книги / Расчет и подтверждение параметрической надежности РДТТ. Статистический анализ результатов испытаний
.pdf. S M s L
Следует отметить, что неоднородность выборки свидетельствует либо о наличии грубой ошибки при измерениях параметров, либо о действии какого-то неучтенного фактора. Каждое отброшенное значение должно быть проанализировано с этой точки зрения.
Все полученные параметры распределения являются случайными величинами, для которых определяются доверительные интервалы:
|
S |
S |
Х |
T= ^J-pl2 |
+ ~~r=tj. !2 \ |
|
*Jn |
л/Л |
ГДеУ = № ; |
/ = |
|
При числе наблюдений больше 100 использовались приближенные
значения квантилей распределения Пирсона:
х 3Р,2 = ^ Ф / - 1 + 1,96)2; x l p/2 =-2 Ф / - 1 - 1 , 9 6 ) 2.
Для асимметрии и эксцесса определялись их дисперсии: |
|
|
D{A)= 6 { n - i) . |
п(е)= 2М ” - 2Х” - 3 ) |
|
(in+ lXn + 3)’ |
(и + i f {п + 3)(п + |
5) |
Тип распределения определялся с помощью критерия Колмогорова. Для этого определяется максимальная разность между эмпирическим и теоретическим распределением:
AF = -(* )-* ■ (* ,),
п
1
S3J2%
Для проверки гипотезы о соответствии рассматриваемой выборки логарифмически нормальному распределению применялись преобразования:
У - У = 1пх.
Кроме этого, проверялось соответствие выборки распределению Грама-Шарлье [4]:
F(xt)= \ f ( x ) d x - ^ f ’{x) +j-4 r { x ) .
—СО
Для каждого распределения определялась величина
Х = дрпмхл/^.
Из всех распределений лучше всего соответствует экспериментальным
данным распределение с минимальным значением X.
В случае, если выборочное распределение задается в виде гистограммы, т. е. через относительные частоты на интервалах изменения
независимой переменной х, то границы интервалов задавались:
*min^ * <*min + Ах |
соответствует Ри |
xrain + (/-/) Ах < х < х^п + /Ах |
соответствует Ph |
*min + {к-1) Ах < х < xmin + Xmax |
соответствует Рь |
гдехт{п, Хщах —минимальное и максимальное значения переменной х;
Р = Ц . |
|
|
r i |
П |
» |
- число наблюдений, попаЬших на данный интервал;
х, - среднее значение переменной внутри /-го интервала.
к
/*/
|
А ~ т т £ л ( * < - * ) 3; |
|
|
ЛХ ,_7 |
|
Л |
_ч¥ Дх* Ж |
_л2 7Дх' |
Е = |
* w |
- 3 . |
Sx4 w |
240 |
Число интервалов разбиения рекомендуется выбирать не менее 12.
Значение ^ определялось по формуле |
|
|
N7 |
_ С7 |
|
Х=I 0/1 |
^Imax |
|
|
Л |
|
|
|'+У |
*i |
\f(x)d x - ]f(x)dx ,
1=1
При обработке гистограмм использовалась поправка Шеппарда для определения дисперсии, асимметрии и эксцесса распределений с тем, чтобы убрать смещение параметров из-за группировки данных при построении гистограммы.
2.4. Анализ многомерной выборочной совокупности
Для подтверждения параметрической надежности при отработке РДТТ большое значение имеет выбор вероятностной модели. Применение для этой цели дискретных распределений неэффективно, т. к. в этом случае используется только сам факт отказа или успеха испытания. Вследствие этого при применении дискретных моделей требуется очень большое количество стендовых испытаний. Наиболее эффективные модели основываются на многомерных распределениях, которые учитывают зависимости ВБХ от температуры заряда, скорости горения топлива, площади критического сечения сопла и т. д. [5]. Это позволит уменьшить количество огневых стендовых испытаний (ОСИ), повысить
точность расчета параметрической надежности и уменьшить себестоимость отработки зарядов и двигателей.
В математическом анализе существует понятие функциональной зависимости, которая строится на основе логических построений и дает «жесткую» связь между значениями аргумента и функции. Сложнее обстоит дело со случайными величинами. Если изменяется одна случайная величина, то изменение другой величины может быть вызвано как влиянием собственных случайных факторов, так и наличием связи между случайными величинами. Такие зависимости называют стохастическими. При наличии их с изменением одной величины меняется распределение другой случайной величины. Для выявления стохастической связи применяют коэффициент корреляции:
Щ Щ у )
Некоторые свойства коэффициента корреляции [1]:
1. Коэффициент корреляции независимых величин равен нулю. Однако обратный вывод несправедлив. Если коэффициент корреляции равен нулю, то это может говорить как об отсутствии зависимости между случайными величинами, так и о слишком большой нелинейности этой связи.
2. Коэффициент корреляции может изменяться в пределах от минус единицы до плюс единицы.
3. Знак при коэффициенте корреляции показывает тип зависимости. При положительном знаке зависимость будет прямая, а при отрицательном
-обратная.
4.Чем ближе значение абсолютного значения коэффициента корре ляции к единице, тем сильнее связь между случайными величинами.
Корреляционный анализ широко применяется при отработке двигателей летательных аппаратов и проведении различных научно-
исследовательских работ. Следует иметь в виду, что наличие корреляционной связи между параметрами еще не означает наличия причинно-следственной связи. Это необходимо проверять отдельно. Кроме этого, коэффициент корреляции показывает только факт наличия связи. Количественную оценку типа зависимости между случайными величинами дает регрессионный анализ. Для этого экспериментальные данные представляются в виде многомерного распределения, плотность которого описывается выражением [12]:
Обработка многомерной совокупности производится в следующей последовательности [12]:
- расчет элементов матрицы ковариаций
|
l1// |
Vl2 |
|
Vlk |
|
^2! |
V-22 |
|
\*-2к |
|
|
|
|
О) |
|
LVkl |
Vk2 |
|
Vkk J |
|
Z (.V i - y )2 |
I I |
Y,(Xij-xj )2 |
|
где |
/=/ |
. |
_ /=/_________ |
|
H// = |
|
v-ii = |
||
|
|
n |
|
|
|
|
£ (* # |
~ xjKxy - * .) |
|
J |
» ■*! _ |
> |
ПП
- определение коэффициента корреляции
- определение частного коэффициента корреляции
где Ду - алгебраическое дополнение элемента матрицы р,у(1).
Частный коэффициент корреляции показывает степень связи между двумя параметрами при фиксированных значениях всех остальных переменных;
-определение значимых факторов [6]. Влияние факторов Xj на
выходной параметр у считается значимым, если ч-р*
при f |
= п - к - 1. |
|
|
Незначимые факторы отбрасываются; |
|
||
- составление уравнения регрессии |
|
||
|
У-Ро +Pi(xi - xi) +- +Pj(xj - xj ) - +Рк(хк ~ хк) |
(2) |
|
|
$о=У'> |
D,, |
|
где |
Ру= _ 7 Г '; |
|
|
ип
-оценка остаточной дисперсии уравнения (2). Служит для оценки случайных отклонений ВБХ, т.е. тех отклонений от уравнения регрессии, которые остаются после учета влияния всех неслучайных факторов.
\ р
s 0 = |
А |
/ ; |
|
||
- оценки дисперсий коэффициентов уравнения регрессии. Служат для |
||
оценки точности найденных коэффициентов уравнения регрессии. |
||
О „ Sp ' |
_ |
SQ \Llj ' |
- сводный коэффициент корреляции. Оценивает силу связи выходного параметра со всеми влияющими на него факторами.
Разработанная программа позволяет оценить влияние на выходной параметр до 9 факторов по результатам испытаний п < 100. Используется для определения параметров линейных или линеаризованных зависимостей. Возможно применение для приближенной оценки нелинейных зависимостей, для этого в качестве независимого фактора используется вторая степень фактора Xj. Получается уравнение параболического типа.
2.5. Аппроксимация одномерных нелинейных зависимостей
При отработке РДТТ, особенно при анализе аномальных случаев работы, возникает необходимость описания зависимости выходного параметра от одного определяющего фактора. Эта модель может быть любого вида, поэтому требуется выбрать модель, которая лучше всего соответствует опытным данным. Этот поиск очень трудоемок. При решении данной задачи использовались работы [1,4]. Определялись параметры следующих моделей:
а) у = а0 + cijX 4- а 2х 2 +... + акх к.
Данное уравнение было представлено в виде
У = Роро0 0 + РуЛ 0 0 + - + Ра^ОО »
где |
|
|
|
I У М ь ) |
|
й |
1 ] y A ( * i ) |
J._______ • |
* |
------------ |
|
m |
fk |
ш |
|
? .# ( * ,) |
|
|
(х>) |
/ |
|
|
/«=/ |
= |
P,(X) = X - m +1 |
k 2(m2 - k 2)
PM (x)=Pt№ ( x ) - |
Р ы М . |
|
4 0 ? -1 ) |
Данный подход используется для уравнений, опытные зависимости которых отстоят на одинаковом интервале друг от друга и с одинаковым количеством опытов на каждом уровне. Для общего случая проведения эксперимента применялась следующая система уравнений:
r i,Po2fio |
i |
i |
i |
+£РоРзгЦ2=1.У,Ро |
l |
1 |
|||
t w o + Ё л 2л |
1 |
1 |
= 1 > л |
|
1 |
1 |
1 |
||
< |
|
|
|
|
i |
i |
i |
i |
i |
Z W . + Z W 1 + I W 2 +Хл2& =|>.л • |
||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
V
Остаточная дисперсия уравнения
1 $0 = т - к - 1
Расчет производится при различных степенях уравнения и определяется то уравнение, которое имеет минимальную остаточную дисперсию;
б) ^ =
-я
где а = 10° ; 6 = —;
D
|
т |
т |
|
от |
|
|
£ l g * , |
|
i=i |
А = |
/=/ |
|=/ |
я = |
|
|
|
; |
|
|
|
X ' g * . ^ . |
Е о в л ) 2 |
Х 1^ |
i~i |
|
/ - / |
1-/ |
/=/ |
|
т |
|
Ё 18*. |
|
|
D = т |
|
i»i |
» |
||
|
т |
|
|||
|
Ё 'е * . |
|
Е О е */)2 |
|
|
|
|*У |
|
/«У |
|
|
в) у = ai>x, |
|
|
|
|
|
где а = |
л |
|
|
в |
|
|
|
|
|
||
|
|
Ь ’ |
Ъ ‘ |
|
|
|
|
|
|
||
|
т |
|
|
т |
|
|
Ё ^ л |
|
Ё * / |
|
|
А = |
ы |
|
|
/=у |
|
т |
|
|
m |
|
|
|
/=/ |
igy, |
E * f |
|
|
|
|
|
Ы1 |
|
|
|
т |
|
|
т |
|
|
|
|
Е * . |
|
|
£> = |
т |
|
т /в/ |
> |
|
|
/=/ |
|
Е ов*»)2 |
|
|
|
|
/«у |
|
|
|
г ) j ; = a + M g * ,
*^0 |
II |
f 4■* |
С2 |
|
m - z Ы1 |
|
|
т
шi h y ,
|
i=/ |
Х>< |
Ё * ,1 в л |
/=/ |
1-/ |
-' f l r
т- 2 ы,
—R
где а = 10°; |
6 = —; |
|
|
|
|
|
т |
т |
|
|
т |
А = |
Е л |
Ё 'в * / |
|
т |
Е л |
1-у |
/-У |
; |
в = |
/=У |
|
т |
т |
|
|||
|
Е л 1g*< |
Efle*.-)2 |
/«У |
Ё л !в * 1 |
|
|
/=/ |
/-у |
|
/=У |
|
|
т |
|
|
1 |
|
|
т |
т |
’ |
|
|
|
т |
|
|||
|
|
|
|
|
|
I ( l g ^ ) 2
д) у = аеы,
—в
где a =eD\ b ~~jy
|
т |
ш |
|
|
7=7 |
£ * . |
|
А = |
1=7 |
; |
|
м |
т |
||
|
£ х( [&У‘ £ * • |
|
|
|
/=7 |
/=7 |
|
|
/я |
m |
|
|
7=7 |
|
|
Z) = |
т |
|
|
т |
|
||
|
2 > |
1 > .2 |
|
|
1=7 |
7=7 |
|
ч |
|
-aV |
|
е) |
37 = де |
|
|
|
m |
m |
|
i=7 |
“ I * |
л = |
7=7 |
|
|
m |
|
|
I * ? i g * - I * / |
|
|
/=/ |
7=7 |
|
m |
m |
|
- E * 2 |
|
D = m |
7=7 |
|
m |
||
|
I * . 2 |
7=7 |
|
7=*7 |
|
|
|
|
т |
|
|
т |
Z |
t e J ' ' |
|
|
fn |
|
7=/ |
|
|
|
т |
|
|
|
Z |
x > |
Z |
x i l ^ y , |
|
/=/ |
|
7=7 |
|
со |
11 |
2 % . |
||
|
■.J |
|||
|
т |
- г |
i=, |
|
(3)
m |
m |
£ i g ^ |
|
; 5 = m |
7=7 |
|
|
7=7 |
S t f i g * ’ |
7=7 |
|
|
- дв-<Л? N |
ж) ^ = ае*2** cosflfo). |
(4) |
Данное уравнение невозможно обработать методом наименьших квадратов, поэтому с целью минимизации остаточной дисперсии применяем симплексный метод [7]: в области значений факторов случайным образом выбирается точка, в окрестностях которой определяются опытные или расчетные параметры по определенному плану, который называется симплексом. В данном случае независимыми