2.4. Метод эквивалентных преобразований нелинейных электрических цепей

2.4.1. Последовательное соединение нелинейных сопротивлений

На рис. 2.5, а изображена схема последовательного соединения двух нелинейных сопротивлений НС1 и НС2, вольтамперные характеристики которых I₁(U₁) и I₂(U₂) представлены на рис. 2.5, б.

а) б)

Рис. 2.5

При последовательном соединении ток во всех элементах цепи один и тот же, т. е. I₁= I₂= I_u ,а напряжение источника питания U_и= U₁ + U₂. Для построения ВАХ всей цепи I_и(U_и) необходимо задаться некоторыми значениями тока в ней, по характеристикам НС1 и НС2 определить напряжения U₁ и U₂ при заданных значениях тока и просуммировать эти напряжения. Например, задаваясь током I_и = оа (рис. 2.5, б), проводим через точку а горизонтальную пунктирную линию, пресечение которой с характеристиками I₁(U₁) и I₂(U₂) в точках b и с даёт значения напряжений U₁ = аb и U₂ = ас. Суммируя абсциссы точек пересечения, получаем абсциссу точки d, принадлежащей характеристике I_и(U_и) всей цепи. Найдя таким образом семейство точек d, проводим через них искомую ВАХ I_и(U_и).

Пример 2.3. Определить ток в электрической цепи с двумя последовательно соединёнными НС (рис. 2.5, а) и напряжение на каждом НС, если напряжение источника U_и = 24 В. Вольтамперные характеристики НС изображены на рис. 2.6.

Р е ш е н и е: Расчёт ведём графическим способом в следующей последовательности. Так как НС1 и НС2 соединены последовательно, то

U₁+ U₂= U_и,

I₁ = I₂ = I_u.

Складывая абсциссы ВАХ I₁(U₁) и I₂(U₂), получаем ВАХ всей цепи I_и(U_и). Например, аb + ас = аd. Для определения тока в цепи I_и, проводим через точку, соответствующую заданному напряжению U_и = 24 В, прямую параллельную оси ординат до пересечения с ВАХ I_и(U_и) в точке d и отсчитываем величину тока I_u = 0,98 А.

Рис. 2.6

По точкам пересечения прямой, параллельной оси абсцисс, проведённой через точку d, с ВАХ I₁(U₁) и I₂(U₂) (точки b и с), находим напряжение на НС1 и НС2: U₁ = 8,4 В, U₂ = 15,6 В. Ход решения на графике (рис. 2.6) обозначен стрелками.

По второму закону Кирхгофа производим проверку:

U_и = U₁+ U₂ = 8,4 + 15,6 = 24 В.

2.4.2. Параллельное соединение нелинейных сопротивлений

П ри параллельном соединении НС (рис. 2.7, а) напряжение на них одинаково U₁=U₂=U_u, а ток в неразветвлённой части цепи I_u = I₁+I₂. Используя ВАХ НС1 и НС2 (рис. 2.7, б) и задаваясь некоторыми значениями напряжения, суммируем ординаты, соответствующие точкам НС1 и НС2. В результате этого определяем ток всей цепи, например, аb + ас = аd.

а) б)

Рис. 2.7

По нескольким точкам проводим искомую ВАХ всей цепи

I_и(U_и), по которой находим ток I_и (точка d) и токи ветвей I₁ (точка b), I₂ (точка с).

Пример 2.4. В электрической цепи (рис. 2.7, а) два нелинейных сопротивления НС1 и НС2 включены параллельно. Определить напряжение на зажимах НС и токи I₁ и I₂, если заданы ток I_и = 2 А и ВАХ I₁(U₁) и I₂(U₂), изображённые на

Рис. 2.8 рис. 2.8.

Р е ш е н и е: Построение ВАХ всей цепи (рис. 2.8) ведём, исходя из того, что при параллельном соединении

U₁ = U₂ = U_и, I_u = I₁ + I₂.

При одинаковых напряжениях на обоих НС суммируем ординаты ВАХ I₁(U₁) и I₂(U₂) и получаем ВАХ всей цепи I_и(U_и), например: mn + mp = mq.

Через точку I_и = 2 А проводим прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения с ВАХ I_и(U_и) и в точке q отсчитываем величину напряжения U_и =14,2 В.

При этом напряжении в точках пересечения прямой, параллельной оси ординат с ВАХ I₁(U₁) и I₂(U₂) (точки p и n), находим токи I₁ = 1,24 А, I₂ = 0,76 А.

Проверку расчёта производим по первому закону Кирхгофа:

I_u = I₁ + I₂ = 1,24 + 0,76 = 2 А.

П ример 2.5. На схеме рис. 2.9 соединены параллельно НС1 и НС2, и последовательно им включено линейное сопротивление R₃ = 10 Ом. ВАХ НС1 и НС2 изображены на рис. 2.10. Определить токи и напряжения на отдельных ветвях и всей цепи, если U_и = 26 В.

Р е ш е н и е: Заменяем две параллельные ветви с НС1 и НС2 эквивалентной ветвью с ВАХ I_и(U₁₂), суммируя токи I₁ и I₂ при одном и том же

напряжении (см. пример 2.4): mn + mp = mq (рис. 2.10).

Рис. 2.9 Построением ВАХ I_и(U₁₂)

мы заменили два парал-

лельно соединённых НС1 и НС2 одним эквивалентным нелинейным сопротивлением НС1, 2, которое соединено с R₃ последовательно (рис. 2.11).

Расчёт схемы рис. 2.11 производится аналогично расчёту схемы рис. 2.5,а (пример 2.3).

Рис. 2.10

Для построения ВАХ всей цепи I_и(U_и) изображаем на рис. 2.10 ВАХ линейного сопротивления R₃ I₃(U₃). Она является прямой линией, проходящей через начало координат. Для её построения достаточно задаться одним значением тока I₃, например, I₃ = 1 А и определить при этом токе напряжение U₃ = I₃  R₃ = 110 = 10 В.

И мея ВАХ I₃(U₃) и I_и(U₁₂) двух последовательно соединённых участков цепи (рис. 2.11), строим ВАХ всей цепи I_и(U_и), исходя из того, что

U_и=U₃+U₁₂, I₃ = I_и , т. е.

складываем при одном и том же

токе абсциссы ВАХ I₃(U₃) и

Рис. 2.11 I_и(U₁₂), например: ac + aq = ad.

По заданному значению

U_и = 26 В, проводя прямую, параллельную оси ординат, до пересечения с ВАХ всей цепи I_и(U_и) в точке d, находим ток в неразветвлённой части цепи I_и= I₃ = 1,56 А. При этом токе, проведя прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения с ВАХ I_и(U₁₂) и I₃(U₃) (точки q и c), находим напряжения U₁₂ = 10,4 В, U₃ = 15,6 В. Чтобы определить токи НС1 и НС2, проводим при напряжении U₁₂ = 10,4 В прямую, параллельную оси ординат, до пересечения с ВАХ I₁(U₁) и I₂(U₂) в точках p и n и отсчитываем значения токов I₁ = 1,08 А, I₂ = 0,48 А.

Для проверки применяем законы Кирхгофа:

U_и= U₃+U₁₂ = 15,6 + 10,4 = 26 В;

I_и= I₁ +I₂ = 1,08 + 0,48 = 1,56 А.