяемых как divP(r) = P(r). Эти силы и называют дивергентными. Дивергентные силы вычисляются в соответствии с правилами действия тензора на вектор:

Закон сохранения импульса и уравнения движения:

(аналогичный рисунок, как в вопросе 11) Составим уравнение баланса импульса для некоторого выделенного в простравнтсве объёма.В уравнении баланса импульса необходимо учитывать потоки импульса извне и источники импульса (приложенные силы). Скорость изменения импульса в объёме складывается из потока импульса через ограничивающую выбранный объём поверхность, импульсом объёмных сил и импульсом поверностных сил, которые мы определили через тензор напряжений Р (для α-компоненты импульса):

Используя теорему Остроградского-Гаусса, формулу векторного анализа и уравнение неразрывности в пределе при V стремящегося к 0 получаем три уравнения покоординантного баланса импульса:

+ ∙ = ( ) + , = 1,2,3

Исходя из представления тензора напряжений суммой двух тензоров, можно получить две формы уравнения движения жидкости:

А) В общем случае, когда Р = – рЕ + П, тогда уравнения движения описывают движение вязкой жидкости и используют уравнение Навье-Стокса.

Б) В случае, когда тензор напряжений совпадает с тензором давлений: Р = – рЕ, тогда уравнения движения описывают движение невязкой (идеальной) жидкости и называются

уравнениями Эёлера

Уравнение Навье – Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости (поясните по схеме). Граничные условия «прилипания»:

Если воспользоваться координатами матрицы тензора напряжений pkα, то учтя условия несжимаемости после преобразования получаем выражение для α-й координаты вектора дивергентной силы divP. Подставив его выражение в локальное уравнение движения, то получим записанное в координатной форме уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнение Навье-Стокса):

Число Рейнольдса (физический смысл). Стационарное течение вязкой жидкости в цилиндрическом канале:

Для характеристики движения вязкой жидкости используют число Рейнольдса – отношение характерных времен вязкого переноса (молекулярного) L2/v и конвективного (инерционного)

переноса L/v на масштабе L: = ν

Если движение вязкой жидкости стационарное, то уравнение Навье-Стокса без внешних сил в координатной форме:

Стокса с учётом определения числа Рейнольдса примет вид:

Рассмотрим течение вязкой жидкости в цилиндрическом канале радиуса а. Из условия несжимаемости получаем, что v1 = v1(x2 , x3), откуда получаем:

Перейдя к цилиндрическим координатам и воспользовавшись формой оператора Лапласа (из справочников):

А) Граничные условия v1 = 0 (из условия «прилипания») при r = a. Тогда решение:

Б) При r = 0, второе слагаемое возрастает до бесконечности. Что в случае нашей задачи невозможно (так как нельзя подать бесконечную скорость), поэтому с1 = 0 и решение:

Коэффициент гидравлического сопротивления. Качественное объяснение экспериментальной зависимости коэффициента гидравлического сопротивления трубы от числа Рейнольдса:

Коэффициент гидравлического сопротивления – отношение, связывающее приложенную силу к кинетической энергии потока на выбранном масштабе задачи.

При малых числах Ре движение ламинарное, коэффициент сопротивления резко убывает с ростом числа Ре (равносильно уменьшению вклада вязкого трения, 64/Re). В области больших чисел Ре движение турбулентное, коэффициент сопротивления также убывает с ростом числа Ре, но более плавно, поскольку в турбулентном движении торможение определяется в большей степени неоднородностью при перемещении потока жидкости. Переходную область можно рассматривать, как конкуренцию турбулентного и ламинарного режимов, в следствии этой конкуренции происходит диссипация энергии (ламинарные потоки сталкиваются с турбулентными), коэффициент сопротивления резко возрастает.

14. Уравнения Эйлера движения идеальной жидкости (поясните по схеме). Баротропное движение идеальной жидкости, интеграл Бернулли. Формулы Бернулли и Торричелли. Интеграл Бернулли для изоэнтропического течения газов, взаимное превращение тепловой и кинетической энергии, температура торможения газового потока.

Первое уравнение – уравнение Эйлера в декартовой системе. Рассматриваются только

консервативные массовые силы, представляемые потенциалом ζ, так что = −

Имеем три уравнения Эйлера и уравнение непрерывности, а неизвестных функций 5. Для сжимаемой среды уравнения следует дополнить уравнением состояния: = (р)

Для несжимаемой среды плотность постоянная величина и уравнение неразрывности имеет

вид: 1 + 2 + 3 = 01 2 3

Кроме того, учитываются начальные и граничные условия.

Баротропное движение идеальной жидкости, интеграл Бернулли:

Применяем формулу векторного анализа на уравнение Эйлера:

В уравнении присутствует р/ρ = π, тогда получим уравнение Эйлера в форме Громеко-Лэмба:

или в стационарном режиме Движения, для которых существует такая функция π – баротропные, а сама функция π

называется функцией давления.

Если найти проекцию стационарного уравнения Эйлера в форме Громеко-Лэмба на линию тока и умножить скалярно обе части этого уравнения на произвольный малый вектор dl = (dx1 , dx2 , dx3), который соединяет две соседние точки на линии тока. Но в стационарном течении жидкости линии тока не совпадают с траекториями движения частиц, поэтому малый вектор, соединяющий две близкие точки на траектории, пропорционален вектору скорости частицы жидкости. Тогда всюду на линии тока должно выполняться:

Интегрирование этого равенства вдоль линии тока приводит к интегралу Бернулли:

Формулы Бернулли и Торричелли:

А) Формула Бернулли для несжимаемой жидкости: если жидкость несжимаема, то ρ = const

тяжести Земли ζ можно представить в виде gz, тогда формула Бернулли имеет вид уравнения,

которого называют гидродинамическим напором: Б) Формула Торричелли: Имеем открытый сосуд заполненный

жидкостью до высоты H относительно днища, вблизи которого проделана в боковой стене небольшое отверстие. Так как давление на поверхности жидкости и в сечении отверствия равны р0, то используя формулу выше, получаем уравнения справа (которая вместе с рисунком). Это и есть формула Торричелли, позволяющая вычислить скорость жидкости, вытекающей из малого отверствия открытого широкого соуда.

Интеграл Бернулли для изоэнтропического течения газов, взаимное превращение тепловой и кинетической энергии, температура торможения газового потока:

Для использования формулы Бернулли для газовых потоков следует их рассматривать квазиравновесно (S = const), где быстрые газовые потоки, которые не успевают обмениваться теплотой с окруж. средой. Такое упрощение позволяет рассматривать плотность, как функцию от

давления, для которой, воспользовавшись адиабатой Пуассона, получим Так же нагладывается ещё одно условие – изоэнтропичность, когда функция давления

Температурное «торможение» газового потока:

Если пренебречь потенциальным полем внешних сил (ζ = 0), то из 2 + = следует

2

важный вывод: вдоль траектории сохраняется полная энтальпия газа. А это значит , используя

, мы приходим к . Из чего следует, что чем меньше скорость стационарного газового потока, тем выше его температура (и наоборот). И максимальную температуру газа, при которой газовый поток остановится (v = 0) называют температурой «торможения» газового потока.

Если же в качестве начальной точки взять точку, где скорость равна нулю, то получим:

Вывод из уравнения: при стационарном изоэнтропическом течении газового потока на линии тока имеет место взаимопревращение кинетической энергии газового потока и энергии теплового движения молекул газа.

15. Уравнение звуковой волны, скорость звука при изотермическом и изоэнтропическом режимах распространения звуковой волны. Применение звука в химической технологии для улучшения грануляционного состава порошкообразных удобрений. Число Маха. Задача Гюгонио о течении газа в трубе переменного сечения. Переход от дозвукового к сверхзвуковому течению (сопло Лаваля).

Записываем уравнение Эйлера в отсутствии внешних сил и уравнение непрерывности:

- в начале, когда среда покоится (v=0 , T,p и ρ = const) При небольшом возмущении новые параметры уже отличаются от невозмущённых на

малую добавку: р + р’, Т + Т' откуда получаем:

И если продифференцировать первое уравнение по х, а второе по времени и вычесть одно из другого, получим дифференциальное волновое уравнение:

Теперь рассмотрим два режима распространения звуковой волны в газе:

А) Предположим, что звуковая волна распространяется в изотермическом режиме, тогда

(используя уравнение состояния ид. газа ):

Решение полученного уравнения даёт:

с- скорость волны

Если подставить данные о молекулярном весе воздуха, нормальную температуру, то получим, что скорость звуковой волны 280 м/с, что ниже теоретической (331 м/с). Причина этому: на временах порядка времени распространения звуковой волны в газовой фазе, теплота, выделяющаяся при сжатии, не успевает рассеиваться в окружение.

Б) Теперь рассмотрим изоэнтропический режим (S = const): необходимо использовать адиабату Пуассона:

После разложения степенной функции в ряд по малой величине ρ’/ρ получим:

Окончательно получаем:

Решение волнового уравнения аналогично: Если подставить данные о молекулярном весе воздуха, нормальную температуру, то

получим (показатель адиабаты воздуха γ = 1,41) скорость звука равной 330 м/с.

Применение звука в химической технологии для улучшения грануляционного состава порошкообразных удобрений:

Удобрения в форме порошка получают сушкой капель раствора минеральных удобрений, причем капли образуются в результате диспергирования струи на отдельные капли. Экспериментально установлено, что перед диспергированием вытекающая из распылительной головки струя представляет собой последовательность утолщений, соединенных между собой тонкими цилиндрическими перемычками. Вследствие этого в результате диспергирования струи образуются две фракции капель: основная фракция, соответствующая утолщениям порядка доли мм, на которую приходится большая часть

массы раствора, и фракция капель-спутников диаметра порядка нескольких мкм, соответствующая цилиндрическим перемычкам. В результате последующей сушки также образуются две фракции кристаллов. Минеральные удобрения часто приходится пересыпать из одной емкости в другую, в результате мелкие кристаллы переходят в воздух, образуя пыль и делая его непригодным для дыхания рабочих и создавая условия для пожара и взрыва.

Если на струю направить акустическую волну звуковой частоты большой мощности ( 300 Вт/м2), то упомянутые перемычки, соединяющие утолщения струи, приобретают не цилиндрическую, коническую форму с одним заостренным концом. В результате диспергирования образовавшийся носик имеет очень малый радиус кривизны, благодаря чему под воздействием капиллярного давления, величина которого обратно ~ радиусу кривизны, быстро втягивается в каплю без образования капли-спутника. Теоретического обоснования такого поведения в настоящее время отсутствует. Но таким образом, получаемый продукт не содержит мелких кристаллов и является безопасным при выполнении различных операций. Установлено, что с увеличением частоты акустической волны уменьшается диаметр капель (d ~ f–1/3). Этот эффект связвн с тем, что вследствие воздействия акустических колебаний расход струи также испытвает колебания.

Число Маха. Задача Гюгонио о течении газа в трубе переменного сечения:

Число Маха – отношение скорости газа к скорости звука. M = v/c

Теперь используя = √ / , учёт баланса потоков на фронте и адиабату Гюгонио

можно рассчитать числа Маха до и после прохождения потоком через фронт ударной

волны:

Во всех известных газов γ > 1, то нетрудно убедиться, что при ρ2/ρ1>1 (скачок уплотнения), имеют неравенства М1 >1 и М2 <1. Следовательно, втекающий в волну поток всегда сверхзвуковой, а вытекающий – дозвуковой.

Задача Гюгонио:

Рассматриваем задачу о стационарном движении газа в канале переменного сечения в отсутствии внешних массовых сил. Площадь сечения трубы является главкой функцией А(х). Так как стационарный режим, то расход газа величина постоянная ρvA = const. Пренебрегая внешними

Применим условие изоэнтропического течения (S = const) с учетом формулы для скорости

звука ( с = (√ р) s ) получаем:

Комбинируя полученные два уравнения с основным соотношением, получаем уравнение

Переход от дозвукового к сверхзвуковому течению (сопло Лаваля):

В дозвуковой зоне течения Гюгонио ( М <1) с уменьшением площадки сечения скорость среды возрастает. В силу непрерывности там, где скорость достигает скорости

звука (М =1) из уравнения Гюгонио следует, что dA = 0. В сверхзвуковой зоне (М >1) с увеличением площадки сечения скорость среды возрастает. Здесь и парадокс: чем шире канал, тем больше скорость газового потока. Это наводит на мысль состыковать два канала – сужающийся и расширяющийся. Такой канал и называется – сопло Лаваля. (схема этого сопла находит применение в реактивных двигателях)

16. Ударная волна в химически инертном газе. Уравнения баланса массы, импульса и энергии при прохождении газом ударной волны. Адиабата Гюгонио и предел сжатия газа в ударной волне. Различие адиабат Пуассона и Гюгонио.

Пусть в некоторой области газа превышение давления сопоставимо или даже существенно превосходит невозмущенное давление в основной массе газа. Причём конечное возмущение сопровождается образованием ударной волны, толщина которой сопоставима с длиной свободного пробега молекул, поэтому моделью ударной волны является геометрическая поверхность нулевой толщины, разделяющая две массы газа с разными параметрами. Эта поверхность

– фронт ударной волны (2), помимо границы зоны изменения параметров среды

(1). Пренебрегаем кривизной толщины и задача представляется одномерной. Система координат связана с фронтом ударной волны. В силу малости переходной зоны никаких заметных источников или стоков в ней быть не может, что позволяет воспользоваться предположением о неразрывности на фронте

потоков массы, импульса и энергии (полной энтальпии):

И помимо этого уравнение состояния иделаального газа: Т = рМ/ρR, где М – молекулярная масса. При рассмотрении схемы ударной волны в химически инертном газе считается, что наблюдатель движется вместе с фронтом, в его системе координат газ из области с пониженным давлением «натекает» на фронт.

При переходе через ударную волну газ не претерпевает химических превращений, а значит теплоемкость и стандарные энтальпии образования по обе стороны фронта одинаковы. Разница энтальпий лишь вразности температур. Так как R = Cp – Cv , то уравнение непрерывности потока энергии:

Используя это уравнение, получаем другое относительно пар величин р и 1/ρ, характеризующих газ, прошедший через фронт ударной волны:

- адиабата Гюгонио

Вследствие большой скорости ударной волны, рассеянием теплоты в окружающую среду можно пренебреч, рассматривая сжатие газа на ударной волне, как адиабатический процесс. Но воспользоваться адиабатой Пуассона нельзя, поскольку при переходе частицы газа через фронт ударной волныпроисходит трансформация кинетической энергии частицы во внутреннюю энергию, скорость частицы падает, а внутренняя энергия и энтропия увеличиваются. Из адиабаты Гюгонио

1)Пуассон + уравнение состояния: описывает изменение ТД параметров статической порции газа, изоэтропическая, обусловлена работой сил давления Гюгонио + уравнение состояния: описывает изменение параметров движущейся порции газа,

обусловенной работой сил давления и необратимым процессом взаимодействия кинетичкской и внутренней энергией газового потока (энтропия увеличивается при проходе через фронт волны)

2)Пуассон: из-за обратимого сжатия не даёт ограничений в уплотнении газа

Гюгонио: предел уплотнения газа – в 6 раз.

17. Детонационная волна. Структура детонационной волны. Уравнения баланса массы, импульса и энергии на фронте детонационной волны. Детонационная адиабата. Отличие детонационной адиабаты от адиабаты Гюгонио. Волна Чепмена – Жуге. Октановое число топлива.

Детонационная волна представляет собой

«пакет» из ударной волны и примыкающей к фронту ударной волны малой зоны горения. Фактически это распространяющаяся в сплошной среде область возмущения параметров, включая химический состав газа, на конечную величину. Реакция горения быстрая, следовательно, толщина зоны горения, примыкающей к фронту ударной волны, практически нулевая. Поэтому в сравнении с масштабом явления область быстрого изменения параметров отождествляют с плоской поверхностью, называемой фронтом волны.

Схематично трансформацию ударной волны в детонационную можно представить следующим образом. Быстро проходя через ударную волну, исходная газовая смесь (p1,T1,v1,ρ1) адиабатически сжимается до параметров (p2,T2,v2,ρ2). Если газовая смесь является горючей смесью

ипри адиабатическом сжатии достигается температура воспламенения T, то смесь загорается и ударная волна трансформируется в детонационную волну с параметрами (p,T,v,ρ), отличными от параметров (p2,T2,v2,ρ2).

Если в результате адиабатического сжатия горючей газовой смеси на ударной волне достигается температура воспламенения смеси, то ударная волна трансформируется в детонационную волну. Малость примыкающей к фронту ударной волны зоны горения позволяет использовать термин «фронт детонационной волны». В детонационной волне происходит изменение газового потока при переходе через фронт волны в результате реакции горения, то есть дополнительное изменение энтальпии.

Быстрый переход газа через ударную волну можно рассматривать, как адиабатический, но воспользоваться адиабатой Пуассона мы не можем, так как переход газа через фронт необратимый (трансформация кинетической энергии во внутреннюю). Поэтому соответствие между плотностью

идавлением газового потока за фронтом (т.е. после зоны горения) и перед фронтом называют

детонационной адиабатой.

Отличие детонационной адиабаты от адиабаты Гюгонио:

А) неравновесные изменения ТМД параметров газовых потоков, так как внутренняя энергия газовой массы изменяется как вследствие работы сил давления при переходе через фронт волны, так и трансформации кинетической энергии потока.

Б) (р1, ρ1) совпадающая с параметрами входящего потока, принадлежит адиабате Гюгонио, но не принадлежит детонационной адиабате из-за разности энтальпий входящего и выходящего газового потока, которая как минимум не может быть меньше стандартной теплоты сгорания

В) интенсивность детонационной волны не может быть сколь угодно малой