книги / Решение геометрических и физических задач с помощью определенного интеграла

6.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

ρ= ϕ; 0 ≤ϕ≤1.

7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

щей в первом квадранте.

11. Найти силу, с которой круглая пластинка радиусом R с постоянной поверхностной плотностью µ0 притягивает материаль-

ную точку массой m, находящуюся на перпендикуляре к плоскости пластинки на расстоянии a от ее центра. С какой силой притягивает точку в тех же условиях бесконечная плоскость?

11

Вариант 5

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями:

x = 2cos t; y = 6sin t; y =3 ( y ≥3).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x = et cost; y = et sin t; 0 ≤t ≤1.

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

9. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Oу астроиды

10.Найти статический момент окружности r = 2asin ϕ относительно полярной оси.

11.Найти силу, с которой притягивает усеченный конус с радиусами оснований r и R, высотой h, плотностью µ материальную

точку массой m, находящуюся в его вершине.

Вариант 6

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = cos xsin2 x; y = 0; 0 ≤ x ≤ 2.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 2(t −sin t); y = 2(1−cost); y =3 ( y ≥3).

13

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением

ρ=sin 3ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x = et sin t; y = et cost; 0 ≤t ≤ π.

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

y =sin2 x; x = π2 ; 0 ≤ x ≤ π2 .

9. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Ох кри-

10. Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии y = a ch ax в пределах от x = −a до x = a.

11. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. При постоянной силе тяги ускорение ракеты за счет уменьшения ее веса

растет по закону a = Ac −bt, c −bt > 0. Найти высоту, достигнутую ракетой к моменту времени t =T.

Вариант 7

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = x2 4 − x2 ; y = 0; 0 ≤ x ≤ 2.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x =16cos3 t; y =sin3 t; x = 6 3 ( x ≥ 6 3 ).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

ρ = 6cos3ϕ; ρ =3 (ρ≥3).

4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных коор-

динатах уравнением

ρ =1−cos ϕ; 0 ≤ϕ≤ π.

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

10.Найти центр тяжести дуги окружности радиусом a, стягивающей угол 2а.

11.Найти работу, которую надо затратить, чтобы тело массой m поднять с Земли, радиус которой R, на высоту h. Чему равна эта работа, если тело удаляется в бесконечность? Использо-

вать закон всемирного тяготения F = k m1 2m2 . r

Вариант 8

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = ex −1; y = 0; x = ln 2.

16

PNRPU

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 6cos t; y = 2sin t; y = 3 ( y ≥ 3 ).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярных координатах:

ρ= 12 +sin ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

динатах уравнением

ρ =1+cos ϕ; 0 ≤ϕ≤ π.

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

y = ln x; y = 0; x = e.

17

9. Найти площадь поверхности, образованной вращением во-

круг оси Oу (a > b) эллипса, заданного уравнением x2 + y2 =1. a2 b2

10.Найти координаты центра тяжести дуги одной арки циклоиды, заданной уравнениями: x = a(t −sin t) и y = a(1−cost).

11.Найти работу, которую нужно затратить, чтобы насыпать кучу песка в форме конуса высотой H, радиусом основания R, если

плотность песка равна α.

Вариант 9

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x =3(t −sin t); y =3(1−cost); y =3; 0 ≤ x ≤ 6π ( y ≥3).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

ρ=sin ϕ; ρ = 2sin ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

6.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

ρ=e2ϕ; 0 ≤ϕ≤ 2π.

7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Oх одной арки циклоиды, заданной уравнениями:

x = 2(t −sin t) и y = 2(1−cost).

10. Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной

(x ≥0, y ≥ 0) .

19

11. Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы: высота 140 м, ребро основания (квадрат) 200 м. Удельный вес камня, из которого она сделана, 2,5 г/см3. Вычислить работу, затраченную при ее постройке на преодоление силы тяжести.

Вариант 10

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = arccos x; y = 0; x = 0.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x =8 2 cos3 t; y = 2 sin3 t; x = 4 (x ≥ 4).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

ρ = 2cos ϕ; ρ =3cos ϕ.

4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

y =sh x +3; 0 ≤ x ≤ 2.

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

20