книги / Решение геометрических и физических задач с помощью определенного интеграла
..pdf
9.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох одной полуволны косинусоиды у = cosx в пределах от
х= −π2 до х = π2 .
10.Найти центр тяжести тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у2 = 4х, осью Ох
ипрямой х = 2.
11.Стержень АВ, длина которого l, а масса М, притягивает точку С массой m, которая лежит на его продолжении на расстоянии a от ближайшего конца В стержня. Найти силу взаимодействия стержня и точки.
Вариант 23
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y2 = x3; x = 4.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x =9 cos t; y = 4sin t; y =1 ( y ≥ 2).
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением
ρ= 4sin 5ϕ.
4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y =1−arccos x + 1− x2 ; |
0 ≤ x ≤ |
|
9 |
. |
|
16 |
|||||
|
|
|
|||
41 |
|
|
|
|
|
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:
x =3(cost −t sin t); y =3(sin t −t cost); 0 ≤t ≤ |
π. |
|
3 |
6.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ=5ϕ; 0 ≤ ϕ≤125 .
7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
x2 |
+ |
y2 |
− z2 =1; z = 0; z = 2. |
25 |
|
||
9 |
|
||
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y = arcsin x; |
x = |
π y. |
|
|
2 |
9.Найти площадь поверхности шара, образованного вращением круга, заданного уравнением х2 + у2 = 32, вокруг его диаметра.
10.Найти центр тяжести площади, заключенной между параболой х2 + у = 2 и осями координат.
11.Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму прямоугольника со сторонами а и b.
42
Вариант 24
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y= x2 −2x; y = 2x − x2.
2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x =8(1−sin t); y =8(1−cost); y =12; 0 ≤ x ≤16π ( y ≥12).
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением
ρ=6sin ϕ.
4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y2 =(x +1)3; 0 ≤ x ≤3.
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x = 6(sin t −t cos t); y = 6(cos t +t sin t); 0 ≤t ≤ π.
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ = 4(1−sin ϕ); |
0 ≤ϕ≤ |
π. |
|
|
6 |
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
43
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= −1, |
z =18. |
18 |
|
|
||||
9 |
64 |
|
|
|||
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y = |
|
|
1 |
; y = |
x |
; x = 0. |
|
1 |
+ x2 |
2 |
|
||
9.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох параболы у2 = 4х в пределах от вершины до точки,
вкоторой х = 3.
10.Найти центр тяжести кругового сектора центрального угла
π3 радиусом 3.
11. Верхний край шлюза, имеющего форму квадрата со стороной а, лежит на поверхности воды. Определить величину давления на каждую из частей шлюза, образуемых делением квадрата одной из его диагоналей.
Вариант 25
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = x2 −4x; y = 4 − x.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x = 24cos3 t; y = 2sin3 t; x =9 3 ( x ≥9 3 ).
44
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:
ρ = 4cos 2ϕ; ρ = 4sin ϕ.
4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = x − x2 −arccos x +5; |
1 |
≤ x ≤1. |
|
9 |
|
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x = et (cost +sin t); y = et (cost −sin t); 0 ≤t ≤ 2π.
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ =5(1−cos ϕ); |
− |
π |
≤ ϕ≤ 0. |
|
|
3 |
|
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
z= 2x2 +8y2 ; z = 4.
8.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиком заданной функции
(x −2)2 + y2 =1.
9. Найти площадь поверхности конуса, образованного вращением вокруг оси Ох отрезка прямой, соединяющей начало координат с точкой (2; 3).
45
|
х |
|
х |
|
10. Найти центр тяжести дуги цепной линии у = 2(е |
|
+е− |
|
) |
4 |
4 |
|||
впределах от х = 0 до х = 4.
11.Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой а, нижнее b, высота Н.
Вариант 26
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
3y = x2 ; y2 =3x.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x =t −sin t; y =1−cost.
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением
ρ=9sin 4ϕ.
4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = arcsin x − 1− x2 ; |
0 ≤ x ≤ |
15 . |
|
|
16 |
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x =(2 −t2 )cos t +2t sin t; y =(t2 −2)sin t −2t cos t; 0 ≤t ≤ 2π.
46
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ =1−sin 2ϕ; |
π |
≤ ϕ≤ π. |
|
2 |
|
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
− |
x2 |
− |
y2 |
+ |
|
z2 |
=1; |
z = 2. |
|
|
100 |
||||||
25 |
9 |
|
|
|
||||
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
x = 2 − y4 ; x = y2.
9.Найти площадь поверхности тора, образованного вращением вокруг оси Ох круга, заданного уравнением x2 +( y −1)2 = 22.
10.Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной циклоидой, заданной уравнениями x = 2cos3 ϕ, y = 2sin3 ϕ и содержащейся в первом квадранте.
11.Найти силу давления на плоскую пластину в форме полукруга радиусом R, погруженную в воду перпендикулярно поверхности так, что ее диаметр совпадает с поверхностью воды.
Вариант 27
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = x2 −5x; y =5 − x.
47
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x =t −2sin t; y =1−2cost.
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением
ρ=sin 2ϕ.
4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = ln cos x +2; |
0 ≤ x ≤ |
π. |
|
|
6 |
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:
x = 6cost −3cos 2t; y =6sin t −3sin 2t; |
0 ≤t ≤ |
π. |
|
|
2 |
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ =sin 2ϕ; |
0 ≤ϕ≤ |
π. |
|
|
2 |
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
z2 =1− |
x2 |
− |
y2 |
; |
z =0; |
z = 2. |
|
|
|||||
81 |
25 |
|
|
|
||
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y = ln x; x = 2; y = 0.
48
9. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
|
x |
x |
||
вокруг оси Ох цепной линии y = e |
|
+e− |
|
в пределах от х = 0 до |
2 |
2 |
|||
х= 2.
10.Найти центр тяжести поверхности, образованной вращением вокруг полярной оси одной петли лемнискаты ρ2 = 2a2 cos 2ϕ.
11.Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого равен d.
Вариант 28
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = x2 −4; y = 2 − x.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x = 2cost −cos 2t; y = 2sin t −sin 2t.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением
ρ2 = 4sin 4ϕ.
4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = ln cos x; |
0 ≤ x ≤ |
π. |
|
|
3 |
49 |
|
|
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x = 2cost +2t sin t; y = 2sin t −2t cost; 0 ≤t ≤ 2π.
6.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ= cos3ϕ; −π3 ≤ ϕ≤ π3 .
7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
|
|
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1; z = 0; z =3. |
|
9 |
|
36 |
||||
|
16 |
|
|
||||
8. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг |
||||||
оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций: |
|||||||
|
|
y = (x −1)2 ; x = 2; y = 0. |
|||||
9. |
Вычислить площадь поверхности, образуемой вращением |
||||||
вокруг оси Ох цепной линии |
y2 +4x = 2ln y в пределах от у = 1 до |
||||||
у = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
10. Найти центр тяжести дуги цепной линии y = |
1 (ex +e−x ) |
|
2 |
впределах от x = 0 до x =1.
11.Цистерна представляет собой параболический цилиндр, заданный уравнением z = y2 , 0 ≤ x ≤b, 0 ≤ z ≤ a. Найти работу, которую надо затратить, чтобы выкачать всю воду через верх.
50