4.4. Методы расчёта разветвлённых цепей при наличии взаимной индуктивности

Для расчёта таких цепей основными методами являются метод двух законов Кирхгофа и метод контурных токов в комплексной форме.

Метод двух законов Кирхгофа.

Составление уравнений в комплексной форме по законам Кирхгофа рассмотрено в главе 3. При наличии в цепи катушек с взаимной индуктивностью в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, надо учесть напряжения взаимной индукции. Для определения знака напряжения взаимной индукции необходимо применить следующее правило:

если направление обхода по данной катушке и направление тока в другой катушке, создающего напряжение взаимной индукции в данной катушке, одинаковое относительно одноименных зажимов этих катушек, то напряжение взаимной индукции данной катушки будет иметь знак «плюс». В противном случае напряжение взаимной индукции берётся со знаком «минус».

Составим уравнения по законам Кирхгофа для электрической цепи, схема которой изображена на рис. 4.10. В цепи имеются три индуктивно связанные катушки, индуктивности которых равны , , и взаимные индуктивности , . К цепи подключён источник синусоидальной ЭДС Е.

Рис. 4.10

Так как схема имеет два узла, по первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение:

; (4.27)

По второму закону Кирхгофа составляем два уравнения (направление обхода по контурам на схеме обозначено пунктирными линиями).

Для левого контура:

; (4.28)

Для правого контура:

; (4.29)

В уравнении (4.28):

 напряжение взаимной индукции второй катушки , вызванное током первой катушки взято со знаком «плюс» потому, что направление обхода по второй катушке (от начала к концу) и направление тока в первой катушке (от конца к началу) одинаковое по отношению к одноимённым зажимам;

 напряжение взаимной индукции второй катушки , вызванное током третьей катушки взято со знаком «минус» потому, что направление обхода по второй катушке (от начала к концу) и направление тока в третьей катушке (от конца к началу) разное по отношению к одноимённым зажимам.

Аналогично определён знак напряжений взаимной индукции , , , .

Метод контурных токов.

При составлении уравнений этим методом собственные сопротивления контуров и взаимные сопротивления смежных контуров должны учитывать сопротивления взаимной индукции.

Для схемы (рис. 4.10) уравнения контурных токов в общем виде запишутся следующим образом:

;

(4.30)

,

где собственные сопротивления контуров:

;

;

взаимные сопротивления смежных контуров:

;

контурные ЭДС:

; .

Метод узловых потенциалов непосредственно к расчёту цепей с взаимной индуктивностью непригоден. Объясняется это тем, что ток в любой ветви зависит не только от ЭДС, находящегося в ней источника и от потенциалов тех узлов, к которым ветвь присоединена, но и от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции. Поэтому нельзя простым путём выразить токи ветвей через потенциалы узлов и ЭДС источников, как в цепях без индуктивно связанных элементов.

Метод эквивалентного генератора применим только в том случае, когда отсутствует индуктивная связь между ветвью, в которой рассчитывается ток, и ветвями активного двухполюсника.

Формулы, выведенные в главе 3 для преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно, при наличии в цепи индуктивных связей непригодны.