12.10. Методы перехода от изображений к функциям времени
Переход от изображения к оригиналу, т.е. функции времени может быть осуществлен или по табличным формулам соответствия между функциями оператора р и функциями времени (п.12.5), или с помощью формулы разложения.
Формула разложения
Часто изображение имеет вид рациональной дроби
(12.23)
при
причем дробь
несокращаемая, т.е. многочлены
и
общих корней не имеют, и
,
вещественные числа.
Оригинал
изображения (12.23) можно определить по
формуле, называемой теоремой разложения:
(12.24)
где
корни характеристического уравнения
;
значения функции
при
;
значения
производной от
по р при
.
Пример 12.1. В
схеме, рис.11.23 (пример 11.1) даны:
В;
Ом;
Ом;
Гн.
Определить
операторным методом ток
и напряжение на индуктивности
переходного процесса.
Р е ш е н и е. Начальные условия:
при
А;
А.
Изображаем операторную схему (рис.12.5) после коммутации:
П
о
закону Ома в операторной форме
составляем изображение тока:
L
Рис. 12.5
где:
В∙с;
внутренняя ЭДС
индуктивности
В;
;
операторное сопротивление
тогда
Первое и второе слагаемые изображения тока умножим числитель и знаменатель на 10, получим:
Переход от
изображения тока
к оригиналу
произведем с помощью табличных формул
соответствия (п.12.5, формулы (7) и (6)):
А.
Определим изображение
напряжения
По формуле
соответствия (6) (п.12.5) перейдем от
изображения
к оригиналу
В.
Полученные результаты совпали с результатами примера 11.1 (классический метод).
Пример 12.2. Для схемы рис.11.25 (пример 11.2) дано:
В;
Ом;
Ом;
мкФ.
Определить токи и напряжения переходного процесса операторным методом.
Р е ш е н и е. Начальные условия для схемы (рис.11.25):
В;
В.
Изображаем операторную схему для цепи (рис.11.25) после коммутации.
И
зображение
постоянного напряжения источника
питания:
В∙с;
внутренняя ЭДС емкости:
В∙с.
Составляем для операторной
Рис. 12.6 схемы (рис.12.6) уравнения по
законам Кирхгофа:
по первому закону Кирхгофа:
(12.25)
по второму закону Кирхгофа при ненулевых начальных условиях (обход по контурам на схеме (рис.12.6) обозначен пунктирными линиями);
для левого контура:
(12.26)
для правого контура:
(12.27)
Решаем систему
уравнений (12.25)…(12.27). В уравнение (12.26)
подставим значения
и
,
получим:
.
откуда
(12.28)
Из уравнения (12.27) с учетом (12.28) имеем:
(12.29)
Подставляем выражение (12.28) и (12.29) в уравнение (12.25):
откуда
или
Таким образом
А
(12.30)
Используя выражение (12.28), найдем изображение тока в емкости:
таким образом
А.
(12.31)
Изображение
найдем из (12.29):
.
Следовательно
А.
(12.32)
Изображение напряжения на емкости:
(12.33)
Переход от
изображения
(12.33) к оригиналу
произведем по формуле разложения:
(12.34)
Из (12.33) имеем:
;
Находим корни
функции
.
Определяем значения
функции
при
и
;
.
Определяем производную функции по р:
Значения
при
и
:
;
По формуле разложения (12.34):
,
В (12.35)
Сравнивая полученные результаты операторным методом (12.30) – (12.32) и (12.35) со значениями, полученными классическим методом (пример 11.2), видим, что они одинаковы.