книги из ГПНТБ / Гидродинамика лопаточных машин и общая механика [сб. ст

дых

поверхностях

(р и с .і). Выделенные

зоны потока

(турбулентное

ядро

и ламинарный

слой) сопрягаются

по некоторой

кривой, кото­

рую

можно назвать

уравнением границы

ламинарного

слоя, я энв -

В

турбулентных слоях распределение скорости хорошо описы­

вается

степенной

формулой Прандтля

W

-

-

W

•

(I)

где

W

-

текущее

энппение

скорости;

А -толщина турбулент­

ного

слоя;

у

-

линейная

координата,

нормальная

к омываемой

поверхности;

\ѴД -

значение

скорости

на

внешней границе

турбу­

лентного

слоя.

Поскольку

рассматривается стабилизированный

потек,

толщи­

Х -1

,

по оси

у - h . .

Направление координатных

осей

по­

казано

па

рно. 1,

причем t

- полуширина капала/

К

-полу-

f-О* ^

отношения

wwuia

капала. Замет им ,• что

w

= w * x'l y'1,

(2 )

ЩѲ

VV.f

- скорость

в центре

канала

или максимальная скорость

(х=Р,

у = h ) .

Формула (?)

справедлива,

естественно,

для левой нижней чеч

верти канала (рисЛ ) ,

то

еоть

при

OstX&l

и

О é-ÿ < |

,

рассмотрением которой в силу симметрии структуры потока можно

ограничиться.

принимает равным 1 /7 ,

Показатель

п

обычно

хотя в

лите

-

ратуре имеются указания,

что

он иожет

варьироваться в пределах

r t= ÿ - r

в

зависимости

от

числа

Re

[й] .

На рис 2а и 2в приведены для сравнения картины изотах дей­

ствительного турбулентного течения в прямоугольном

канале

[ 5 ]

по данным

Иикурадзе и

рассчитанная

по формуле (2)

при

вторичных

течений,

направленных к углам канала,

Однако,

учитывая

приближенный характер

решения задачи,в

дальнейшем

иопо чъэуется

формула

(2 ).

Формула распределения скорости удобно выразить через средин

расходную скорость

жидкости

VVcj> =

G

(8 )

4P

Здесь '

G

-

весовой

расход жидкости

через канал,

у

-удельный

вес жидкости.

Цели

пренебречь

площадью канала,

занятой ламинарный слоем

ввиду малости,

то выражение

для среднерасходной

скорости может

быть получено

путем

интегрирования (?)

яо всей

площади

канала

I

г

W»

W e? = J j

W d x d(j

(ч)

(п + і)г

-

і)0

Выразив из уравнения (О

W*

через

ѴѴср , получим окончат

тельную формулу распределения скорости в турбулентном ядре

W=(n +l)2 w<LpX,lÿr -

(5)

Уравнение границы ламинарного

слоя ищется исходя из следующих

лентное

происходит при одинаковом отношении

коэффициентов вяэкооти

(турбулентного

и молекулярного) по всему

профилю границы.

На

рис.З

схематично показаны структура

потока в рассматривае­

мой канале, направления

координатных осей

и касательные напряжения

/f

,

действующие ва

элемевт жидкости.

С

учетом обозначений

ѴѴХ= Wy = D ;

Wz-VV(X,y)

и определяется no (5),

ÔVV*

ôWx

d\Vx

= o

Ce)

Зх

" äy

э х

a w a _ aw«

awa

= o

3x

~ 3y

32

Тхж=<*

дѵѴк

ЗѴѴг \ -

Ыiî'zT

öZ

ах

)

^ dX

Т у г -

3Wu

ЭѴѴ2 \ =

оѴѴ

М - --

ѳ г

ö'y

'

э а

Г г -

л,т ( Ш +

)

(I?)

L

^ (й х

9у />

фициента турбулентпой

вязкости (ѵт

или для отношения

:

Z .

- - '

IГ (

«

' )

(13)

о1

= ' 0,16(М "

эуѵ

9W

ЭХ

Эу

х п У"

(Ій)

£ = - D . * n ( H aRe( l t j ) - = ^

h

Здесь число

Re определено по средперасходной

скорости

и гидравлическому

диаметру

канала

d r

.как это

обычно принято

при исследовании

тепло гидравлических

процессов в

каналах, то есть

,PWq>dr

•

Re = — JJ---- I

d

-

M

d r ' ~ l + b

Полученное выражение (.Ій) является в конечном счете искомым

уравнением границы ламинарного олоя,

воли положить его левую часть

равной

некоторой

постоянной величине,

причем эта величина должна

иметь

порядок 10,

так как переход ламинарного течения в турбулент­

ное происходит при (ит >> ()'

.

■

Запишем уравнение (ій ) для границы ламинарного слоя на уров­

не середины пысоты канала,

то

есть

при

ÿ = 1 :

нарного слоя, па уровне середины

высоты канала. При написании вто­

рого приблизительного равенства (Т5) учтено, что

Хм, «s: K/h

Используя допутепие о постоянстве значения

(лту^и '

вдоль

всей

границы ламинарного слоя,

приравниваем

(і'О

и (І5)

и полу­

чаем окончательное выражение для уравнения

границы ламп парного

слоя:

(іб )

Остановимся на определении величины X-.lt

.Ее легко опре­

делить,

если предположить, что

в районе

середины

высоты

канала

точение одномерно и изменение

скорости

имеет место только по

оси

X

. Это допущение оправдано для

высоких

каналовЛроме

вает

довольно заполненный профиль

в оредней части.

Тогда напряжения трения на твердой поверхности

Lw

в

рассматриваемом сечении ( y=h

),

с

одной стороны,

определи-

ртся

линейным распределением скорости

в

ламинарном слое

UV)

где

ѴѴм,

- скорость

жидкости на

границе ламинарного

слон при

и,

о другой

стороны,

законом Блазиуса

Tw = 0,03225 ( пт i)3'5f W 'P'Àw

(ІѲ)

Ae

паэоне чисел

Re

(вплоть

до Re = l07 )

и справедлив для

гидрав­

лически

гладки*

поверхностей.

Приравняв

(І7) я (І8)

и реинв полученное

равенство

относи­

тельно

ѴѴдн

.найдем

Wflh = 0,03225(0 +if '5 | т ^

О* f r

/■»лЬ

( 19)

г\е

С другой

стороны,

скорость

\ѴлЬ

мощно найти

из (5 ), полонив

Х=Хд|,

И

i( = h

:

WAh = ( n + l ) 2VVcP

('

”

(20)

Хд|\ г

0,00806 ( n - tl /’5 Re" 5.(|

(21)

Для показателя

1

П =- 7

\\h

221

Re675R F

Возвращаясь

к уравнению (іб ), следует отметить,

что оно не

Зависимость (22)

связывает ординату

граничной

кривей

X* с

линейной

координатой

ÿ

вдоль высоты

канала

при

ij 4 I

Учитывая,

что Хл^У

, особенно при

і]

стремящихся

к I,в т о ­

ченное уравнение

как решение

(22) относительно

первого приближения

V

_ п

- -2~

Л*

ntl

.

Я д ,," 3

Хл/х ль

Дей отвита дьное значение

можно рассматривать

как

ре­

шение

первого приближения,

умноженное

на некоторый попра*очный

коэффициент

£

,

то есть

ТГ

( 22)

Предварительный анализ

позволяет установить общий вид поправ­

ки

б,

•

Из уравнений (21) я (22)

ясно, что

£,

зависит

от

R e ,

^

и

§

> KP0“ 6 того,

предполагается,

что эта зави­

симость

носит стейе.ной характер. При

Cj ^

I поправка

f

,

оя от действительного

зьачѳния

Хд/X h .

-Таким ибіэтэом

е, = И

с ,he

(1 /ь )

g

,

(2 0

где

константа С, и

показатели степени

L, , И.,

N, устанавли­

ваются по результатам обработки точных решений (22).

Применяя аналогичные рассуждения к участку П,

уравнение

(іб )

переписывается в

виде:

1

Іі

.1

За

1

h+ l

(25)

XAh

' X

+ h

ОТ линейной координаты вдоль ширины канала

X

.Аналогично участ­

ку I

можно получить

JL - Ц . ' Г

"

5 ’ ""' с

(2 6 )

Хль

" U

)

х

Ьг

где

и

/ В \м г

_ Hz

£2=і + CaRe

X

(27)

Учитывая симметрию граничной кривой на участках III и ІУ участ­

кам I и П

соответственно, легко

найти,

что

на

учаетке ID( U ÿ s 2 )

-

причем

е! = 1+ C,Re (* )"

и на участке

ІУ

У

• h

\ n+î

ХлП = г - І І I

я

Значения

констант

С,

и

с 2

Мі,

N2

были получены в

результате

обработки точных решений (22)