12.7. Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа применительно к узлу цепи в классической форме:

В операторной форме, учитывая, что изображение суммы равно сумме изображений, получим

(12.18)

Второй закон Кирхгофа применительно к контуру цепи в классической форме:

В операторной форме имеем:

По закону Ома в операторной форме найдем:

тогда

или (12.19)

Выражение (12.19) представляет собой второй закон Кирхгофа в операторной форме при ненулевых начальных условиях.

Для нулевых начальных условий второй закон Кирхгофа имеет вид:

(12.20)

12.8. Операторное сопротивление и операторная проводимость

Для двух последовательно соединенных электроприемников (рис. 12.2), каждый из которых имеет можно записать:

;

;

(12.21)

Рис. 12.2 При параллельном соединении

двух ветвей (рис. 12.3):

в классической форме при нулевых начальных условиях:

;

в операторной форме при нулевых начальных условиях:

где

Рис. 12.3 или (12.22)

где  операторная проводимость всей цепи, а и  операторные проводимости, соответственно, первой и второй ветвей.

Из изложенного следует, что правила вычисления операторных сопротивлений и проводимостей для последовательного и параллельного соединений при нулевых начальных условиях те же, что и для вычисления комплексов полных сопротивлений и полных проводимостей. Поэтому операторные сопротивления и проводимости таких цепей при этих условиях имеют тот же вид, что и соответствующие комплексы полных сопротивлений и проводимостей, и последние из первых можно получить путем замены на .

12.9. Методы составления уравнений в операторной форме

Так как уравнения для изображений аналогичны по форме уравнениям, составленным для той же цепи символическим методом для комплексов токов и напряжений, то при составлении уравнений для изображений применимы все методы, рассматривавшиеся в разделе синусоидального тока: метод контурных токов, метод узловых потенциалов и др.

При составлении уравнений для изображений учет ненулевых начальных условий производиться путем введения внутренних ЭДС индуктивности и емкости, обусловленных начальными токами через индуктивности и начальными напряжениями на емкостях.

Перед составлением уравнений для изображений токов и напряжений изображают операторную схему для исходной электрической цепи, на которой, кроме параметров цепи, указываются внутренние ЭДС индуктивности и емкости , а также изображения токов и напряжений источников питания. Направление внутренней ЭДС индуктивности всегда совпадает с направлением тока в данной индуктивности, а направление внутренней ЭДС емкости встречно току в данной емкости. На рис.12.4 изображена операторная схема для электрической цепи с последовательным соединением при ненулевых начальных условиях.

П о второму закону Кирхгофа запишем уравнение для изображений:

U(p)

или

Рис. 12.4

Расчет переходных процессов операторным методом состоит из следующих двух основных этапов:

1. Составление уравнений для изображений функции времени.

2. Переход от изображений к функциям времени. Изображение искомой функции времени может быть получено на основании законов Ома или Кирхгофа, или в результате решения системы уравнений, составленных по одному из методов, рассматривавшихся в разделе синусоидальных токов.