книги / Пределы последовательностей и функций

в) lim

1 + x + x2 −1

;

x→ 0

x

г) lim

( x + 2)2 − ( x − 2)2

x +

;

x→∞

2

д) lim

5x2 − 2x − 39

;

x→ 3

−x2 − 2x +15

е)

lim ( x2 +1 −

x2 − 4x );

x→∞

ж) lim ( x − 2)ctg

π x

;

x→ 2

2

lim ( x − 3)

3 x2

з)

x−4

;

x→ 4

и) lim

1 − cos7x

.

x→ 0

3x2

lim

(2n +1)!+ (2n + 3)! .

n→∞

(2n + 2)!

2. Доказать по определению предела:

lim (2 − 3x ) = −1 .

x→ 1

3. Вычислить пределы функций:

а) lim

sin x − tg x

;

x→ 0

sin3 x

б) lim

x − 3

;

x

x→ 3 3

2

−1 − 2

в) lim

2x −1

;

+16x −

9

x→

0,5 8x3

г) lim3ctg9x ;

x→

0

д) lim x (ln (2x −1) − ln (2x +1)) ;

x→∞

x2 − x +1);

е) lim (x −

x→∞

ж) lim

6x2 + 3x

;

2x

2

− 3x + 5

x→∞

з) lim

x2 + x −12

;

x→

3

3x − 9

и) lim (2x − 3)

3 x

x−2

.

x→

2

lim

(n +1)!+ (n + 3)!

.

n→∞

(n + 2)!+ (n + 4)!

lim 4x − 2 = 4 .

x→∞

3x

3

в) lim

x − 2

;

4x +1 − 3

x→

2

г)

lim

x3 + 8

;

x→−

2 x2 − 4

д)

lim

2x5 + 3x4 + x +18

;

x→−

2

x

3

+ 8

е) lim (x −

x2 − 9 ) ;

x→∞

ж) lim

cos4x − cos6x

;

x→

0

sin2 5x

( x − 3)2 − ( x + 3)2

з) lim

( x + 2)

2

;

x→∞

x2 + 3x +1

− x2 +3

и) lim

.

2

x→∞

x

− 5x − 2

lim

2n+1 − 4n−1

.

n→∞

2

n

+ 4

n

а) lim cos x − cos3 x ;

x→ 0

x sin 2x

б) lim

7x2 − 3x

;

2x

2

+ 6x −1

x→∞

x2 − 4x );

в) lim (

x2 + x +1 −

x→∞

г) lim (8 − 7x )

x+5

2 x−2

;

x→

1

3x2 + x −

4

x+1

2

д) lim

;

3x

2

+ 2

x→∞

е) lim

x3 −1

;

x→

1 3x − 3

ж) lim

π

− x tg x ;

x→

π

2

2

з) lim

x +1

;

x→−

1 3x4 − 5x2 + x + 3

и) lim

x − 5 −1

.

x→

6

36 − x2

n + 5

2n+7

lim

.

n→∞

n − 2

x4

2

а) lim

− x

;

2

+ 2

x→∞

x

б)

lim

2x2 + x −1

;

x→− 1 x2 − 6x − 7

в) lim

x − 3 − 2

;

x→ 7

x

2

− 49

г) lim

4x4 − x3 + 2x2 − x − 62

;

x→ 2

x3 + 2x2 − 20x + 24

д)

lim

( x + 3)(ln (2 − 4x ) − ln (1− 4x )) ;

x→−∞

(

x2 + 2x − x2 − 2x ) ;

е)

lim

x→−∞

ж) lim

1 − cos x2

;

1 − cos x

x→ 0

1.

Вычислить предел последовательности:

lim

(4n +1)!+ (4n + 2)! .

n→∞

(4n + 3)!

2.

Доказать по определению предела:

lim (5x − 9) = 11 .

x→ 4

3.

Вычислить пределы функций:

2

+ 3x +1

x

а) lim

x

;

x

2

x→∞

− x − 2

б)

lim

x2 + x −12

;

x→−

4 x2 + 2x − 8

в)

lim

1 − x − 3

;

x→−

8

2 + 3 x

г) lim

1 − cos4x

;

x→

0 2x tg 2x

lim (2x − 3)

3 x

д)

5 x−10

;

x→

2

е)

lim

2x2 − 3x +1

;

x→∞

3x

2

+ x + 4

cos

x

ж) lim

2

;

x→π

x − π

з)

lim

x3 −1

;

x→

1 4x4 − x3 + 2x2 − x − 4

и) lim (

x2 − 3x + 2 − x) .

x→∞

lim 1 + 2 + 3 + ... + n .

n→∞

9n2 +1

lim

7x − 3

= 1 .

x→∞

7x

−1

3. Вычислить пределы функций:

а)

lim

5x3 − 2x +1

;

x→∞

2x

2

+ x − 3

б)

lim

5

x9 + 6x + 3 − 5

4x8 + 7x2

;

4 x − 4 + 4 9 +16x7

x→∞

lim (5 − 2x )

6 x+2

в)

3 x−6

;

x→ 2

г) lim

arctg2 4x

;

x→ 0 1 − cos3x

д) lim

x2 + x + 2 x +1

;

2

− 3x +

x→∞

x

8

е)

lim

x2 − 3x + 2

;

x→ 2

x − 2

ж)

lim

x3 +1

;

( x +1)

x→−

1 sin

з)

lim

2x3 − x2 + 3x − 4

;

x→ 1

x

3

−1

и) lim

1 −

1− x

.

x→ 0

1 − 3 1+ x

3n + 5

n−1

lim

.

3n + 8

n→∞

lim (2x + 5) = 5 .

x→

0

3. Вычислить пределы функций:

а) lim

x2 − 5x + 6

;

x→ 2

x2 − x − 2

б)

lim

x3 −1

;

4

x→ 1 4x4 − x3 + 2x2 − x −

lim (3 − x )

4 x

в)

x−2

;

x→ 2

г) lim

1 − cos8x

;

x→ 0 1 − cos4x

д)

lim

(

9x2 +1 − 3x) ;

x→∞

( x + 5)(ln (2x − 3) − ln (2x + 3)) ;

е) lim

x→∞

ж)

lim

1 − sin x

;

x→π

/ 2

2x − π

з) lim

x + 4 −1

;

x→− 3

x + 3

и)

lim

3 − x2 − 2x

.

x→∞

x

2

+ 4x +1

4.

Указать характер точек разрыва функции:

y = arctg

1

.

x

− 2

Вариант 20

1.

Вычислить предел последовательности:

lim

(n −1)!+ (n − 2)! .

n→∞

(n − 3)!

2.

Доказать по определению предела:

а)

lim

x2 −1 −

x + x2 − 3

;

x→

2

x

2

− 4

б) lim

x3 − 2x +1

;

x→∞

2x

4

+ x + 5

в) lim

x3 − 3x − 2

;

x→−

1 (x2 − x − 2)2

г)

lim

x2 + 3x −10

;

x→−

5

x

2

− 25

д) lim

2

+ 2x −1

x

x

;

2

x→∞

x

− 3x − 2

1−x

е) lim (1 − 4x )

x

;

x→

0

ж) lim

sin 3x

;

x

+ 2 −

2

x→

0

lim (

з)

x

( x + 5) − x) ;

x→∞

и) limsin5x ctg7x .

x→

0

lim

(2n + 3)!+ (2n + 2)! .

n→∞

(2n + 3)!

а) lim

4

x7 + 8x − 5 − 3 x + 2

;

x→∞

5 x7 − 64

б) lim (5x − 4)(2x + 2)

;

x→∞

5x

3

+ 2x

2

+ 2

2

+ 2x −1

x

в) lim

x

;

2

x→∞

x

− 2x + 2

г) lim

x + 3 − 2

;

x→ 1 1

−

2 − x

д) lim

tg 2x

;

x→ 0 sin5x

е) lim (9 − 4x )

1−x

x−2

;

x→ 2

ж) lim (1 − x ) tg

π x

;

x→ 1

2

з) lim

x3 − 6x2 + 5x +12

;

x→ 3

3 − x

и) lim

2x2 − 3x +1

.

x→ 1

x

2

−1