книги / Статика в задачах биомеханики
..pdf
Реакция на ось шарнира лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения; направление ее в этой плоскости заранее неизвестно, поэтому ее (RA) раскладывают на две неизвестные составляющие (ХA и YA):
RA2 = XA2 + YA2. |
(1.11) |
6. Подвижные катки:
NB
B 
7. Сферический (шаровой) шарнир:
YC RC
XC
ZC
Здесь реакция имеет три неизвестные составляющие:
RC2 = XC2 + YC2 + ZC2. |
(1.12) |
8. Подшипник:
A
YA
XA
11
9. Подпятник:
ZB
B
YB
XB
10. Шарнирные соединения невесомых стержней:
RA |
RC |
A |
C |
B |
|
В случае стержня АВ реакция шарнира на тело направлена вдоль прямой, соединяющей концы стержня:
A
NA
NB
B
RA = –NA. |
(1.13) |
1.2. Проекция силы на ось и на плоскость. Момент силы
Рассмотрим несколько случаев:
1. Сила и ось лежат в одной плоскости.
Проекцией силы на ось называется величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между направлением линии действия силы и положительным направлением координатнойоси:
12
|
|
F |
|
|||
|
|
α |
|
|||
|
|
FX |
|
|
|
x |
|
|
|
||||
a |
|
|
b |
|||
|
FX = ±ab = Fcosα. |
(1.14) |
||||
2. Сила и ось не лежат в одной плоскости:
z |
|
Fzx |
F |
b |
α |
|
|
β |
|
Fz |
|
a |
|
Fz = ±ab = Fzxcosβ = Fcosα cosβ. |
(1.15) |
Через данную ось проводится произвольная плоскость, и сила проецируется на эту плоскость (из конца и начала силы восстанавливаются перпендикуляры на плоскость). Данная сила проецируется на ось. Проекция силы на ось равна нулю, если сила лежит в плоскости, перпендикулярной оси.
Алгебраический момент (момент силы / сил относительно точки)
Алгебраическим моментом силы называется величина, равная произведению модуля силы на плечо (кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы), взятое со знаком «+», если сила вращает точку приложения против часовой стрелки:
13
FB
B
O d
mO(F) = ±Fd, |
(1.16) |
где mO(F) – момент силы относительно точки O, d – плечо силы, перпендикулярное линии действия силы.
Свойства алгебраического момента сил
1. Если линия действия силы проходит через точку О, то момент силы относительно точки O равен нулю:
mO(F) = 0. |
(1.17) |
2.Момент силы не изменится, если силу переносить по линии ее действия.
3.Модуль алгебраического момента силы относительно точки О равен удвоенной площади треугольника, вершинами которого являются точка О и точки начала и конца вектора силы F:
|mO(F)| = 2S OAB, |
(1.18) |
где S OAB – площадь треугольника; плечо d – высотатреугольника.
A
B
O |
d |
S OAB = |AB|d/2. |
(1.19) |
|mO(F)| = |AB|d. |
(1.20) |
14
Момент силы как вектор
Момент силы относительно центра
Моментом силы является вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через вектор силы F и точку О. Вектор момента силы направлен в ту сторону, откуда поворот виден против часовой стрелки. Модуль вектора момента силы равен модулю алгебраического момента:
F
mO(F) d
O |
|mO(F)| = |mO(F)| = Fd. |
(1.21) |
Момент силы относительно центра в виде векторного произведения
F mO(F) r O′
O |
mO(F) = r × F. |
(1.22) |
Покажем эквивалентность определений на основе понятия векторного произведения:
|r × F| = Frsin(r, F) = Fd = |mO(F)|. |
(1.23) |
Векторы, определенные обоими способами, совпадают по направлению.
Пусть точка O′(x, y, z) – это точка приложения силы в декартовой ортогональной системе координат. В таком случае соотношение (1.22) в координатной форме имеет вид (i, j, k – единичныеорты)
15
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
||||
mO(F) = r × F = |
x |
y |
z |
|
= |
|
|
FX |
FY |
FZ |
|
|
|
= i (yFz – Fyz) – j(xFz – Fxz) + k(xFy – Fxy) = |
|
|||||
= (yFz – zFy) i + (zFy – xFz) j + (xFy – yFx) k. |
(1.24) |
|||||
Тогда моменты силы относительно осей координат:
mOx(F) = (yFz – zFy) = mx(F),
mOy(F) = (zFy – xFz) = my(F), (1.25) mOz(F) = (xFy – yFx) = mz(F),
где mx(F), my(F), mz(F) – проекции вектора момента силы на координатные оси равны моментам силы относительно соответствующих осей.
Рассмотрим последнее утверждение подробнее.
Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называют момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси и плоскости:
z
α F
d
xy |
FXY |
|
Fxy = Fcosα. |
(1.26) |
Mz(F) = ±Fxyd = mO(Fxy). |
(1.27) |
16
Момент силы относительно оси характеризует вращательное действие силы относительно оси. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости, т.е. либо сила параллельна оси, либо линия действия пересекает ось.
Связь моментов силы относительно центра и оси
z mz(F)
mO(F) 
nz
n
O
xy
B
F
A
B′
FXY
A′
Момент силы относительно оси можно представить в виде вектора, расположенного на оси, с модулем, равным модулю алгебраического момента.
Проецируем силу F на перпендикулярную плоскость к оси z:
|mz(F)| = |mz(F)| = |mz(Fxy)| = 2S OA′B′; |
(1.28) |
|mO(F)| = |mO(F)| = 2S OAB; |
(1.29) |
S OA′B′= S OAB cos(n,nz). |
(1.30) |
mz(F) = mO(F)cos(n,nz). |
(1.31) |
Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора момента силы относительно центра, лежащего на данной оси, т.е.
mx(F) = mOx(F);
my(F) = mOy(F); (1.32) mz(F) = mOz(F),
что и утверждалось в выражении (1.25).
17
1.3. Теория пары сил
Парой сил называется совокупность двух (FA, FB) равных по величине и антинаправленных сил:
FB
d |
|
FA |
|
FA + FB = 0, |
(1.33) |
здесь d – плечо пары сил.
Плоскость, в которой лежит пара, называется плоскостью действия (поворота) пары сил.
Пара сил является характеристикой только вращательного действия сил на тело. Основной характеристикой пары является ее момент:
m
FB B d
A
FA
Для плоской системы сил момент пары определяется по формуле
|
m = ±Fd, |
(1.34) |
где |
F = FA = FB, |
(1.35) |
а m – вектор момента пары сил, расположенный перпендикулярно плоскости действия пары сил.
Алгебраический момент пары характеризует вращательное действие пары в ее плоскости:
18
|m| = |m| = Fd. |
(1.36) |
Момент пары как вектор характеризует действие пары в пространстве:
m = mB(FA). |
(1.37) |
Действие пары сил на тело характеризуется:
•плоскостью действия пары;
•величиной сил пары;
•величиной плеча пары (d – расстояние между линиями действия сил пары);
•направлением вращения пары.
Для пространственной системы сил надо дополнительно указать плоскость поворота пары сил, поэтому момент пары считается вектором, перпендикулярным плоскости пары, так чтобы с его конца вращение пары было видно против часовой стрелки:
|m| = Fd. |
(1.38) |
Вектор момента пары является свободным вектором, т.е. вектором, который можно приложить в любой точке. Момент пары равен моменту одной силы пары относительно точки приложения другой силы пары.
Докажем это утверждение.
m = mA(FB) = mB(FA). |
(1.39) |
||||||
|
|
mA(FB) |
m |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
mB(FA) |
|
FA |
A |
|
|
B |
FB |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
19
Теорема 1. Момент пары относительно любой точки равен сумме моментов сил пары относительно этой точки и не зависит от ее выбора:
FA
|
B |
|
|
rAB |
|
A |
|
|
rA |
FB |
|
rB |
|
|
|
C |
|
mC(FA) + mC(FB) = m. |
(1.40) |
|
Доказательство: |
|
|
|
FA = −FB; |
(1.41) |
rA + rAB= rB; |
(1.42) |
|
mC(FA) = rA × FA; |
(1.43) |
|
mC(FB) = rB × FB; |
(1.44) |
|
mC(FA) + mC(FB) = rA × FA + rB × FB = rA × FA − |
|
|
– rB × FA = (rA − rB) × FA = −rAB × FA = rAB × FB = m. |
(1.45) |
|
Теорема 2. Пара сил не имеет равнодействующей:
R FB
A C B
FA
20