книги из ГПНТБ / Васильев Г.А. Повышение эффективности комплексной автоматизации

где а = Ас?Кдр2/Ас?кдр1 — нормированный аргумент, харак­ теризующий стандарт разложения, т. е. отношение сто­ рон элемента разложения.

Вычислив дисперсию

оо

— т (у),

кдР '■У’ ’

запишем выражение для среднеквадратического откло­ нения линейной ошибки

Легко видеть, что выражения (4.54) и (4.55) не из­ меняются при замене а на 1/а. Следовательно, функции Откдр(а) и сгкдр(а) симметричны относительно прямой

а = 1 и при этом достигают минимальных значений в си­ лу соображений о существовании потенциальной точно­ сти, изложенных в начале этой главы. Графики функций т кдр(а) и с г к д р ( а ) , полученные в результате расчета по формулам (4.54) и (4.55), изображены на рис. 4.14 и 4.15. Наличие минимумов у числовых характеристик по­ казывает, что кадровое преобразование обладает потен­ циальной точностью, если параметры разложения вы­ браны в соответствии с первым правилом квадрата.

100

Наличие масштабного коэффициента р в формулах (4.54) и (4.55) подтверждает второе правило квадрата. Использование графиков функций т кдр(а) и акдр(а) по­ зволяет облегчить вычисление характеристик линейных ошибок при заданных исходных условиях (D и N) и от­ личии разложения от оптимального, т. е. при а=^1. При этом, как и в случае секторных разложений, функция

Рис. 4.15.

Скдр(а) определяет более узкий диапазон оптимальных

мальным возможно применение оптимальных разложе­ ний, для которых 0 ,7 ^ сс<; 1,4.

Сравнение общих закономерностей, свойственных числовым характеристикам линейных ошибок при кад­ ровом и секторном методах преобразования, показывает их полную аналогию. Однако полное выравнивание раз­ мера элементов разложения, свойственное кадровому методу, позволяет получить меньшую величину линей­ ных ошибок, чем при использовании различных моди­ фикаций разложений секторного метода. Сравнение пре­ дельных характеристик точности секторного и кадрового

можно рассматривать как результат сложения двух не­ зависимых факторов. Первый определяется случайным характером ошибки внутри элемента разложения при ус­ ловии, что все они равны. Второй определяется нерав-

101

Т а б л и ц а 4.4

номерностью элементов разложения и может быть опи­ сан с помощью коэффициента вариации, выражение для которого дано в предыдущей главе. Таким образом, среднеквадратическое отклонение линейной ошибки пре­ образования ал может быть представлено в виде:

зл = У 'а 2 + я 2

где стэ — среднеквадратическое отклонение линейной ошибки, определяемое величиной эквивалентного квад­ рата разложения; ан — среднеквадратическое отклонение линейной ошибки, определяемое величиной неравномер­ ности размера элементов разложения.

На основании изложенного подхода в последней стро­ ке табл. 4.4 приведены значения ошибок, вызываемых неравномерностью элементов при секторном методе раз­ ложения. Усложненные типы секторных разложений, как видно из табл. 4.4, позволяют существенно уменьшить ошибку неравномерности. В частности при разложении третьего типа практически полностью используются свойства эффекта выравнивания. Поэтому дальнейшее увеличение сложности секторных разложений в целях практического уменьшения ошибок преобразования, повидимому, не может считаться оправданным.

102

4.6. Коррекция ошибок преобразования

Анализ числовых характеристик линейных ошибок секторного и кадрового методов позволяет выбрать раз­ ложение, наиболее полно отвечающее заданным требо­ ваниям к точности преобразования. Как мы видели вы­ ше, все рассмотренные разложения имеют математиче­ ское ожидание линейной ошибки, отличное от нуля, что является следствием процесса преобразования коорди­ нат целей в двухмерном пространстве.

На практике повышение точности системы может быть достигнуто путем исключения или уменьшения си­ стематической ошибки. Этой операции соответствует ма­ тематический прием центрирования случайной величи­ ны, т. е. обращения в нуль ее математического ожида­ ния. В этом случае ошибка характеризуется только среднеквадратическим отклонением. В сложных си­ стемах центрирование ошибок необходимо потому, что наличие дестабилизирующих факторов, присущих любой реальной системе, приводит к нестабильности математи­ ческого ожидания ошибки, а следовательно, и к увели­ чению общей ошибки системы. В связи с этим необхо­ димо изучение вопроса о коррекции ошибок преобразо­ вания, т. е. уменьшении их путем центрирования.

Линейная ошибка преобразования может быть опи­ сана не только расстоянием между истинными коорди­ натами цели и координатами точки, в которую осущест­ влен ее перенос, но также и направлением этого перемещения. Поэтому линейную ошибку можно рас­ сматривать как векторную величину и характеризовать модулем и фазой. Для центрирования необходимо опре­ делить модуль математического ожидания линейной ошибки, что было сделано в предыдущих разделах, и ее фазовый угол. Задача центрирования линейных ошибок может быть выполнена с применением, по крайней мере, двух подходов. Первый назовем дифференциальной кор­ рекцией, а второй — интегральной.

4.6.1. Дифференциальная коррекция

Задача коррекции может быть решена в результате анализа ошибок в каждом отдельном элементе разло­ жения. Рассмотрим метод дифференциальной коррекции применительно к разложению нулевого типа. Пусть

103

внутри произвольного элемента разложения помещена прямоугольная система координат, относительно которой мы хотим выполнить операции центрирования. Пусть, далее, одна из координатных осей направлена вдоль ра­ диуса зоны обзора, а вторая ей Перпендикулярна. Ли­ нейную ошибку в выбранной системе координат пред­ ставим в виде комплексной величины

y = xi + ix2x3.

Необходимо определить место начала системы коорди­ нат внутри элемента разложения так, чтобы перенос в эту точку преобразованной отметки от цели позволил свести к минимуму математическое ожидание линейной ошибки. Поскольку решение задачи формально требу­ ется для каждого элемента разложения, в качестве на­ звания такого метода использован термин «дифферен­ циальная коррекция».

Предположим, что проекция точки начала координат делит сторону элемента разложения Ad0 в отношении aca-i, а сторону Д|ЗоХз в отношении bc.b2. Определим от­ ношения аса2 и Ьс.Ьг, при которых математическое ожи­ дание составляющих линейной ошибки обращается

внуль. Для этого вычислим интеграл

аа Д [? 0 & а Д р 0 D

(ЬДсГоМРоО

и приравняем его нулю. Полученное в результате вы­ числений комплексное число равно нулю в том случае, если равны нулю его действительная ' и мнимая части. Поэтому из (4.56) получаем систему уравнений

^ Ч 1 - а * )(1 - 6 ) = 0.

Др0( 1—а) (1—Ь2) =0,

где a = a ja 2 и b = bi/b2. Решением системы являются чис­ ла а='1 и Ь = 1. Но поскольку ai + a2 = l и bi + b2= l , то условие оптимальной коррекции выполняется в том слу­ чае, если центрирование ошибок преобразования про­ изводится в каждом элементе относительно его центра (точки пересечения диагоналей).

Операции коррекции выполняются следующим обра­ зом. Производится сдвиг всех преобразованных отметок

104

к центру на величину математического ожидания ошиб­ ки по дальности и поворот в сторону уменьшения ази­ мута вокруг начала координатной системы зоны обзора на величину математического ожидания ошибки по ази­ муту.

Результат, полученный для разложения нулевого ти­ па, очевиден. Применение дифференциальной коррек­ ции для центрирования ошибок других типов разложе­ ний позволяет получить нетривиальные результаты.

некоторого интегрального оператора преобразования, который характеризуется средними значениями модуля и фазы. Можно считать, что интегральный оператор осу­ ществляет перенос истинного положения цели в преоб­ разованное в среднем одинаково в пределах всей зоны обзора. Вполне понятно, что для коррекции системати­ ческих ошибок координат целей, вызванных воздейст­ вием интегрального оператора преобразования, необхо­ дим обратный перенос всех преобразованных отметок. Этот обратный перенос может быть выполнен только в среднем, поскольку в процессе преобразования утра­ чивается взаимно-однозначное соответствие между истинным и преобразованным положениями цели. Такой метод коррекции, который может быть назван инте­ гральным, требует представление о средней величине пе­ реноса всех преобразованных отметок, а также о на­ правлении переноса. Вопрос о средней величине пере­ носа или, иными словами, о математическом ожидании модуля оператора преобразования рассмотрен в преды­ дущих параграфах. Для решения задачи интегральной коррекции изучим математическое ожидание фазового угла оператора преобразования.

На рис. 4.1 изображен сектор разложения нулевого типа. Так как выбор начала отсчета не имеет значения, предположим, что направлению, совпадающему с левой границей сектора, соответствует фазовый угол, равный

105

Все входящие в это выражение случайные величины не­ зависимы, функция плотности вероятности системы слу­ чайных величин задана уравнением (4.16). На основа­ нии формулы (4.4) запишем исходное выражение для математического ожидания фазового угла линейной ошибки

Д1о Ago D

= j I l JX»r-axc{g^rdx'dXidx*-

ио о

Выполнив операцию интегрирования, получим

liram (а) = 0; limm (а) = тс/2.

а->0 ™ а-»оо ™

В результате исследования выражения (4.58) числен­ ными методами построен график функции т ^ ( а), изо­

браженный на рис. 4.16. Как видим, функция т (а) —

монотонная на всем интервале значений аргумента а. Поэтому каждому значению аргумента а может быть поставлен в соответствие вектор математического ожи­ дания линейной ошибки, модуль которого определен формулой (4.20), а фаза — формулой • (4.58). Этот век­ тор устанавливает соответствие в среднем между исход-

Рис. 4.16.

106

ным и преобразованным пространством зоны обзора. Операции коррекции должны быть обратными по отно­ шению к такому преобразованию и могут быть выпол­ нены в соответствии с правилом, изложенным ниже.

Рис. 4.17.

Исходя из параметров разложения определяется со­ ответствующее им значение аргумента а, после чего по формулам (4.20) и (4.58) или по рис. 4.2 и 4.16 находят модуль и фазу вектора математического ожидания ли­ нейной ошибки. Вектор интегральной коррекции равен по величине и противоположен по направлению векто­ ру математического ожидания линейной ошибки. Вектор интегральной коррекции разлагается на две составляю­ щие, одна из которых направлена вдоль радиуса зоны обзора, а вторая ей перпендикулярна. Для выполнения операций коррекции все преобразованные отметки сдви­ гаются к центру на величину радиальной составляющей

Рис. 4.18.

107

вектора коррекции и в сторону уменьшения азимута на величину азимутальной составляющей.

Аналогичным образом могут быть получены функции математического ожидания фазового угла линейной ошибки для более сложных модификаций разложений.

и третьего типов при сочетаниях параметров k и /, представляющих наибольший практический интерес. Вид функций т ъ (а), т^(а.) и т ^ (а ) приведен в приложении 2 .

4.6.3. Эффективность коррекции

Рассмотрим вопрос об эффективности коррекции на примере секторного разложения нулевого типа. В соот­ ветствии с правилами дифференциальной коррекции вы­ ражения математического ожидания линейной ошибки и ее дисперсии при центрированных ошибках по дально­ сти и азимуту могут быть записаны следующим обра­ зом:

108

Выполнив вычисления, получим окончательные ре­ зультаты:

Графики функций /Поц(а) и аоц(а) приведены на рис. 4.20. Следует отметить, что как выражения .(4.59) и (4.60), так и графики функций /Поц(а) и аоц(а) соответствуют отмеченным ранее общим закономерностям, основными из которых являются существование потенциальной точ-

Рис. 4.20.

ности, первое и второе правила квадрата. Основные от­ личия этих функций от mo(a) и Оо(а) (рис. 4.2 и 4.3) со­ стоят в двухкратном уменьшении минимальных значе­ ний. Ширина 10%-й области минимальных значений Функций ооц(а) и сго(а), а также функций т 0ц(а) и Wo (а) практически одинакова. Аналогичные количест­ венные соотношения имеют место при коррекции других типов разложений.

109