книги / Специальные главы математики

Решение. Перейдем в данном уравнении от оригиналов к изображениям. Положим x(t) X ( p) и воспользуемся теоремой о свертке:

зуясь теоремой линейности, получаем решение исходного интегрального уравнения:

Уравнения математической физики

Лекция 11. Классификация уравнений в частных производных второго порядка

Многие задачи механики, физики, широкий круг инженернотехнических задач приводят к исследованию дифференциальных урав-

нений с частными производными второго порядка, являющихся частным случаем так называемых уравнений математической физики. Их вывод опирается на механические или физические законы. Из всего многообразия таких задач мы выберем несколько самых простых, которые, тем не менее, являются математическими моделями реальных физических или механических процессов.

1. Волновое уравнение (уравнение колебания струны или уравнение гиперболического типа)

Это уравнение описывает движение струны (т.е. тонкой однородной нерастяжимой нити), свободно изгибающейся в вертикальной плоскости. Неизвестная функция u u(t, x) зависит от времени t и

координаты струны x . При каждом фиксированном t функция u u(t, x) представляет собой профиль струны, который можно представить как некоторую непрерывную гладкую кривую в плоскости

Oxu . Коэффициент a2 определяется характеристиками струны и для данной струны является постоянной величиной. Функция f (t, x) – за-

данная функция, описывающая внешние воздействия на струну. Если f (t, x) 0 , то уравнение (3.1) называют уравнением свободных коле-

t 0 , что вполне объяснимо, поскольку наблюдения над струной можно считать начатыми в некоторый момент времени, который мы вправе, не нарушая общности, назвать нулем.

Для области изменения координаты x существует гораздо больше возможностей.

Во-первых, можно предполагать, что х ( , ) ; это предпо-

ложение соответствует случаю бесконечной струны. Не следует считать, что такая постановка задачи не физична, т.е. не имеет никакого отношения к реальности. Представим себе, что нас интересует поведение очень длинной струны, причем на небольшом серединном участке. При таких предположениях малосущественно, как ведет себя струна на концах – эта информация просто не будет востребована. Для такого случая модель бесконечной струны оказывается вполне адекватной.

Во-вторых, можно считать, что х 0, : получаем случай по-

лубесконечной струны. И снова эта модель окажется удобной для очень длинной струны, но рассматриваемой вблизи одного из ее концов.

В-третьих, можно считать, что х 0,l , и рассмотреть струну

конечной длины. В этом случае поведением струны на концах пренебречь нельзя: из самых общих предположений ясно, что ситуация жесткого закрепления на концах существенно отличается, скажем, от ситуации свободно движущегося конца струны.

Заметим, что три приведенных выше варианта выбора области определения для переменной x приводят к различным методам решения соответствующих задач.

Следующий вопрос, без ответа на который нельзя обойтись – наличие начальных условий на функцию u(t, x) . Такие условия необ-

ходимы: ведь уравнение (3.1) – дифференциальное, значит, его решение будет содержать произвольные параметры, для вычисления которых нужны дополнительные условия. Добавим к уравнению (3.1) два начальных условия:

Если дополнить уравнение (3.1) условиями (3.2) и (3.3), то мы получим для волнового уравнения аналог задачи Коши. В случае бес-

конечной струны для однозначной разрешимости задачи Коши достаточно задать начальный профиль и начальное распределение скоростей. Для полубесконечной или конечной струны потребуются еще условия на границах.

2. Уравнение теплопроводности (уравнение параболического

типа)

Это уравнение описывает закон распределения температуры в тонком однородном изотропном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью (теплообмен с окружающей средой происходит

есть температура поперечного сечения стержня, определяемого координатой x (так как стержень тонкий и однородный, то можно считать, что все точки поперечного сечения имеют одинаковую температуру).

Положительный коэффициент a2 называют коэффициентом температуропроводности; он зависит от материала, из которого изготовлен стержень и для данного стержня является постоянной величиной. Если функция f (t, x) ненулевая, то в стержне есть внутренние источники

тепла с плотностью распределения f (t, x) .

Так же как и для струны считаем, что t 0 , а для x есть три существенно различных области изменения:

х ( , ) – бесконечный стержень – моделирует ситуацию

очень длинного стержня, если нас интересует распределение тепла на небольшом участке вдали от концов;

х0, – полубесконечный стержень – исследуется распре-

деление тепла в длинном стержне вблизи одного из концов;

х0,l – стержень конечной длины.

Так как уравнение (3.4) по переменной t является уравнением первого порядка, то для него возможно только одно начальное условие:

Для бесконечного стержня задача (3.4)–(3.5) однозначно разрешима. Для конечного и полубесконечного стержня нужна информация о тепловом режиме на границах.

3. Уравнение эллиптического типа

Так называют уравнения, которые моделируют стационарные процессы. Например, стационарное распределение тепла в плоской однородной пластинке D описывается следующим уравнением:

В физической постановке задача, моделью которой являются соотношения (3.6)–(3.7), может быть сформулирована следующим образом: найти температуру u(x, y) всех точек пластинки D, остающую-

ся постоянной (т.е. не меняющуюся со временем), если на границе пластинки поддерживается заданная температура .

Эта задача носит название задачи Дирихле.

Лекция 12. Решение волнового уравнения по формуле Д’Аламбера

Бесконечная струна

Пусть x ( , ) , а движение струны описывается уравнением

(3.1) при f (t, x) 0 :

движения также должен быть задан как граничное условие. Вариантов задания граничных условий теоретически можно предложить бесконечно много, но не все они будут осмысленны с прикладной точки зрения. Поэтому ограничимся рассмотрением двух наиболее простых и практически значимых случаев граничных условий: жесткое закрепление и свободный конец.

которое и означает, что в любой момент времени t левый конец струны находится в одном и том же фиксированном положении – в точке

(0,0) .

Будем искать решение уравнения (3.8) с начальными условиями (3.2)–(3.3) и граничным условием (3.11) в виде формулы (3.10). Непосредственное применение этой формулы пока невозможно, так как

не противоречили начальным и краевым условиям. Запишем формулу

(3.10) в виде

даваемое равенством (3.12), удовлетворяет условию (3.11). Подставим в (3.12) х 0 :

at

Нетрудно заметить, что последние два равенства дают нам условия не-

Решение задачи получаем по формуле (3.12).

Пусть теперь левый конец струны может свободно перемещаться по вертикали (т.е. он может скользить – без трения – по оси Ou ). Тогда вместо условия (3.11) следует ввести условие

которое означает, что на левом конце отсутствует сила натяжения.

Для уравнения (3.8) с начальными условиями (3.2)–(3.3) и граничным условием (3.14) решение также задается формулой (3.12), но вместо условий (3.13) получаем условия четного продолжения функ-

Лекция 13. Решение уравнения теплопроводности для конечного стержня методом Фурье

Решение задач на конечном отрезке (нагревание конечного стержня, движение конечной струны) потребовало принципиально иных идей и методов. Наиболее простой, и вместе с тем достаточно мощный метод решения таких задач – метод разделения переменных или метод Фурье.

Покажем, как работает этот метод при решении задачи о распределении тепла в тонком однородном стержне.

Будем считать, что в стержне нет внутренних источников и, следовательно, тепло перераспределяется свободно, перемещаясь, согласно второму закону термодинамики, от более нагретых точек к менее нагретым.

Стержень конечной длины, значит, должен быть задан тепло-

полагается непрерывной на отрезке 0,l .

Тепловой режим на границах может быть задан бесконечным числом способов. Как и для полубесконечной струны, остановимся на одном простом, но практически важном классе задач: будем предполагать, что на концах стержня поддерживается постоянная нулевая температура. Математически это означает, что мы дополнили начальные условия (3.5) двумя краевыми условиями:

Идея метода Фурье состоит в следующем: будем искать решение уравнения (3.15), удовлетворяющее краевым условиям (3.16) (на время забыв о начальных условиях (3.5)) в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от своей переменной: