книги / Маркшейдерское дело. Анализ точности

положения определяемого пункта по любому направлению. Ошибка положения пункта по определенному направлению будет равна расстоянию от центра эллипса до подеры (педальной кривой, эвальвенты, кривой точности, кривой средних ошибок) по соответствующему направлению.

Рис. 6.1. Средний эллипс ошибок

Подера – геометрическое место точек пересечения направлений, проведенных через центр, с перпендикулярами к этим направлениям, касательными к эллипсу.

Ошибка абсциссы (ординаты) определяемого пункта Мx ( M y ),

соответствующая ошибке положения пункта по направлению, параллельному оси абсцисс (ординат), численно будет равна расстоянию от центра эллипса до подеры. Следовательно, имея подеру (кривую точности) конечного пункта полигона, можно определить ошибку положения его в любом необходимом направлении.

Уравнение подеры записывается в следующем виде:

где P – радиус-вектор подеры (кривой точности); А, В – размеры большой и малой полуосей подеры; 1 – дирекционный угол большой полуоси.

61

Для построения кривой точности необходимо знать три элемента: размер большой полуоси А, малой полуоси В и дирекционный угол большой полуоси 1 (или какие-либо другие три параметра).

Громоздкое аналитическое определение этих параметров заменим более простым – графическим.

При графическом определении ошибок положения конечного пункта строят подеру от каждого источника: от ошибок при измерении горизонтальных углов M , от случайных и систематических

ошибок при измерении длин линий Ml и Ml , от ошибок при определении дирекционного угла исходной стороны M 0 . По элемен-

там найденных подер строят результирующую подеру (кривую точности).

6.1. Построение подеры в зависимости от ошибок измерения углов

Построим подеру в следующем порядке:

1. Для расчета элементов подеры для теодолитного хода (рис. 6.2) составим табл. 6.1.

Рис. 6.2. Схема свободного висячего полигона

62

Таблица 6 . 1

Расчеты к определению параметров подеры в зависимости от ошибок измерения углов

В табл. 6.1. приняты следующие обозначения:

m i – средняя квадратическая ошибка измерения i-го горизонтального угла; Ri – кратчайшее расстояние от i-й вершины теодолитного хода до конечного пункта, м; i – дирекционный угол луча Ri относительно оси Х, …º; аi – отношение длины луча Ri в метрах к числу 206265,

(рис. 6.3) в удобном для построения масштабе по величине ai и углу 2 i согласно данным табл. 6.1.

С квадратичного полигона на начальной его точке снимаем величину дирекционного угла 2 2 направления W , которое является

удвоенным дирекционным углом малой полуоси.

3. Величины большой и малой полуосей подеры А и В опреде-

где W – поправка к определению размеров полуосей подеры.

63

3) проводим в квадранте I дугу окружности радиусом А,

ав квадранте III – дугу окружности радиусом В;

4)задаваясь рядом значений угла через 10 или 15 , прово-

дим радиусы А и В обеих окружностей и проектируем их соответственно на оси х и у в точки a и b;

5)соединяя точки a и b проекций на осях х и у, получим величину радиуса-вектора P для данного значения ;

6)на плане горных работ, принимая пункт K (конечную точку полигона) за центр кривой точности (см. рис. 6.2), под углами 1

и2 от оси х откладываем отрезки, равные соответственно А и В,

вудобном масштабе;

7)относительно этих осей строим промежуточные точки поде-

ры, используя при этом определенные на рис. 6.4 углы i и радиу- сы-векторы P i ;

8)соединяем полученные точки плавной кривой;

9)построение подеры в других квадрантах производим на основе симметрии.

В заключение необходимо сравнить аналитически и графически полученные погрешности конечного пункта полигона в направлениях

хи у, обусловленные ошибками измерения углов, и дать заключение о точности, производительности, наглядностиэтих способов.

6.2. Построение подеры в зависимости от ошибок измерения длин линий

Поскольку ошибки измерения длин линий бывают случайные

исистематические, построим две подеры в следующем порядке:

I. Построим кривую точности положения конечной точки висячего хода в зависимости от случайных ошибок измерения длин сторон:

1. Для расчета элементов подеры этого эллипса ошибок состав-

ляем табл. 6.2, в которой приняты следующие обозначения: ml –

65

ошибка измерения длин сторон с учетом влияния случайных ошибок, ml l , μ = 0,001 м1/2; i – дирекционные углы сторон полигона.

Таблица 6 . 2

Расчеты к определению параметров подеры в зависимости от случайных ошибок при измерении длин сторон

Примечание: необходимо произвести суммирование по 3-му столбцу

иполучить Ml2 .

2.По ml2 и дирекционному углу2i строим квадратичный полигон (рис. 6.5), по которому определяем величину поправки Wl

идирекционный угол большой полуоси 1 .

Рис. 6.5. Квадратичный полигон для определения поправки Wl

66

3. Величины большой А и малой В полуосей подеры в зависимости от случайных ошибок определяем по формулам:

Al2 12 Ml2 Wl ,

(6.4)

Bl2 12 Ml2 Wl .

4. По аналогии с подерой от M строим подеру в зависимости от случайных ошибок Ml при измерении длин линий.

II. Построим кривую точности положения конечной точки полигона в зависимости от систематических ошибок измерений длин линий:

1. Опуская все вычисления, запишем рабочие формулы определения величин большой и малой полуосей эллипса погрешности в зависимости от систематических ошибок измерений длин линий:

где – коэффициент влияния систематических ошибок; L – длина замыкающей хода (рис. 6.6) (величину снять с плана в миллиметрах).

Рис. 6.6. К построению подеры:

_ _ _ – в зависимости от систематических ошибок при измерении длин линий;

____ – в зависимости от ошибок в определении дирекционного угла исходной стороны

67

2. Строим подеру в зависимости от систематических ошибок Ml

при измерении длин линий с учетом того, что определяется только одна полуось– большая, другаяжеобращаетсявноль(см. формулы(6.5)). На рис. 6.6 представлена величина Al . Она откладывается перпендику-

лярнонаправлениюбольшойполуосивконечнойточкеполигона. Дирекционный угол большой полуоси 1 равен дирекционному

углу замыкающей, т.е. 1 .

6.3. Построение подеры в зависимости от ошибки определения дирекционного угла исходной стороны (от ошибки ориентирования)

Находим элементы подеры. Величину большой и малой полуосей кривой точности определяем по формулам:

где m 0 – среднеквадратическая ошибка ориентирования исходной

стороны.

Дирекционный угол малой полуоси 2 равен дирекционному углу замыкающей, т.е. 2 90° .

6.4.Построение результирующей подеры

Всвязи с тем что на положение конечного пункта теодолитного

хода влияют как ошибки измерения углов и длин линий, так и ошибка ориентировки исходной стороны, строим результирующий эллипс (подеру) погрешностей, чтобы иметь возможность определить суммарную погрешность от всех источников ошибок по любому направлению.

Строим результирующую подеру в следующем порядке:

1. Опуская все промежуточные теоретические выкладки, запишем рабочие формулы для вычисления величин большой и малой полуосей результирующей подеры:

68

2. Для определения основных параметров результирующей подеры составим табл. 6.3, в которую введем величины больших Ai

и малыхBi полуосей и дирекционные углы больших полуосей 1(i) .

Таблица 6 . 3 Расчеты к определению параметров результирующей подеры

Примечания: 1. Необходимо произвести суммирование по 2, 3 и 4-му столбцам. 2. Контроль: Ai2 Bi2 Ai2 Bi2 .

3. Для определения поправки WK и дирекционного угла большой полуоси результирующей подеры строим квадратичный полигон по разностям Ai2 Bi2 и дирекционному углу21(i) (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Квадратичный полигон для определения поправки WK

Зная величины полуосей результирующей подеры AK и BK и дирекционный угол большой полуоси, на вспомогательном чер-

69

теже (по аналогии с чертежом на рис. 6.4) определяем радиусывекторы результирующей кривой, строим ее, приняв за центр конечный пункт полигона (см. рис. 6.2).

Наибольшая ошибка положения конечной точки полигона определяется на результирующей подере (см. рис. 6.2):

При правильном построении и необходимых расчетах величина M K , определенная графическим способом, должна соответствовать

величине M K , найденной при строгом аналитическом решении за-

дачи по формуле (3.44).

После сравнения значений ошибок положения конечного пункта, полученных строгим аналитическим и графическим способами, необходимо сделать заключение о точности и производительности способов расчета. Все подеры необходимо строить в одном масштабе разными цветами.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Условные обозначения для горной графической документа-

ции: справ. – М.: Недра, 1981. – 304 с.

2.ГОСТ 2.850–75 – ГОСТ 2.857–75. Горная графическая документация. – Введ. 1977-07-01. – М.: Изд-во стандартов, 1983.

3.ГОСТ 7.32–2001. Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Отчет о научноисследовательской работе. Структура и правила оформления. –

Введ. 2001-05-22. – М.: Изд-во стандартов, 2001.

4.Зимич В.С. Инструкция по производству маркшейдерских работ. – М.: Недра, 1987. – 240 с.

5.Маркшейдерское дело: учебник для вузов: в 2 ч. / И.Н. Ушаков [и др.]; подред. И.Н. Ушакова. – 3-е изд. – М.: Недра, 1989. – 311 с.

6.Маркшейдерское дело: учебник для вузов / Д.Н. Оглоблин

[и др.]. – М.: Недра, 1981. – 704 с.

70