2.6. Применение метода узловых потенциалов для расчёта цепей с нелинейными сопротивлениями

Для электрических цепей с НС, содержащих только два узла, применим метод узловых потенциалов.

На схеме (рис. 2.17) три ветви с НС и ЭДС включены параллельно между двумя узлами. По заданным значениям ЭДС Е₁, Е₂, Е₃ и ВАХ нелинейных сопротивлений U₁(I₁), U₂(I₂), U₃(I₃) надо определить токи ветвей I₁, I₂, I₃.

Каждый из токов ветвей является функцией напряжения на нелинейном сопротивлении: I₁=F₁(U₁), I₂=F₂(U₂), I₃=F₃(U₃). Для решения задачи необходимо выразить все токи в функции от одной и той же независимой переменной – от напряжения U₂₁ между узлами. С этой целью составим уравнения по второму закону Кирхгофа, выбирая независимые контура таким образом, чтобы они замыкались через одну из ветвей и узловое напряжение U₂₁, предварительно задавшись направлениями токов и напряжения U₂₁ (пунктирные линии на схеме рис. 2.17);

Е₁ = U₁ + U₂₁; (1)

Е₂ = U₂  U₂₁; (2)

Е₃ = U₃ + U₂₁. (3)

Из уравнений (1) – (3) определим узловое напряжение U₂₁:

U₂₁ = Е₁  U₁; (4)

U₂₁ = U₂  Е (5)

U₂₁ = Е₃  U₃. (6)

Для токов по первому закону Кирхгофа имеем

Рис. 2.17 уравнение (7):

I₁  I₂ + I₃= 0. (7)

Решение уравнений (4) – (7) осуществляется графическим способом, которое выполним на примере 2.7.

Пример 2.7. Определить токи в электрической цепи (рис. 2.17) методом узловых потенциалов. Симметричные ВАХ НС1, НС3 (кривая 1) и НС2 (кривая 2) приведены на рис. 2.18. ЭДС Е₁ = 12 В, Е₂ = 10 В, Е₃ = 16 В.

Рис. 2.18

Р е ш е н и е: Используя ВАХ (рис. 2.18), строим кривые токов I₁, I₂, I₃ в зависимости от напряжения между узлами U₂₁ по уравнениями (4) – (6):

I₁(U₂₁) = I₁(Е₁  U₁);

I₂(U₂₁) = I₂( Е₂ +U₂);

I₃(U₂₁) = I₃(Е₃ – U₃).

Для этого, задаваясь значениями токов I₁, I₂, I₃, по соответствующим ВАХ находим напряжения U₁, U₂, U₃ и по известным ЭДС Е₁, Е₂, Е₃ определяем напряжение между узлами U₂₁. Например, для построения кривой I₁(U₂₁) = I₁(Е₁  U₁) задаёмся током I₁ = 0, из ВАХ 1 определяем U₁ = 0, тогда U₂₁ = Е₁  U₁= = Е₁ = 12 В.

На графике (рис. 2.19) откладываем точку с координатами (I₁ = 0, U₂₁ = 12 В). При I₁ = 0,2 А, U₁ = 1 В, U₂₁ = 11 В на графике имеем точку с координатами I₁ = 0,2 А, U₂₁ = 11 В и т. д. Чтобы получить координаты точек в четвёртом квадранте графика (рис. 2.19), надо задаться отрицательным значением тока, например, при I₁ =  0,4А, U₁ =  2,4 В (так как ВАХ симметричны, U₁ определяем по ВАХ рис.2.18, меняя знак на противоположный); тогда U₂₁= Е₁  U₁ = 12 – (2,4) = 14,4 В. Таким образом, получаем на графике точку в чётвёртом квадранте с координатами (I₁ =  0,4 А, U₂₁ = 14,4 В). Аналогично строятся кривые I₂(U₂₁) и I₃(U₂₁).

Из уравнения (7) имеем:

I₂ = I₁ + I₃.

Исходя из полученного уравнения, строим кривую (I₁ + I₃)U₂₁,

суммируя ординаты кривых I₁(U₂₁) и I₃(U₂₁) при одинаковых

значениях напряжения U₂₁. Точка m пересечения кривых (I₁ +

+I₃)U₂₁ и I₂(U₂₁) определяет искомый ток I₂. Опустив из точки m

перпендикуляр на ось абсцисс, находим напряжение между узлами

U₂₁, а в точках пересечения этого перпендикуляра с кривыми I₁(U₂₁) и I₃(U₂₁) отсчитываем величины токов I₁ и I₃. Таким образом, получаем: I₁ = 0,6 А, I₂ = 1,54 А, I₃ = 0,94 А, U₂₁ = 8 В.

Все токи и напряжение между узлами получились

положительными, следовательно, их действительные направления

(на рис. 2.17 обозначены сплошными стрелками) совпали с предполагаемыми направлениями.

Рис. 2.19

73