книги / Пределы последовательностей и функций
..pdflim |
sin kx |
= |
0 |
= lim |
k sin kx |
= kx = t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→ 0 |
|
x |
|
0 |
→x |
0 |
|
|
kx |
x → 0,→t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= lim |
k sin t |
= k lim |
sin t |
= k 1 = k. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
t→ |
0 t |
|
|
|
→ t |
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
Ответ: k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 16. Найтиlim (1 − x ) tg |
π x |
. |
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x→ 1 |
|
|
|
2 |
|
|
= 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
π x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
lim (1 − x ) tg |
= {0 ∞ }= |
lim (1− |
x ) |
2 = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→ |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
→x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos π x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
x |
|
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
sin |
|
= 1, |
при x = |
1 |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
y = x −1, |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
− y |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y → |
0, =x |
+y |
1 |
y→ 0 cos |
( y +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y→ 0 |
|
|
|
→y 0 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
y |
+ |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ответ: |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй замечательный предел используют для раскрытия неоп- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ределенности |
вида1∞ . |
|
|
При |
нахождении |
|
|
|
|
пределов вида |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim ϕ |
( x ) ψ |
( x) = C следует иметь в виду, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) если существуют конечные пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ϕ ( x ) = A,lim ψ |
|
( x ) = B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ a |
|
|
|
|
|
|
→x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то C = A B ;
21
2) еслиlim ϕ ( x ) = A ≠ 1,lim ψ |
|
|
( x ) = ±∞ , |
|
то |
вопрос |
о нахождении |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→x |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
предела решают непосредственно; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3) еслиlim ϕ ( x ) |
= 1,lim ψ |
|
( x ) = ∞ |
, |
|
то используют второй замеча- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
a |
|
|
|
|
→x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тельный предел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 17. Найтиlim |
sin 2x 1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Здесьlim |
sin 2x |
= 2 |
, lim (1 + x ) = 1 ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
sin 2x |
1+ x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Поэтому |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 18. Найтиlim |
|
|
x +1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
→∞ |
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. Имеемlim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
, |
lim x |
|
= ∞ . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
2x +1 |
2 |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x +1 |
|
x2 |
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогдаlim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→∞ |
2x +1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 19. Найтиlim |
x −1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
→∞ |
x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. lim |
x −1 |
x |
= |
{1∞ |
} = lim 1 + |
|
x −1 |
−1 x |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ x |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
−2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
−2 |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ x |
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim −2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= ex→∞ |
x+1 = e−2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Ответ: e–2.
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 20. Найтиlim (3x − |
5) |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
x −2 |
|
|
|
|
|
|||||||
x→ 2 |
y = x − 2, |
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
||||||||||
Решение. lim (3x − 5) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
||
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→ 2 |
x = y + 2, y → |
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 3 |
|
||
= lim (3( y + 2) − 5) |
|
= lim (3y + |
1) |
|
|
= e3. |
||||||
|
||||||||||||
y |
y 3 |
|||||||||||
y→ 0 |
|
|
|
|
→y 0 |
|
|
|
|
|
||
Ответ: e3. |
|
( x +1) − ln x |
|
|
|
|
|
|||||
Пример 21. Найти lim x ln |
. |
|
|
|
|
|||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
При решении этого примера полезно знать, что если существует
и положителенlim f ( x ) , то lim ln f |
( x ) |
= ln lim f ( x ) . |
|||||||||||||
|
x→ |
a |
|
x→ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
→x a |
||
lim x ln ( x +1) − ln x = lim x ln |
x +1 |
= |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
→+∞x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x +1 |
x |
|
|
|
x +1 x |
|
|||||||
= lim ln |
|
|
|
= ln |
lim |
|
|
|
|
|
= |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
→+∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
→+∞x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
||
= ln |
|
1 + |
|||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1.
|
|
x +1 |
x |
|
|
|
|
|
x+1 |
= ln e |
lim |
||
|
|
|
x→+∞ |
|||
1 |
|
|
|
|
||
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x
x+1 = ln e = 1.
23
7. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН
Рассмотрим две бесконечно малые при |
x → |
x0 величины α |
( x ) |
|||||
иβ ( x ) , то есть lim α ( x )= |
0, lim β ( x ) = 0 . Тогда, если существует ко- |
|||||||
x→ x0 |
→x x0 |
|
|
|
α ( x ) |
|
|
|
нечный и не равный нулю предел их отношения lim |
= c , |
где |
||||||
|
||||||||
|
|
|
x→ |
x0 |
β ( x ) |
|
||
c — константа, отличная от нуля, то α ( x ) |
и β |
( x ) |
являются беско- |
нечно малыми одного порядка малости.
Еслис = 1 , то бесконечно малые величины называются эквива-
лентными. Обозначение α ( x ) ~ β ( x ) , x → |
x0 . |
||||||
Приведем таблицу некоторых эквивалентных бесконечно малых |
|||||||
величин. Пусть α ( x )→ |
0 |
приx → |
x0 . Тогда |
||||
sin α ( x ) |
|
|
x |
1 ~ x, |
|
||
~α ( x ), e− |
|
||||||
tg α ( x ) ~α ( x ), ln (+1 x ) ~ x, |
|||||||
arcsin α |
( x ) ~α |
( x ), |
x |
1 ~ x ln a, |
|||
a− |
|||||||
arctg α |
( x ) ~α ( x ), (+1 |
m |
1 ~ mx, |
||||
x )− |
|||||||
1 − cosα |
( x ) ~ |
α 2 ( x ) |
. |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Еслиc = 0 , тоα ( x ) |
— величина бесконечно малая, более высо- |
||||||
кого порядка малости, чемβ ( x ) . |
|
|
|
|
|||
Еслис = ∞ , тоα ( x ) |
— величина бесконечно малая, более низко- |
||||||
го порядка малости, чемβ ( x ) . |
( x ) |
и β ( x ) |
|
||||
Если с не существует, то α |
не сравнимы. |
Эквивалентные бесконечно малые величины используют для вычисления пределов на основе следующей теоремы.
24
Теорема 7. Предел отношения бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых.
Пример 22. Найтиlim |
|
sin 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
tg5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
lim |
sin 2x |
= lim |
2x |
= |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ 0 |
tg5x |
|
→x |
0 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 23. Найтиlim |
1 − cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 − cos x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
lim |
= lim |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ 0 |
|
x2 |
|
|
|
|
→x 0 x2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
arcsin 3x (e2 x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 24. lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
− cos5x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
arcsin 3x (e2 x −1) |
|
|
0 |
|
|
3x 2x |
|||||||||||||||||
Решение. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
||||||
|
1 − cos5x |
|
25 |
x2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
0 |
|
→x 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Ответ: |
12 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=12 .
25
25
8.НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ИТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x0, если:
1) функция определена в точке x0 и некоторой ее окрестности;
2) |
функция имеет предел приx → |
x0 ; |
3) |
предел функции f ( x ) при x → |
x0 равен значению функции |
в этой точке:
lim f ( x ) = f ( x ) .
x→ x0 0
Непрерывность функции в точке x0 предполагает существование предела функции в этой точке при любом способе стремления x к x0 . Следовательно, функция непрерывна в точке x0, если левый
и правый пределы равны между собой и равны значению функции в точке x0:
lim |
f ( x ) = |
lim f ( x ) = f ( x0 ) . |
x→ x−0 0 |
→x |
+x0 0 |
Точка, в которой нарушается условие непрерывности, называется точкой разрыва функции.
Пусть функция определена в окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точкиx0 .
Определение. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f ( x ) , если в этой точке существуют конечный левый
и правый пределы, равные между собой, но функция не определена или определена, но ее значение не равно левому и правому преде-
лу: lim |
f ( x ) = |
lim f ( x ) ≠ f ( x0 ) . |
x→ x−0 0 |
→x |
+x0 0 |
26
Разрыв называется устранимым потому, что функцию можно
сделать непрерывной, доопределив ее в точке x0 |
значени- |
|||||||||||
ем f ( x0 ) = f ( x0 − 0) = f ( x0 + 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 25. Найти точки разрыва функции y = |
x3 +1 |
|
и указать |
|||||||||
x +1 |
||||||||||||
их вид. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. При x0 = −1 |
функция не определена, но ее правый |
|||||||||||
и левый пределы совпадают. Действительно, |
|
|||||||||||
lim |
x3 +1 |
= |
lim |
|
( x +1)(x2 + x +1) = |
|
||||||
|
|
|
||||||||||
x→− ±1 0 x +1 |
→x− ± |
1 0 |
|
x +1 |
|
|||||||
= lim (x2 + x +1) = 3. |
|
|||||||||||
x→− ±1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, x0 = −1 — |
устранимая точка разрыва. Разрыв |
|||||||||||
можно устранить, доопределив функцию в точке x = −1 |
значением |
|||||||||||
одностороннего предела: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
+1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
, x ≠ − 1, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y = x +1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
, x = −1. |
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
Определение. Точка x0 |
называется точкой разрыва первого рода |
(скачок) функции f ( x ) , если в этой точке существуют конечный ле-
вый |
и правый |
пределы, но они не равны между собой: |
||||
lim |
f ( x ) ≠ lim |
f ( x ) . |
|
|||
x→ x−0 0 |
→x +x0 0 |
|
|
|
|
|
Пример 26. Найти точки разрыва функции y = |
|
x − 4 |
и указать |
|||
|
x − 4 |
|
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
их вид.
Решение. Найдем левый и правый пределы функции в точке x0 = 4 :
27
lim |
|
x − 4 |
|
= lim |
x − 4 |
= −1 . |
||||||
|
x − 4 |
|
|
|
||||||||
x→ −4 0 |
|
→x − 4 0 4 − x |
||||||||||
lim |
|
x − 4 |
= lim |
x − 4 |
= 1 . |
|||||||
|
x − 4 |
|
||||||||||
x→ +4 0 |
→x + |
4 0 x − 4 |
||||||||||
Таким образом, в точке x0 = 4 |
существуют конечные односто- |
ронние пределы, не равные между собой. Следовательно, x0 = 4 — точка разрыва первого рода.
Определение. Точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции f ( x ) , если в этой точке не существует хотя бы один из конечных односторонних пределов.
Пример 27. Найти точки разрыва функции |
|
|
1 |
|
||||||||
|
y = 2 |
x −3 |
и указать их |
|||||||||
вид. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Найдем левый и правый пределы в точке x0 = 3 : |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= t = x − 3, |
|
= lim 2t |
= ∞ . |
|||||
lim 2 x−3 |
|
|||||||||||
x→ +3 0 |
x → +3 0,→t |
+ 0 |
0 |
→ t + |
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= t = x − 3, |
|
= lim 2t |
= ∞ . |
||||||
lim 2 x−3 |
|
|||||||||||
x→ −3 0 |
x → +3 0,→t |
+ 0 |
0 |
→ t − |
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, x0 = 3 — точка разрыва второго рода.
28
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Вариант 1
1. Вычислить предел последовательности:
lim |
(2n +1)!+ (2n + 2)! . |
n→∞ |
(2n + 3)! |
2. Доказать по определению предела:
lim (3x −1) = 5 .
x→ 2
3. Вычислить пределы функций:
а) lim |
|
9x5 − 4x4 + 2 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
3x5 − 2x −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) |
lim |
2x2 −11x + 5 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→ 5 |
|
x2 − 7x +10 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) lim |
|
|
|
5x + 4 − 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2x −1 −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) lim |
arctg3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) lim |
|
|
|
x + 6 − |
x2 − 5 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
8x |
|
+ 3 |
+ |
|
|
5x |
|
+1 |
|||||||||||
|
x→∞ |
3 |
3 |
|
4 |
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
е) |
lim |
|
|
sin 2x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x ( |
π + x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
lim (7 + 2x ) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ж) |
x+3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
з) |
lim |
|
|
x4 + 3x3 − 2x − 2 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→ 1 2x3 + 8x2 + 5x −15 |
4. Указать характер точек разрыва функции.
1
y = e x−7 .
29
Вариант 2
1. Вычислить предел последовательности:
lim 2n − 3n−1 . |
|
n→∞ |
2n − 3n |
2. Доказать по определению предела:
lim 2x −1 = 2 . |
|
x→∞ |
x + 5 |
3. Вычислить пределы функций:
|
|
|
2 |
+ x +1 |
|
−3x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) lim |
|
x |
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
x |
|
+ 4x −1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→ 0 ln (1 + 9x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
lim |
7x5 + 8x4 − 5x3 −13x + 3 |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→ 1 |
|
|
|
|
|
|
x2 − 21x + 20 |
|||||||||
г) lim 2x ctg5x ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
lim |
|
|
|
|
7x3 − 4x2 + 6 |
; |
|
|
||||||||
|
|
3x3 +10x2 + 5x |
|
||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
е) lim |
|
|
(2x +1)!+ (2x + 2)! |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
(2x + 3)!+ (2x + 2)! |
||||||||||||||
ж) lim |
|
|
x − 2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
4x +1 − |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→ 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
з) lim |
2x2 −13x − 7 |
; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→ 7 |
|
|
|
x2 − 9x +14 |
|
|
|
|
|
|||||||
и) lim |
sin5x − sin 3x |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Указать характер точек разрыва функции:
y = ln ( x − 8) .
30