книги / Процессы и аппараты в технологии строительных материалов

3. Вычеркиваем символы дифференцирования, включая символы порядка дифференцирования (символы степени дифференциала сохраняем).

d2 w =item= w dτ2 τ2

Применяются также критерии, получаемые из условий задачи исследования. Например, исследуя движение жидкостей в змеевике, задают диаметр трубы и радиус витка змеевика. Для подобных змеевиков их отношение должно быть постоянным, т.е.

Rd =item ,

где d и R измеряются в см.

Критерии, представляющие отношения двух одноименных величин, полученные непосредственно из условий задачи эксперимента, называют параметрическими критериями. Если используют усредненные значения физических величин, то из них составляют усредненные критерии.

Если в выражение критерия входит линейный размер, то выбирают такой размер, который наиболее полно характеризует систему, охваченную процессом. Его называют определяющим размером (диаметр трубы, длина (высота) колонны и т.п.).

Критерии, составленные только из величин, входящих в условия однозначности, называют определяющими критериями. Параметрические критерии – всегда определяющие. Если в состав критериявходитхотябыоднавеличина,невходящаявусловияоднозначности,токритерийявляетсяопределяемым.Еслипроцессы подобны,тоихопределяющиекритерииравны.Нот.к.вподобных процессах равны все критерии подобия, то определяемые критерии тоже должны быть равны.

Это вторая теорема подобия. Она означает, что определяемые критерии суть однозначные функции определяющих критериев. Или: дифференциальное уравнение может быть представлено в виде критериального уравнения, описывающего функциональную зависимость между критериями подобия (Бэкингем, Федерман и Афанасьева-Эренфест).

21

В общем виде решение дифференциального уравнения может быть записано в виде

f  (π1,π2, π3, ..., πn) = 0,

где π1, π2, π3, πn – критерии подобия.

если π1 – определяемый, а все остальные определяющие, то

π1 = f  (π2, π3, ..., πn).

Следовательно, вторая теорема подобия отвечает на вопрос, как обрабатыватьрезультатыэкспериментов.Ихнадопредставитьввиде функциональныхзависимостеймеждукритериямиподобия.

Вид этой зависимости определяется экспериментально и дается в виде графиков или степенных функций.

Например, при исследовании какого-то процесса получили дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс. Из дифференциального уравнения и условий однозначности получили критерии, характеризующие процесс, определяемый Кх и определяющие К1 и К2, кроме того, из условий задачи получили параметрический критерий Кр.

Представим связь между физическими величинами, описывающими процесс критериальным уравнением в виде степенной функции

где A, n, m, t – постоянные, определяемые опытным путем. Проводят серию экспериментов, в которых два определяю-

щих критерия постоянны, например К1 и К2. Тогда для первой серии опытов

AК1n К2m = const = B

22

В экспериментах задают ряд значений Кр и определяют соответствующие им значения Кх. Наносятся точки на график в координатах lgКx – lgКp. По точкам проводят прямую. Из (2.10) следует, что тангенс наклона этой прямой к оси абцисс равен показателю степени при Кр, т.е. t.

В следующей серии находят значения n, затем m.

Третьятеоремаподобиягласит:процессыподобны,еслиихопреде-

ляющиекритерииравны(теоремаМ.В.КирпичеваиА.А.Гухмана). Таким образом, если для процесса может быть составлено дифференциальное уравнение, описывающее его, и определены условия однозначности, то исследование процесса сводится к нахождению постоянных критериального уравнения. Данные, полученные на модели в лабораторных условиях в соответствии с теорией подобия, могут быть распространены на все подобные процессы, в том числе протекающие в промышленных условиях, в исследованных пределах значений определяющих критериев.

2.2. Метод анализа размерностей

Однако далеко не все промышленные процессы могут быть описаны при помощи дифференциальных уравнений. Часто их даженеудаетсясоставить,илинеудаетсясформулироватьусловия однозначности. Тогда применяют метод анализа размерностей.

Условием применения этого метода является предварительное изучение процесса. В результате предварительных экспериментов устанавливают, какие физические величины и параметры существенно влияют на течение процесса.

Например, при течении жидкости по трубе перепад давлений зависит от диаметра трубы d, ее длины l, плотности ρ, вязкости μ и скорости w протекающей жидкости, т.е.

при этом конкретный вид зависимости неизвестен.

Метод анализа размерностей позволяет из зависимости типа (2.11) получить критериальное уравнение, описывающее процесс. Обязательное условие: единицы измерения всех входящих в данную функциональную зависимость величин должны быть выражены в одной системе единиц.

23

π-теорема: Если общая функциональная зависимость связывает n размерных величин, при составлении которых использовано m первичных единиц измерения, то эта зависимость может быть представлена в виде критериального уравнения, содержащего n–m критериев подобия, составленных из физических величин, входящих в общую функциональную зависимость.

Впримере (2.11) n = 6.

Всистеме МКГСС

м (L), с (Т), кгс (F), m = 3.

Следовательно, согласно π-теореме в критериальное уравнение, составленное на основе (2.11), должно входить n – m = 6 – 3 = 3 критерияподобия.

Представим (2.11) в виде произведения входящих в нее вели-

Заменим величины формулами их размерностей, тогда

L–2 F = ALaLb(L–4FT2)c(L–2FT)e(LT–1)k,

или

L-2 F = ALa +b-4c-2e+k Fс+eT2c+e-k.

Приравниваемпоказателистепенейприодинаковыхсимволах

24

Для решения этой системы не хватает двух уравнений, поэтому выразим все неизвестные через две, например е и b. Тогда

Эти значения а, с и k подставим в (2.12):

р = A d –b–e lb ρ1–e μe w 2–e.

Сгруппируем величины по показателям степеней

d1 = Г – критерий геометрического подобия (гидродинами-

ческие критерии подобия).

А, b и е определяют экспериментально. Здесь, однако, нельзя определить условия однозначности, а следовательно, выделить определяющиеинеопределяющиекритерии,т.е.здесьмогутвыпасть величины, влияющие на процесс, и войти не влияющие на него.

2.3. Моделирование процессов и аппаратов

Модельдолжнаобеспечиватьотражениеобъективныхсвязей действительности. Единой классификации моделей в настоящее время не существует. Различные авторы выделяют типы моделей в зависимости от предъявляемых к таким типам критериев: способаисредстввоспроизведенияреальнойдействительности;

25

характера объектов, воспроизводимых моделью; закономерностей функционирования и т.д.

В зависимости от способа воспроизведения и тех средств, с помощью которых происходит моделирование, многие авторы выделяютидеальныеиматериальныемодели.Другиесчитаюттакоеделениенеточнымивыделяютвещественныеизнаковыемодели.

Третьи полагают, что в моделировании следует выделять два пути: конструирование реально функционирующих вещественных агрегатов и построение абстрактных логико-математических моделей. При этом модели делят на вещественно-технические и логико-математические.

В.А.  Веников выделяет пять групп моделей в зависимости от полноты и точности воспроизведения изучаемого явления.

1.  Логические модели – воспроизведение определенных физических соотношений при помощи уравнений или аналогий (модель атома, программы для вычислительных машин).

2.  Геометрические модели – сохраняющие геометрическое подобие машин, сооружений, устройств и т.п., но не сохраняющие физической сущности явлений (макеты). Их главное назначение – моделирование пространственных особенностей объекта изучения.

3.  Физические модели – воспроизведение физических явлений в установке, имеющей другой масштаб. Масштабом в данном случае является не столько соотношение геометрических размеров, сколько соотношение физических параметров объекта и модели. В модели воспроизводятся те же по физической природе процессы, но в иных количественных соотношениях. (Например, образцы бетона в лабораторных условиях.)

Физическиемоделимогутбытьполнымиинеполными.Полные моделистроятссоблюдениемгеометрического,временногоподобия, подобияполейфизическихвеличинит.д.,т.е.ссоблюдениемравенствавсехкритериевподобия,описывающихпроцесс.Неполныемодели допускают неравенство тех критериев подобия, которые в данном конкретномслучаенесущественны,маловлияютнапроцесс.

4.  Математические модели, основанные на аналогичности дифференциальных уравнений, описывающих разные по физической сущности явления. Их разделяют на модели-аналоги и структурные математические модели. Так, электрическая модель

26

маятника – пример модели-аналога. Здесь используется идентичностьсоотношенийразличныхпараметров,неодинаковыхпосвоей физической сущности. Однако для расчетов такие модели не применяют. В случае необходимости расчетов строят структурные модели. Они могут быть электрическими, механическими и смешанными. (Например, ЭВЦ и другие вычислительные машины.)

Физические и математические модели взаимно дополняют друг друга. Физические модели позволяют проводить теоретическое изучение процессов до уровня вывода дифференциальных уравнений, описывающих процесс. Решение полученных уравнений можно проводить с помощью математических моделей.

5. Цифровые модели – установки, составленные из цифровых вычислительных машин, построенные по определенной программе, являющейся логической моделью.

В зависимости от задач познания модели могут выполнять роль структурныхилифункциональных,динамическихилистатических.

Повоспроизводимымсвойствамобъектаизучениямоделиделят насубстратные,структурныеифункциональные.Этозначит,чтоподобие объекта и модели может быть задано с помощью различных типовкритериеввзависимостиотцелейизадачисследования.

Воспроизводимым признаком может быть субстрат (материал) изучаемого объекта. Например, субстратными моделями являются образцы строительных материалов, полученные в лабораторных условиях. Воспроизводимым признаком может быть структура объекта, например лабораторная модель технологического процесса, где отдельные составные части выполнены в виде установок, не являющихся геометрическими и физическими моделями реальных установок. Наконец, воспроизводимым признаком может быть способ функционирования объекта. Тогда модель может быть построена из иного субстрата (материала), чем оригинал, не быть подобной ему геометрически и физически, но должна выполнять те же функции. (Например, плавка металла

спомощьюразличныхспособовнагрева,измельчениематериалов

содинаковой степенью в разных по конструкции устройствах.) Модель может быть структурной, не являясь субстратной, но

обязательно должна быть функциональной. Модель, обладающая cубстратным, структурным и функциональным подобием, называется комплексной.

27

Особенночастоприпостроенииразличныхмоделейприходитсяменятьихсубстрат,т.к.бываетневозможнопостроитьмодельиз того же субстрата, что и моделируемое явление, процесс, аппарат. Структурные модели позволяют менять степень абстракции в широких пределах, т.к. эти модели раскрывают внутреннюю организациюобъекта.Одинитотжеобъектможетиметьнесколькоструктурных моделей организации на различных уровнях. Структурное моделирование может быть и материальным и идеальным.

Функциональное моделирование позволяет изучать функции, т.е.поведениеизучаемогообъекта.Степеньабстракциифункциональных моделей может меняться еще более широко, чем структурных. Здесь также может быть выделено несколько уровней функционирования.Этимоделитакжемогутбытьматериальнымииидеальными.

Результаты исследований функциональных моделей носят вероятностный характер. Тем не менее функциональные модели находят широкое применение на практике. Идеальное функциональное моделирование называют стохастическим моделированием.

Основныетипымоделейпроцессовиаппаратовпредставленына рис2.2.Нетнеобходимостидоказыватьогромноезначениемоделирования не только в науке о процессах и аппаратах или вообще в научныхисследованиях,ноивсамыхразнообразныхотрасляхтехники.

Рис. 1. Классификация моделей

28

Недооценка возможностей моделирования приводит к печальным, а порой трагическим результатам.

Приведем пример из истории кораблестроения. В 1870 г. в Англии был построен броненосец «Кэптен». Могучий краса- вец-корабль еще в проекте был с восторгом принят английским адмиралтейством на вооружение. Он имел необычный вид – толстую броню, низкие борта, высокие железные мачты. Известный английскийкораблестроительРидвзялподсомнениемореходные качества корабля. Он построил модель броненосца и, исследовав ее, заявил адмиралтейству, что корабль неизбежно перевернется. Однако адмиралы не прислушались к мнению ученого, корабль был выпущен в плавание безо всяких исправлений и переделок. И в сентябре 1870 г. в тихую погоду «Кэптен» опрокинулся вверх дном. Из 150 человек команды остались в живых 17.

Краткое содержание главы 2

Процессы и аппараты рассматриваются в теории подобия как объекты, обладающие геометрическим, временным, физическим подобием условий однозначности. Они могут быть описаны на основании специальных форм анализа дифференциальных уравнений, описывающих процессы. Для этого уравнения дополняются условиями однозначности, включающими начальные и граничные условия. Дифференциальное уравнение в совокупности с условиями однозначности выделяет из целого класса процессов один конкретный процесс.

Теоремы подобия устанавливают возможность получения безразмерных комплексов величин, характеризующих процесс. Эти комплексы могут быть получены подобным преобразованием дифференциальных уравнений, описывающих процесс, и называются критериями подобия. Для подобных процессов критерии подобия равны. Критерии подобия могут быть определяющими и определяемыми. Между ними существуют функциональные зависимости, на основании которых могут быть полученыкритериальные уравнения,описывающиепроцессы методами подобия. Параметры этих уравнений находят экспериментально.

29

При отсутствии описывающих процесс дифференциальных уравнений критерии подобия могут быть получены методом анализ размерностей. Для определения числа возможных критериев подобия применяют -теорему, на основании которой число критериев подобия равно числу размерных величин, характеризующих процесс за вычетом числа первичных единиц измерения, входящих в эти величины.

Эксперименты для нахождения постоянных критериальные уравнения ставят, основываясь на теории моделирования. модели должны обладать максимально возможным количеством критериевподобия,равныхтемжекритериямизучаемогообъекта.

Модели для таких экспериментов должны быть функциональными или структурными. Наиболее полные данные могут быть получены при математической обработке результатов экспериментов с помощью ЭВМ (компьютеров).

Основные термины и понятия

Условияоднозначности–начальныеиграничныеусловия,при которыхпротекаетконкретныйпроцесс,выделяющиеэтотпроцесс из большого числа однородных процессов. Они включают:

–начальные условия, т.е. условия, существовавшие в момент начала изучения процесса;

–граничные условия – условия, существующие на границах объема (пространства), в котором протекает процесс.

Критерии подобия – безразмерный комплекс величин, описывающих процесс.

Определяющий критерий – критерий, составленный только из параметров, входящих в условия однозначности.

Определяемый критерий – критерий, в который входит хотя бы один пароаметр, не входящий в условия однозначности.

Критериальное уравнение – уравнение, составленное из критериев подобия. Обычно зависимость между определямым и определяющими критериями представляют в виде степенной функции. Показатели степени и коэффициент пропорциональности этого уравнения определяют экспериментально.

30