книги / Специальные главы математики

Интегральные уравнения

Лекция 8. Понятие об интегральных уравнениях

Интегральными уравнениями принято называть уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак интеграла.

Конечно, это определение не вполне корректно, хотя бы потому, что оно не указывает, какие еще действия, кроме интегрирования, можно производить над неизвестной функцией. Например, «интегральное» уравнение с неизвестной функцией x(t)

t

x(t) x&(s) ds x(0)

0

есть просто тождество, справедливое для любой непрерывно дифференцируемой функции, определенной в некотором интервале; а «интегральное» уравнение

всякой теории интегральных уравнений).

Не ставя перед собой задачу дать логически безупречное определение интегрального уравнения, ограничимся приведенным выше описательным определением и перечислим наиболее важные классы интегральных уравнений, которыми и будем заниматься.

Уравнение

b

a

называется линейным интегральным уравнением Фредгольма второго рода, а уравнение

a

называется линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода.

Для уравнений (2.1) и (2.2) используют единую терминологию и обозначения.

Функция K (t, s) называется ядром интегрального уравнения и

предполагается непрерывной по совокупности переменных; функция f (t) называется свободным членом или правой частью уравнения и

также предполагается непрерывной. Число есть вещественный или комплексный параметр. Оно может быть фиксированным; но чаще интегральное уравнение удобно рассматривать как семейство уравнений, зависящих от параметра .

Пределы интегрирования a,b могут быть как конечными, так и бесконечными.

Если f (t) 0 , то уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным.

Некоторые задачи, приводящие к интегральным уравнениям

Едва ли не первой задачей, которую можно связать с интегральными уравнениями, была задача обращения интеграла

Можно считать, что вторая формула дает решение первого интегрального уравнения, в котором функция f ( y) – искомая, а F (x) – задан-

ная, и наоборот (первая формула дает решение второго уравнения). Эти формулы известны под названием прямого и обратного преобразования Фурье.

К интегральным уравнениям вида (2.2) приводит задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:

x&(t) a(t)x(t) g(t),

(2.3)

x(0) x0.

В самом деле, пусть x(t) есть решение задачи (2.3). Подставляя x(t) в дифференциальное уравнение, получим тождество, интегрируя которое в пределах от 0 до t , имеем

есть решение уравнения (2.4). Тогда, дифференцируя уравнение (2.4) по t , получим, что x(t) является решением задачи Коши (2.3). Таким

образом, решение интегрального уравнения (2.4) эквивалентно решению задачи Коши (2.3).

К интегральным уравнениям приводит задача о плотности распределения силы, под действием которой нить принимает заданную форму. В физике элементарных частиц большую роль играет так называемое уравнение переноса, представляющее собой пример интегродифференциального уравнения.

Таким образом, интегральные уравнения встречаются во многих задачах, как чисто математических, так и прикладных.

Лекция 9. Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром

Начнем анализ методов решения линейных уравнений Фредгольма с простого частного случая – уравнений с вырожденным ядром.

Уравнением Фредгольма с вырожденным ядром называется линейное интегральное уравнение вида:

В этом уравнении ядро K (t, s) представляется в виде конечной суммы попарных произведений непрерывных на отрезке [a,b] функций i t , i s , каждая из которых зависит только от одной переме-

ются линейно независимыми.

В качестве простейшего примера уравнения Фредгольма с вырожденным ядром подробно рассмотрим уравнение

a

в котором вырожденное ядро состоит из одного слагаемого. Так как функция t не зависит от переменной интегрирования s , то ее можно вынести за знак интеграла и переписать уравнение (2.6) в виде:

a

тогда из формулы (2.7) следует, что

x(t) f (t) (t)C , (2.8)

где C – константа. То есть мы доказали следующий факт: если реше-

ние уравнения (2.6) существует, то оно представимо в виде (2.8). Это очень важное обстоятельство: мы получили общий вид, структуру решения уравнения (2.6), и она, как показывает формула (2.8), оказалась весьма несложной. Функции f (t) и (t) заданы, следовательно, для

нахождения решения x(t) требуется определить постоянную C . Вернемся к уравнению (2.6). Так как x(t) , определяемое формулой (2.8),

есть решение (2.6), то при подстановке его в (2.6) мы должны получить тождество. Подставим:

учтем, что функция не может быть нулевой (почему?). В результате приходим к следующему уравнению для определения C :

Это уравнение совсем простое, и кажется, что найти из него C не составляет труда. Однако оно требует аккуратного анализа различных случаев.

уравнения (2.9), и, подставляя его в (2.8), получаем, что, если уравнение (2.6) имеет решение, то оно единственно и имеет вид:

– единственное решение.

2) 2 . Тогда, если a 0 , то решения нет; если же a 0 , то при любом b уравнение имеет бесконечное множество решений, задаваемых формулой x(t) b C sin t , где C – произвольная постоянная.

Для уравнения (2.5) общего вида метод решения сходен с вышеизложенным, только вид решения будет более сложным:

Для определения постоянных Ci потребуется решить не одно уравне-

ние, а систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.

Лекция 10. Интегральные уравнения Вольтерра

Методы решений интегральных уравнений Вольтерра значительно богаче и разнообразнее, чем уравнений Фредгольма. Это связано прежде всего с тем, что условия, при которых уравнения Вольтерра однозначно разрешимы, являются менее жесткими: решение уравнения вида (2.2) с непрерывным ядром при любых и любой непрерыв-

ной правой части существует и единственно.

Остановимся на трех наиболее часто применяемых методах решения уравнения Вольтерра, иллюстрируя их соответствующими примерами.

1. Метод сведения к дифференциальному уравнению. Суть ме-

тода состоит в последовательном (возможно, многократном) дифференцировании обеих частей уравнения (2.2) до тех пор, пока интегральное слагаемое не исчезнет, или его удастся представить как линейную комбинацию искомой функции и ее производной. Этим методом можно решать уравнения (2.2), ядрами которых являются функции, при дифференцировании переходящие в себя (возможно, с некоторым постоянным коэффициентом – например, синус, косинус, показательные функции) или понижающие степень (например, полиномы).

Пример 9. Решить интегральное уравнение

t

x(t) cos(t s)x(s)ds 1.

0

Решение. Продифференцируем обе части уравнения по t :

Складывая первое уравнение с третьим, имеем: &x(t) x&(t) x(t) 1.Мы

получили обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Чтобы его решение стало единственным, нужно добавить начальные условия. Их легко получить из первого и второго уравнений: под-

2. Метод последовательных приближений. Перепишем урав-

нение (2.2) в виде

t

a

и выберем некоторое начальное приближение – произвольную функцию x0 (t) . Подставим ее в правую часть равенства (2.11), получим функцию

t

x1(t) K (t, s)x0 (s) ds f (t) ,

a

снова подставим ее в правую часть равенства (2.11), получим функцию

для уравнения вида (2.2) всегда сходится к точному решению этого уравнения. Этот метод универсален, он не предъявляет никаких дополнительных требований к параметрам уравнения; основные трудности, которые возникают при его применении, связаны с вычислением

предела последовательности xn (t) n Ґ 0 . Если это можно сделать в

классе элементарных функций, то мы получаем точное решение в аналитической форме. В противном случае последовательность

xn (t) n Ґ 0 дает приближение решения с любой заданной степенью

точности.

t

Пример 10. Решить интегральное уравнение x(t) s x(s) ds 1 .

0

Решение. Пусть x 0 (t) 0 , тогда

t

x1(t) 1 s 0 ds 1 ,

0