книги / Пределы последовательностей и функций

lim

(n + 4)!− (n + 2)! .

n→∞

(n + 3)!

2. Доказать по определению предела:

lim

4x + 3

=

2 .

2x −1

x→∞

3. Вычислить пределы функций:

а) lim

cos x − cos3x

;

x→ 0

x2

б) lim

x + 9 − 3

;

1 − x −1

x→ 0

в)

lim

x2 − 3x + 4

;

x→∞

2x

3

+ 5x −1

x2 − 7x );

г)

lim

(

x2 + 7x −

x→−∞

д) lim

x2

+ 5 x2

;

2

−

x→∞

x

5

е)

lim

arctg ( x + 2)

;

x→− 2

x

2

− 4

ж)

lim

x3 + 3x2 − 4

;

x→− 2 x3

+ 7x2 +16x +12

з) lim (3x − 5)

2 x

x2 −4

;

x→ 2

и) lim

x3 − 27

.

x→ 3

x2 − 9

lim 2 + 4 + ... + 2n .

n→∞

9n2 +1

а) lim

4x4 − 4x3 − 2

;

x→∞

5x

3

+ 3x

2

−1

б)

lim

2x2 − 7x + 3

;

x→

3

x − 3

в)

lim

x +1

;

x→−

1

x + 5 − 2

г) lim x ctg

5x

;

2

x→

0

5x2 + 3x −1 x2

д) lim

;

5x

2

+ 3x

x→∞

+ 3

е)

lim

x − 2 + 7

x3 +1

;

x→∞

36x2 + x + 7

ж) lim

1 + x −1

;

2))

x→

0 sin (π ( x+

8

lim (3x − 8)

з)

x−3

;

x→

3

и)

x3 + 2x2 −1

lim

.

x→−

1 2x4 + x3 − x2 +

5x + 5

4.

Указать характер точек разрыва функции:

x −1

y =

.

2x2 − x −1

Вариант 24

1.

Вычислить предел последовательности:

lim

(2n + 3)!− (2n +1)!

.

n→∞

(2n +1)!− (2n + 2)!

lim

6x − 2

= −2 .

x→∞

2

− 3x

а) lim

2x sin x

;

x→

0 sec x −1

б)

lim

x2 + 3x + 2

;

+12

x→−

2 2x2 +10x

в)

lim

4 − x2

;

3 + 2x2 −

x→

2 x

5x − 6

lim (5x − 9)

x

г)

2 x−4

;

x→

2

x2 + x +1

− x2

д) lim

;

2

x→∞

x

+ x −1

е)

lim x (x − x2

+1) ;

x→∞

ж) lim

x5 − 4x2 +1

;

x→∞

3x

5

− 9x + 3

з) lim

x + 2 − 2

;

x→

2

x −1 −1

n − 5

3n−1

lim

.

n→∞

n + 2

lim (2x − 2) = 4 .

x→

3

3. Вычислить пределы функций:

а) lim

1 − cos x

;

x→ 0 1 − cos

x

б) lim

1 −

1− x

;

x→ 0 2 − 3 8 − x

в)

lim

arcsin (1 − 2x )

;

x→ 1/ 2

4x

2

−1

г) lim

x2 + x − 56

;

x→ 7

x

2

− 49

2

+ 5x + 4

x

д) lim

x

;

2

x→∞

x

− 3x + 7

е)

lim

x3 − 2x +1

;

4

x→ 1 4x4 − x3 + 2x2 − x −

ж) lim

x8 + 2x − 2x2 + 5

x3 +1

;

x→∞

3 2x − x5 +1 − x + 7

lim (2 − x )

2 x

з)

1−x

;

x→ 1

и) lim

6x5 − 4x2 +1

.

x→∞

3x

5

− x + 3

y =

1

.

1

1

+ e

x−1

lim n!− (n −1)! .

n→∞

(n +1)!+ 2

lim 7 − 2x = 2 .

x→∞

6 − x

а) lim

ln (1 − sin x )

;

x→

0 sin 4x

lim (2x − 3)

x2

б)

x−2

;

x→

2

в) lim

3 −

7 + x

;

x→

2

x − 2

г) lim ctg x2 (1 − cos x ) ;

x→

0

д)

lim

x3 − 3x − 2

;

x→−

1 2x4 − x2 −1

е)

lim

x + 2 − 3 x

3 + 2

;

+ 2 − 5 32x5 +

x→∞

7 x

2

ж) lim

6x4 − 3x5 +1

;

x→∞

4x

5

− 2x + 3

з) lim

x3

−1

;

−

x→

1 x2

2x +1

x + 3 x +2

и) lim

.

x→∞

x − 8

lim

(n + 3)!− (n +1)! .

n→∞

(n + 2)!

а) lim

x +1 − 2

;

2x − 2 − 2

x→

3

б) lim

4

x7 + 8x − 5 − 3 x7 + 2

;

x→∞

5

x5 − 64x2

в) lim

3x4 − 2x +1

;

x→∞

2x

4

+ x

3

− 3

г) lim (cos7x −1) ctg x2 ;

x→

0

2x2 − x +1

x2

1−x

д) lim

;

2x

2

+ x +1

x→∞

е) lim

x4 − 4x2 + 3

;

x→

1

x −1

ж) lim

x3 − 2x +1

;

x

→ 1

4x

4

− 4

и) lim sin2 x − tg2 x .

x→ 0

x4

lim

3n4

− 2 n1

.

1 − 2n

4

n→∞

lim

5x −1

=

5

.

2x − 8

x→∞

2

lim (4x + 9)

5−x

а)

2+x

;

x→− 2

(

4x2 − 7x + 4 − 2x) ;

б) lim

x→∞

в)

lim

x +11 − 3

;

x→− 2

x

2

+ 2x

г)

x2 −1

lim

;

x→ 1

x3 + x − 2

д) lim

x − 3 2 x +1

;

x→∞

x + 3

е) lim

x2 − 5x + 6

;

x→ 3

x2 − 2x − 3

ж) lim

sin 4x

;

x +1

−1

x→

0

з) lim

1 − sin x

;

( x − π

x→π

/ 2

/ 2)cos x

и) lim

( x +1)3 − ( x −1)3

.

x

3

+

x→∞

1

1.

Вычислить предел последовательности:

lim

(3n −1)!+ (3n +1)! .

n→∞

(3n)!(n −1)

2.

Доказать по определению предела:

lim (2x − 6) = 4 .

x→ 5

а) lim

2x2 − x −1

;

x→ 1 3x2 + x − 4

б)

x2 − x − 2

lim

;

x→− 1 x3 − 2x2 −

3x

в)

lim

sin 7x

;

x

2

+ π x

x→−π

г) lim

1 + x −

1− x

;

x→ 0

3x

x2

−1

x−11

5

д) lim

;

2

+1

x→∞

x

е) lim

4x3 − 4x2 − 2

;

3x

3

+ x

2

+ 4x

x→∞

ж) lim

2x

;

x→ 0 tg (2π ( x+ 1/ 2))

з) lim (2 − x )

7 x

1−x

;

x→ 1

и) lim

x2 − 2x + 3

x3 +1

.

x2 + x

x→∞

lim

3n+1 − 5n−1 + 5

.

3

+ 5

n→∞

n+1

n

lim

7 − 5x

= −

5

.

6x − 4

x→∞

6

а) lim x sin 2x ctg2 3x ;

x→

0

б)

lim

x2 + 4x − 21

;

x→−

7

x + 7

в) lim (10 − 3x )

2

3−x

;

x→

3

г)

lim

x3 − 3x2 + 4

;

x→

2 3x3 − 9x2 +12

3x3 +1

2 x+1

д) lim

;

3x

3

+ x

2

− 3

x→∞

е) lim

(

x2 + x +1 − x2 − x ) ;

x→∞

ж) lim

2x sin x

;

x→ 0 1 − cos x

з) lim

2x +1 − 3

;

x→ 4

x − 2 −

2

и) lim

x3 − 4x2 + 6

.

x→∞

x

3

− 4x

4

+ 4x