Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Специальные главы математики

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

что означает ортогональность кривых x и в точке их пересечения.

Итак, для решения вариационной задачи с одной подвижной границей следует:

во-первых, решить уравнение Эйлера, определив тем самым семейство экстремалей, зависящих от двух произвольных постоянных;

во-вторых, использовав условие жесткого закрепления в точке t a , получить соотношение для определения произвольных постоянных;

в-третьих, с учетом вида множества, которому принадлежит свободная граница, найти дополнительные соотношения для определения произвольных постоянных.

Пример 7. Исследовать на экстремум функционал

		2
	1 x&		dt

0		x

при условии x(0) 0 , а вторая граница принадлежит прямой x t 5 .

Решение. Во-первых, составим и решим уравнение Эйлера. Данный функционал имеет специальный вид: см. случай 5 из лекции 3. Следовательно, уравнение Эйлера для него допускает первый интеграл

	2		2
1 x&				x&	C ,
	x
		x	2
			2
			1 x&

представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Разрешая его относительно x&, получаем уравнение в разделяющихся переменных

x&	1	1	,

	C2 x2

интегральными кривыми которого являются окружности

(t C1)2 x2 C22 .

Во-вторых, учтем первое граничное условие x(0) 0 . Получим

C1 C2 .

В-третьих, множество, которому принадлежит свободная граница, представляет собой кривую, значит, нужно использовать условие трансверсальности, но наш функционал имеет вид (1.10) и для него, согласно вышеприведенному замечанию, условие трансверсальности совпадает с условием ортогональности. Следовательно, прямая x t 5 должна быть ортогональна окружности, что возможно только

тогда, когда прямая лежит на диаметре окружности (t C )2	x2 C2 .
1	1

Значит, центр этой окружности находится в точке (5,0) пересечения прямой x t 5 с осью t .

Итак, экстремалью данной задачи является окружность

(t 5)2 x2 25 .

Лекция 6. Изопериметрическая задача

Пусть кривая x x(t) с фиксированными концами x(a) A , x(b) B является решением следующей задачи. Интеграл

I F (t, x, x&)dt

достигает на этой кривой своего минимального (максимального) значения, причем интеграл

J G(t, x, x&)dt

обладает заранее заданным значением. Функции F,G и x считаются дважды непрерывно дифференцируемыми. Какому дифференциальному уравнению должна удовлетворять кривая x ?

В отличие от предыдущих задач при варьировании функции x , недостаточно одного параметра, поскольку его изменение будет, вообще говоря, изменять интеграл J .

Итак, введем двухпараметрическое семейство

X (t) x(t) y(t) z(t) ,

где y и z – непрерывно дифференцируемые функции, причем y(a) y(b) z(a) z(b) 0 . Нулевые граничные условия на вариации y и

z обеспечивают выполнение равенств X (a)				A , X (b)	B .
Замещая x	на	X в интегралах I и J , получаем две функции
от двух вещественных переменных каждая:
	b			b
I ( , )		&	J ( , )		&
	F (t, X , X )dt ,			G(t, X , X )dt ,
	a			a
&		x&(t) y&(t)	z&(t) , функции y и z – фиксиро-
где, как всегда, X (t)
ваны. Ясно, что параметры и			не являются независимыми, так как
интеграл J сохраняет постоянное значение:				J ( , )	J0 const . Вме-
сте с тем при		0 интеграл	I достигает своего экстремального

значения.

Мы видим, что поставленная выше задача на экстремум функции I ( , ) при условии постоянства функции J ( , ) является типич-

ной задачей на условный экстремум.

Согласно методу Лагранжа решения задач на условный экстремум введем функцию Лагранжа

	b
K ( , , ) I ( , )	&
K ( , , ) I ( , )	J ( , ) H (t, X , X )dt ,
	a
где H F G . Переменная	называется множителем Лагранжа.

Правило множителей Лагранжа утверждает, что экстремальные значения исходной задачи на условный экстремум являются решениями системы:

K	0	,	K	0	, J J0 .

Вычисляя

H X		& b
	H X		dt

X	&

	X		a

H		H
	y	& y& dt ,
	y	& y& dt ,
X		X

при 0 , находим:

0 a

H		H
	y		y& dt 0 .
x		x&

Интегрируя по частям второе слагаемое и учитывая обращение в нуль внеинтегральных членов (в силу нулевых граничных условий для функции y ), приходим к равенству

H	d	H	y(t) dt 0 .

x	dt	x&
x	dt	x&

Совершенно аналогично, вычисляя	K	при	0 , получаем:

H	d	H	z(t) dt 0 .

x	dt	x&
x	dt	x&

Эти равенства по сути эквивалентны и, согласно основной лемме, ведут к уравнению Эйлера–Лагранжа:

H	d	H	0 .

x	dt	x&
x	dt	x&

Лекция 7. Примеры решения некоторых вариационных задач

В качестве иллюстрации построенной теории решим три классические задачи: задачу Дидоны, задачу о брахистохроне и задачу о минимальной поверхности вращения. Каждую из этих задач сначала переформулируем в вариационных терминах, то есть поставим ее как задачу отыскания минимума функционала с заданными граничными условиями, а затем решим ее разработанными выше методами вариационного исчисления.

Задача Дидоны

Вспомним задачу, о которой говорилось в начале курса: мы оставили Дидону в тот момент, когда ей нужно было ограничить шнуром фиксированной длины максимальную площадь. Мы уже освоили вариационное исчисление настолько хорошо, что можем помочь Дидоне.

Итак, рассмотрим задачу об отыскании плоской замкнутой кривой заданной длины, ограничивающей наибольшую площадь. Сама постановка задачи диктует поиск таких кривых в параметрической форме

x	x(t),	t [a,b] , где	x(a) x(b) ,	y(a) y(b) .
y	y(t),

Искомые кривые должны доставлять наибольшее значение интегралу

1 b

a (xy& xy&)dt , при условии, что длина J

y& dt задана.

2 a

Система уравнений Эйлера–Лагранжа имеет вид

H d H

xy& xy&

0 , где H

y& .

x dt x&

y dt y&

Вычисляем:

y& d

x& d

0 .

Отсюда находим первые интегралы системы

C2 .

Система легко интегрируется

x C

y C

2 ,

а искомые кривые оказываются окружностями

центром в

точке

(x , y )

и радиусом

: (x x )2

( y

y )2

2 , где 2

J .

Задача о брахистохроне

Предположим,

что

точки

A и B лежат в плоскости xOy с осью

Oy, направленной вниз (рис.3). По-

ложим A

A(x1, y1) и B

B(x2 , y2 )

и пусть y

y(x)

– уравнение дуги,

соединяющей точки A и B так, что

x2 ,

y(x1) ,

y(x2 ) ,

y2 .Скорость

движения

вдоль

кривой пусть равна

Тогда

Рис. 3

время спуска равно

x2 ds

y 2 dx

Чтобы найти скорость v как функцию координаты x, воспользуемся законом сохранения энергии:

mv2 mv2

mgy

mgy1 ,

где v1 — начальная скорость движения частицы. Тогда

2g( y

y ), y

и задача свелась к выбору функции y(x) , для которой интеграл

y 2 dx

достигает наименьшего значения из всех возможных.

Так как функция F

зависит только от y и y ,

то уравнение Эйлера допускает первый интеграл:

y 2

C1 .

( y

y )(1 y 2 )

Разрешая это уравнение относительно y

, находим

( y

y 0 )

где мы положили 2a 1 C12 . Таким образом, мы получили дифферен-

циальное уравнение первого порядка в разделяющихся переменных. Решая его, имеем:

y0 dy

C .

2a ( y y0 )

Для вычисления интеграла удобно воспользоваться заменой

y y 2a sin

2 u

.Тогда

2a 2sin

cos

2a sin

2 u

(1 cosu)du

C a(u sin u) C .

Мы пришли к решению в параметрической форме

a(u

sin u),

a(1

cosu).

Это и есть кривая наибыстрейшего спуска, известная под названием циклоиды. Можно показать, что выбор постоянных a и C позволяет провести циклоиду через произвольные две заданные точки. Напом-

ним, что величина y0			не является произвольной постоянной.
	Задача о наименьшей поверхности вращения
Пусть		даны две точки P (x , y ) ,					P (x , y ) плоскости xOy,
				1	1	1	2	2	2
пусть x1	x2 . Пусть далее y			y(x)	– уравнение кривой, соединяющей
точки P	и P	, т.е. y	y(x ) ,	y	y(x ) . Кривая вращается вокруг оси
1	2	1	1	2		2

Ox, заметая некоторую поверхность вращения. Спрашивается, что представляет собой поверхность вращения, имеющая наименьшую возможную площадь. Таким образом, мы приходим к проблеме выбора функции y(x) , для которой интеграл

S 2 y 1 y 2 dx

– площадь поверхности вращения – минимален. Такие минимальные поверхности вращения, при некоторых дополнительных ограничениях

на точки P и

, называются катеноидами.

Функция F в этом случае имеет вид F

y 1

y 2 , то есть не

зависит от x. Первый интеграл дается равенством

y 2

C , и тогда y

y 2

C12

Решая это уравнение в разделяющихся переменных, получаем

C1dy

C .

y2 C2

Удобно далее положить y

C1 ch t . Тогда

C dy

C2 sh t dt

C1t

C .

C1 sh t

C12

Положим C

и C

a , тогда окончательно y

b ch

– искомая

кривая (цепная линия).

Задачи для самостоятельного исследования

Сформулировать следующие задачи как задачи на отыскание экстремумов некоторых интегральных функционалов, и решить их методами вариационного исчисления.

1.Решить задачу Дидоны в классической постановке: когда максимальную площадь нужно отгородить вдоль берега моря (береговую линию считаем естественной прямолинейной границей).

2.Найти линию наименьшей длины, которая вместе с отрезком [0,1] ограничивает заданную площадь S .

3.Даны два взаимно перпендикулярных луча OA и OB с общей вершиной O . Среди кривых заданной длины L , концы которых лежат на OA и OB , найти такую, которая отсекает от угла

AOB максимальную площадь.
4. Материальная точка перемещается		вдоль плоской кривой
y y(x) , соединяющей точки	M и	N , со скоростью, прямо

пропорциональной абсциссе точки в каждый момент времени. Найти кривую y y(x) , время движения вдоль которой из точ-

ки М в точку N будет минимальным.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20236.43 Mб0Социология фаворитизма..pdf
#
20.11.20231.58 Mб0Социология.-1.pdf
#
12.11.20232.67 Mб0Социология..pdf
#
12.11.202311.16 Mб0Спектральный подход к первичной обработке сигналов аналитических приборов..pdf
#
12.11.20238.85 Mб2Специальные волоконные световоды..pdf
#
12.11.20231.54 Mб1Специальные главы математики..pdf
#
12.11.202317.47 Mб4Специальные измерения в устройствах связи, автоматики и телемеханики..pdf
#
12.11.20233.81 Mб0Специальные методы механики грунтов и механики скальных пород..pdf
#
12.11.20233.56 Mб0Специальные методы сварки..pdf
#
12.11.202315.1 Mб5Специальные методы электрических измерений..pdf
#
12.11.202310.58 Mб9Специальные плазменные технологии..pdf