книги / Статика в задачах биомеханики

Доказательство (от противного): пусть пара имеет равнодействующую, приложенную в точке С. Согласно предыдущей теореме: если бы равнодействующая была эквивалентна паре сил, то они создавали бы одинаковый момент относительно точки С.

По теореме Вариньона (момент равнодействующей силы равен сумме моментов составляющих сил [4, 29, 33, 43]),

Пришли к противоречию, следовательно, пара сил не имеет равнодействующей.

Пара сил характеризуется вектором момента. Вектор можно переносить по линии действия. По теореме 1, вектор пары можно переносить параллельно самому себе. Отсюда следует два свойства:

1)не изменяя действие пары на тело, ее можно переносить в параллельную плоскость;

2)не изменяя действие пары сил на тело, ее можно переносить как угодно в плоскости действия пары.

Теорема 3. Не изменяя действия пары сил на тело, т.е. момент пары, можно изменять силы и плечо пары:

21

Доказательство: Дана пара {FA, FB}.

Выберем произвольную точку С. Очевидно, что если FA – равнодействующая двух параллельных сил, то выполняется следующее равенство:

При выполнении этого условия получаем новую пару {F1, F3}, момент которой равен моменту парыFA и FB.

Сложение пар сил в пространстве

Даны две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях и имеющие моменты mI, mII:

22

Если на тело действует несколько пар с моментами m1, m2 … , то это эквивалентно действию одной пары сил с моментом, равным векторной сумме моментов слагаемых пар:

k=1

Если складываются пары сил в одной плоскости, то вместо векторов берутся алгебраические значения моментов:

23

k =1

Приведение произвольной системы сил к заданному центру

Чтобы анализировать поведение / движение тела под действием системы сил, необходимо эту систему привести к простейшему виду.

Лемма (о параллельном переносе силы): не изменяя действия силы на твердое тело, ее можно перенести параллельно самой себе, добавив при этом пару сил (присоединенная пара), момент которой равен моменту переносимой силы относительно новой точки приложения.

Доказательство:

Дана сила F, приложенная в точке А. Перенесем ее в точку В, не изменяя действие силы. Для этого приложим уравновешенную систему сил F′, F″:

F F′

A B

F″

24

Вместо силы F в точке А появилась сила F′ в точке В и пара сил (F, −F″). При параллельном переносе силы добавляется момент пары (присоединенный момент) mB(F), который равен моменту переносимой силы относительно новой точки приложения.

1.4.Главный вектор

иглавный момент системы сил

Теорема Пуансо (основная теорема статики). Любая сис-

тема сил эквивалентна системе, состоящей из силы и пары сил. Сила приложена в любой наперед заданной точке (центре приведения) и геометрически равна главному вектору системы сил. Момент пары равен главному моменту исходной системы сил относительно центра приведения:

m1 m2

O F2

Fn

F2

Fn

Точка О – центр приведения (произвольный). Для приведения будем использовать лемму о параллельном переносе силы. Перенесем заданные силы F1, … , Fn в точку О. При этом от каждой силы добавится присоединенный момент m1, … , mn:

25

k =1

Тогда R – главный вектор системы сил. Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма сил, а MO – главный момент системы сил. Главным моментом системы сил относительно центра О называется геометрическая сумма моментов сил относительно центра О.

В результате система сил приводится к главному вектору и главному моменту, т.е. к двум векторам или к трем силам − главному вектору и паре сил с плечом

Вычисление главного вектора и главного момента

1-й метод – с помощью построения силового многоугольника. Как замыкающие стороны векторных многоугольников, получим R, MО:

2-й метод – проецированием на оси координат (O, x, y, z):

k =1

26

Проекции главного вектора:

k =1

27

MO

R MO1

mO1(R)

R

O MO

O1

Момент МО, как вектор свободный, можно перенести из точки О в точку О1, а при параллельном переносе главного вектора еще добавится пара сил:

Изменение главного момента при перемене центра приведения равно моменту главного вектора, приложенного в старом центре относительно нового центра. Если главный вектор равен нулю (R = 0), то главный момент не зависитот выборацентраприведения.

Инварианты системы сил

Инварианты системы сил – это величины, не зависящие от центра приведения.

1. Главный вектор:

(так как сумма векторов не изменяется).

2. Проекция главного момента на направление главного вектора:

28

Для доказательства спроецируем левую и правую части формулы (1.81) на направление главного вектора. Учитывая, что mО1(R) R′,

Умножим левую и правую части равенства (1.86) на |R|, и, учитывая, что R = R′,

Другими словами, инвариантом является скалярное произведение главного вектора на главный момент:

Приведение произвольной системы сил

кпростейшему виду

1.При приведении получены равенства нулю главного вектора и главного момента. Тогда имеем условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме. Очевидно, что необходимым и достаточным условием равновесия системы сил является следующее утверждение: главный вектор и главный момент системы сил относительно любой точки должны быть равны нулю (доказывается от противного [4, 33]):

k =1

n MOz =

k=1

Вравенствах (1.94) использована связь между моментами сил относительно центра и оси, проходящей через центр (1.32).

Для равновесия абсолютно твердого тела необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю алгебраическая сумма проекций сил на оси и моментов сил относительно осей.

2. Система сил приводится к равнодействующей, равной главному вектору и приложенной в центре приведения О: