Министерство образования Республики БеларусьБЕЛОРУССКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИИРАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедрафизики
ЛАБОРАТОРНАЯРАБОТА№3к.5
ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫНАПРОВОДИМОСТЬ
МЕТАЛЛОВИПОЛУПРОВОДНИКОВ.
МЕТОДИЧЕСКИЕУКАЗАНИЯ
Минск2021
ЛАБОРАТОРНАЯРАБОТА№3к.5
ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ПРОВОДИМОСТЬМЕТАЛЛОВИПОЛУПРОВОДНИКОВ.
Цельработы:
Изучитьквантовуютеориюэлектропроводноститвердыхтел.
Исследоватьтемпературнуюзависимостьэлектропроводностиметаллаиполу-проводника.
Рассчитатьэнергиюактивацииполупроводника.
Квантоваятеориясвободных электроноввкристалле
Волновыефункциисвободныхэлектроновдлястационарныхсостоянийиме-
ютвидпространственнойчастиплоскойволны(⃗)⃗⃗⃗⃗⃗ самплитудойAи
k
k
волновымвектором.Тогдавекторнаявеличинаpназываетсяимпульсомэлектрона,аегоэнергияравна:E
p 2
(k2k2k2).
2
2m 2m x y zВприближениисвободныхэлектроновролькристаллическойрешеткибез
ионовсводитсякудержаниюэлектроноввнутрикристалла,которыйможнопредста-
1
2
3
витьввидекубасребромLaa a.РешаястационарноеуравнениеШре-дингера2
x2
2
y2
2
z2
2mE
2
0,
приусловиипериодичностиволновойфункции,получаем,чтокакмодульволно-
2
воговекторапринимаетдискретныезначения
k2n2 ,гдеn=1,2,3,…,такиве-
L2
личинаэнергииэлектронапринимаетдискретныйрядзначений:
2E2m
k2
2
2
2m(L2)n2,
гдеk2k2k2k2,kn
–проекциявек-
L
x y z x 1
тораkна осьOX, аналогичноидлядругихпро-
екций;
n2n2n2n2,n,n,n
–целыечисла,
1 2 3 1 2 3
принимающие независимо друг от друга значе-ния 0,±1, ±2,…. График зависимости разрешен-ных значений энергии от волнового числаE(k)длясвободныхэлектроновимеетвидмноже-
ства дискретных точек, лежащих на параболе. Схематически графику можно поста-вить в соответствие систему энергетических уровней, которые изменяются квази-непрерывно,образуясвоейсовокупностьюзонуразрешенныхэнергий(разностьэнергийсоседних уровней составляет10-22эВ). Отличительной особенностью элек-тронов является их распределение по состояниям в соответствии спринципом Па-ули: в квантовой системе не может быть более одной частицы в каждом квантовомсостоянии,котороехарактеризуетсяоднойсовокупностьюквантовых чисел.
Волноваяфункцияэлектронаи,соответственно,егосостояниеопределяется
значениямитройкичисел
n1,n2,n3,атакжеспиновымквантовымчислом,которое
можетприниматьодноиздвухзначенийms=1/2.
Одномуитомужезначениюсуммы
n2n2n2n2соответствуетнесколько
1 2 3
возможныхкомбинацийчисел
n1,n2,n3.Следовательно,определенномузначению
энергии электрона соответствует, несколько возможных состояний. Иначе говоря,уровниэнергиисвободногоэлектронаявляютсявырожденными. Например, еслиn1n2n30,электронможетнаходитьсяводномиздвухвозможныхсостояний,
соответствующихдвумзначениям
mS1/2.Втакомслучаепринятоговорить,что
кратностьвырожденияэнергетическогоуровняравнадвум.Еслижекаждоеизчи-
селнезависимопринимаетзначения
n1,n2,n30,1,точисловозможныхкомбина-
цийэтихчиселпо3будетравно6.Далее,число6надотакжеумножитьна2спино-
выхсостояния,тогдауровнюсn1будетсоответствоватьуже12различныхсосто-
яний. Для взаимодействующих электронов вырождение по энергии снимается, и мыувидим большее число уровней, в этом случае говорят о расщеплении энергетиче-ских уровней вовнешнем поле.
Функциираспределенияэлектронов
Функции распределения играют в статистической физике очень важную роль.Так, например, если известна функция плотности состояний(),то можно найтисреднее значение любой физической величины(), на указанном интервале энер-гий.Плотностью состоянийназывается количество разрешенных состояний в еди-нице объемакристалла,приходящихся на единичный энергетический интервал.Пусть–числоэлектронныхсостоянийвинтервалеэнергийотЕдоЕ+dE,то
функциейплотностисостоянийназываетсяследующаявеличина(),опре-
деляющаячислосостояний,приходящеесянаединичныйинтервалэнергии.Можно
показать,чтодляединичногообъема()√.Нижеприведенграфикфункции
()приT0К. Площадьподграфикомфунк-
ции плотности состояний численно равна количе-ству состояний электронов.Нагревание кристал-лическойрешеткисопровождаетсяпереходомэлектроновсуровней,примыкающихкуровнюEF(0), на вышележащие уровни. В результате это-го,вформеграфикавертикальнаялинияза-менится пунктирной, при этом, площадь под кри-войнеизменится.Область«размытия»врайоне
величиныEF(0)занимает узкийэнергетическийпромежутокшириной порядкаkT(k– постоянная Больцмана). С помощью функции плотности состояний можно опре-делитьмаксимальнуюэнергиюэлектроноввкристаллеприT=0К:
2
E(0)2
(32n)3,гдеn
Ne
–концентрацияэлектронов.Длямеди–EF(0)=7
F 2m 0 0 L3
эВ,адлязолота и серебра–EF(0)=5эВ.
В случае многоэлектронной системы можно ввести понятиераспределенияэлектронов по одночастичным состояниям. Это распределение производится в соот-ветствии с квантовой статистикой Ферми – Дирака, в основе которой лежатпринциптождественности(неразличимости) одинаковых частиц (например, электронов) ипринцип Паули. Необходимо учесть, что количество электронов на каждом из энер-гетических уровней разрешенных зон не может быть больше кратности вырожденияуровня.Вчастности,привырожденииуровнейтолькопоспиновомуквантовому
числу
mS1/ 2, количество электронов на каждом уровне не превышает двух.Законраспределенияэлектронов,находящихсявнекоторомобъемеV
при
температуреTпоодночастичнымсостояниям(законраспределенияФерми–Ди-
рака)имеетследующийвид:
.Здесь
–числоэлектронов,–
()
числоэлектронныхсостоянийсэнергиейвинтервалеотE
доE+
dE,k
постоян-
наяБольцмана,EF
параметрраспределения,имеющийразмерностьэнергии.Этот
параметрназываетсяэнергиейФерми(илиуровнемФерми)иопределяетсяизусло-
виянормировки.Функция()
()
,входящаявзаконназывается,функ-
цией распределенияФерми – Дирака, которая показывает, какую часть от общегочисла свободных электронов составляют электроны с заданной энергией Е.Дру-гими словами, данная функция определяетвероятностьтого, что электрон нахо-дитсяна выделенном энергетическом уровне.
Уровень Ферми– энергетический уровень, вероятность заполнения которогоравна0,5притемпературах,отличныхоттемпературыабсолютногонуля.Впре-
дельномслучае,приT=0K,уровеньсчисленнымзначениемэнергии
EF(0),будет
последним («верхним») заполненным электронами, а все остальные электроны бу-дутнаходиться нанизших энергетическихуровнях.
Для большого числа частиц занятые состояния займут места внутри некоторойсферы (ферми-сферы) вk-пространстве. Поверхность этой сферы называетсяпо-верхностью Ферми. Радиус этой сферы (называемыйрадиусом Ферми) определяетсячисломчастиц,соответственно, энергия частиц с фермиевскимимпульсоместьэнергияФерми.СкоростьэлектроновнауровнеФерминазываютскоростью
Ферми
√.
Максимальная энергия электронов в кристалле при T = 0К равна:
EF(0)
2 2
0
(32n)3,где2m
nN–концентрацияэлектронов.
0 L3
Длямеди–EF(0) =7эВ,адлязолотаи серебра –EF(0) =5эВ.
При
T0
распределениеэлектроновпосостояниямпрактическинеизменя-
ется, т.к. лишь незначительная часть электронов, заполняющая энергетические со-стояния в узкой энергетической полосе ширинойkТ(k– постоянная Больцмана)вблизи уровня Ферми, может увеличить свою кинетическую энергию. Основное ко-личествоэлектроновостается впрежнемэнергетическом состоянии.
Графикфункциираспределенияэлектроновf(E)дляT0Kизображеннарисункесплошнойлинией.
При
T0K
верхний из заполненных
уровней будет расположен выше уровняФерми:графикфункциивэтомслучаяизображен пунктирной линией. Посколь-куэнергияФермиимеетзначениепри-мерноравное5эВ,чтозначительнобольше средней энергии теплового дви-женияприобычныхтемпературах(
kT0,03эВ),пунктирный«хвост»гра-
фиказанимаетузкийэнергетическийпромежутокширинойпорядкаkT.По-
этому лишь очень небольшая часть электронов, с величиной энергии в «хвосте»графика, может переходить на другие уровни, то есть воспринимать тепловую энер-гию.