4.4 Определение удельного электрического сопротивления

Удельное поверхностное сопротивление было определено с помощью четырёхзондового измерителя поверхностного электрического сопротивления ИУС-3 (рисунок 21). Определение удельного поверхностного сопротивления ρ_s таким прибором основанном на т.н. четырёхзондовом методе измерения удельного сопротивления (англ. Four Point Probe Resistivity Measurement Method). Перед описанием метода введём некоторые понятия.

Удельным электрическим сопротивлением ρ в идеальном случае, когда поперечное сечение S и физический состав исследуемого материала длиной l однородны по всему образцу, а электрическое поле и плотность тока везде параллельны и постоянны, называют произведение сопротивления материала R на отношение S и l:

Для менее идеальных случаев, таких как более сложная геометрия, или когда ток и электрическое поле отличаются в разных частях материала, необходимо использовать более общее выражение для удельного сопротивления (далее – УС).

Рисунок 21 – ИУС-3

В этом случае оно является не константой, а скалярной функцией координат – коэффициентом, связывающим напряжённость электрического поля и плотность тока в данной точке r. Указанная связь выражается законом Ома в дифференциальной форме:

Плотность тока J является величиной, характеризующей плотность потока электрического заряда. Определяется следующим образом. Плотность тока (заряда) есть вектор, сонаправленный вектору скорости v носителей заряда dq данного вида, дрейфующих под действием электрического поля в единицу времени dt через данную точку (в пределе) или площадку dA, стремящуюся к данной точке и ортогональную вектору скорости:

Также нужно понимать, что выражение (1') справедливо для неоднородного, но изотропного вещества. Вещество может быть и анизотропно (большинство кристаллов, намагниченная плазма и т.д.), то есть его свойства могут зависеть от направления. В этом случае удельное сопротивление является зависящим от координат тензором второго ранга, содержащим девять компонент ρ_ij.

Рассмотрим однородную изотропную пластинку вещества, имеющую форму параллелепипеда (рисунок 22) со сторонами h, l, d. Пусть ток течёт через грань пластинки со сторонами h и d. Тогда Площадь поперечного сечения S для выражения (1) будет равна hd. А сопротивление такой пластинки R будет равно:

где ρ – УС материала пластинки.

Рисунок 22 – Пластинка

Если мы возьмем квадрат поверхности материала, то есть , то из выражения (2) получим соотношения для поверхностного сопротивления:

где ρ_s – удельное поверхностное сопротивление пластинки поверхностное сопротивление [Ом/□] (Ом на квадрат). Если пластинку рассматривать как полученную нами плёнку, то ρ_s – удельное поверхностное (электрическое) сопротивление плёнки. В таком случае УС плёнки можно вычислить как:

где h – толщина плёнки.

Для определения удельного поверхностного сопротивления используется т.н. четырёх зондовом методе измерения удельного сопротивления он же, метод четырёхконтактной схемы Кельвина (рисунок 23).

Рисунок 23 – Метод Кельвина

Четырехзондовый метод Кельвина предполагает использование специальной измерительной головы с четырьмя иглами. Через крайние иглы 1 и 4 (рисунок 23) течет измерительный ток, через иглы 2 и 3 выполняется измерение напряжения с образца. Все иглы расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Данный метод позволяет значительно расширить диапазон измерения в область малых значений сопротивления за счет использования четырехпроводной схемы подключения и отсутствия падения напряжения на измерительных кабелях. Кроме того, он также может применяться для диэлектрических материалов с высоким значением сопротивления (~ МОм). Точность измерений данным методом может быть лучше ±1%, а воспроизводимость ±0,1%.

Схема измерений образца и его форма приведены на рисунке 24.

Рисунок 24 – Форма образца и схема измерения

Измеренные значения R_□ приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Значения удельного поверхностного сопротивления

№ места измерения	Значения R□ [Ом/□]
1	1,37
2	1,44
3	1,54
4	1,62
5	1,78
6	1,70
7	1,66
8	1,63
9	1,53
10	1,87
11	1,98
12	1,97
13	1,53
14	1,40
15	1,38
16	1,34
17	1,37

Вычислим среднее арифметическое этих значений, получим . Вычислим среднее квадратическое этих значений, получим Ом/□.

Найдём теперь УСия полученных плёнок по выражению (4) полученные значения приведены в таблице 3. Значения получались следующим образом. Каждое из полученных значений удельного поверхностного сопротивления R_□ в местах измерений от 1–5 (рисунок 24) использовалось для вычисления УС как с первым значением толщины, определённого на левой стороне, так и со вторым; таким же образом поступили с точками 6–9 для верхней стороны; с 10–13 – для правой стороны; с 14–17 – для нижней стороны.

В таблице 4 приведены средние арифметические значения УС для каждой из сторон.

Таблица 3 – Значения удельного поверхностного сопротивления

Сторона	Толщина (h1/h2), м	Удельное сопротивление, Ом∙м
Правая	7,15E-8	1,34E-7	1,42E-7	1,41E-7	1,10E-7
	8,00E-8	1,50E-7	1,58E-7	1,58E-7	1,22E-7
Нижняя	9,90E-8	1,39E-07	1,37E-7	1,33E-7	1,37E-7
	8,00E-8	11,2E-8	1,10E-7	1,07E-7	1,10E-7
Левая	8,10E-8	1,12E-7	1,17E-7	1,25E-7	1,31E-7	1,44E-7
	6,70E-8	9,18E-8	9,65E-8	1,03E-7	1,08E-7	1,19E-7
Верхняя	9,4E-8	1,60E-7	1,56E-7	1,53E-7	1,44E-7
	7,5E-8	1,28E-7	1,24E-7	1,22E-7	1,15E-7

Таблица 4 – Средние значения удельного сопротивления

Сторона	Толщина (h1/h2), м	, Ом∙м
Правая	7,15E-8	13,1E-8
	8,00E-8	14,7E-8
Нижняя	9,90E-8	1,36E-7
	8,00E-8	1,10E-7
Левая	8,10E-8	1,26E-7
	6,70E-8	1,04E-7
Верхняя	9,4E-8	1,53E-7
	7,5E-8	1,22E-7
Среднее арифметическое по всем значениям , Ом∙м	1,28E-7
Среднеквадратичное отклонение от , Ом∙м	1,9E-8

В справочных данных (https://tel-spb.ru/current/udelnoe-soprotivlenie.html) удельное сопротивление алюминия при температуре 20°C равно 2,65E-8 Ом∙м из полученных значений самым близким к справочному значению получилось 9,18E-8 Ом∙м.

Вывод

В ходе проведённых работ по напылению и исследованию плёнок были получена плёнка со толщиной в м, измеренной с помощью профилометрии. Шероховатость получилась равной м. Удельное сопротивление напыленного алюминия получилось равным

Ом∙м в сравнении со справочным 2,65E-8 Ом∙м, оно оказалось на порядок выше. Возможно, данное отклонение возникло в связи с используемой моделью расчёта (вещество однородно и изотропно) и тем, что напыление алюминия, произвелось не равномерно, хоть образцы и вращались в процессе напыления. Интерферометрия провести не получилось, поскольку используемый микроинтерферометр не рассчитан не измерение таких тонких плёнок. Показатель преломления составил .

Напыление производилось при следующих режимах и настройках:

• температура предварительного нагрева 150 °C;

• скорость потока инертного газа 15,03 см³/мин;

• мощность питания магнетрона 150 Вт;

• вращающаяся «карусель»;

• время напыления 35 мин.

Режимы работы у другой подгруппы были следующими:

• мощность питания магнетрона 250 Вт;

• температура предварительного нагрева 150 °C;

• скорость потока инертного газа 15,03 см³/мин;

• не вращающаяся «карусель»;

• время напыления мин.

Полученная ими толщина плёнки м; шероховатость получилась равной м. Удельное сопротивление напыленного алюминия получилось равным Ом∙м. Показатель преломления составил .