книги / Решение геометрических и физических задач с помощью определенного интеграла

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Оу одной арки циклоиды, заданной уравнениями:

x = 2(t −sin t) и y = 2(1−cost) .

10. Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной кривыми: y = x2 ; y = x.

11. Вычислить работу, необходимую для выкачивания жидкости плотностью γ из конической бочки высотой Н, в основании

которой лежит круг радиусом R. В каком случае работа будет больше: когда конус обращен вершиной вверх или вершиной вниз?

Вариант 11

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

у =(x +1)2 ; y2 = x +1.

21

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 2 2 cost; y =3 2 sin t; y =3 ( y ≥3).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярных координатах:

ρ=sin 6ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x =5(t −sin t); y =5(1−cost); −π≤t ≤ 0.

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

x2 + y2 = 22 ; y2 + z2 = 22.

8.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

y = ch x; y = 0; x = 0; x = −1.

22

9.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох кардиоиды, заданной уравнениями:

x= 2(2cost −cos 2t) и y = 2(2sin t −sin 2t).

10.Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной первой аркой циклоиды, заданной уравнениями: x = a(t −sin t),

y= a(1−cost), и осью Ох.

11.Найти работу, которую надо затратить, чтобы растянуть упругую пружину на 10 см, если сила в 1 кг растягивает ее на 1 см. Использовать закон Гука F = −k∆x.

Вариант 12

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = 2x − x2 +3; y = x2 −4x +3.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x =8(t −sin t); y = 6(1−cos t); y =9 (0 ≤ x ≤12π).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением

ρ=6sin 3ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций: y = 2x − x2 ; y = 0.

9.Определить площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты r2 = 22 cos 2ϕ вокруг полярной оси.

10.Найти центр тяжести полусферы радиусом a с центром

вначале координат, расположенной над плоскостью хOу.

11. Круглый цилиндр, радиус основания которого равен r, а высота Н, вращается вокруг своей оси с постоянной скоростью ω. Плотность материала, из которого сделан цилиндр, равна γ. Найти кинетическую энергию цилиндра. Кинетическая энергия тела вращения вокруг неподвижной оси равна 0,5Jω2 , где ω – угловая скорость, J – момент инерции относительно оси вращения.

24

Вариант 13

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

5 y = x2 ; y2 =5x.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x =32cos3 t; y =sin3 t; x = 4 (x ≥ 4).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

y = 2 +ch x; 0 ≤ x ≤1.

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

y2 = x3; y = 0; x =1.

9.Определить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды r = 2(1+cos ϕ) вокруг полярной оси.

10.Найти центр тяжести однородного прямого кругового конуса с радиусом основания r и высотой h.

11.Вычислить силу давления жидкости плотностью γ на тон-

кую прямоугольную пластинку со сторонами a и b, погруженную в жидкость так, что ее плоскость образует угол α с поверхностью жидкости, а сторона a параллельна ей и находится на глубине h.

Вариант 14

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

x = arccos y; y = 0; x = 0.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x =3cos t; y =8sin t; y = 4 ( y ≥ 4).

26

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением

ρ=sin 3ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

y = ex +e; ln 3 ≤ x ≤ln 15.

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

6.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

ρ= 4ϕ; 0 ≤ϕ≤ π4 .

7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

x2 + y2 =9, z = 0, z = y ( y ≥ 0).

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

y = x2 ; y = x.

27

9. Найти площадь поверхности, образованной вращением во-

круг оси Ох цепной линии y =3ch 3x в пределах от x = 0 до x =3.

10.Найти центр тяжести однородного полушара радиусом a

сцентром в начале координат, расположенного над плоскостью хОу.

11.Найти силу давления на плоскую пластину в форме полукруга радиусом R, погруженную в воду перпендикулярно поверхности так, что ее диаметр совпадает с поверхностью воды.

Вариант 15

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = x arctg x; y = 0; x = 3.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 6(t −sin t); y = 6(1−cost); y = 6; 0 ≤ x ≤12π (у ≥ 6).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением

ρ=cos3ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

y = e4 x +13; ln 8 15 ≤ x ≤ln 8 24.

28

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиком заданной функции

y2 (x −4) = x(x −3).

9. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Oу аст-

2 2

роиды x3 + y 3 =1.

10.Найти момент инерции окружности радиусом a относительно ее диаметра.

11.Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого равен d.

Вариант 16

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

29

y = x 4 − x2 ; y = 0; 0 ≤ x ≤ 2.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x =8cos3 t; y = 4sin3 t; x =3 3 ( x ≥3 3 ).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярных координатах:

ρ=sin 2ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

y = ch x +3; 0 ≤ x ≤1.

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями: